, y el plano Π forma un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos:

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1 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 9 Cónics 9. Cónics Se llm cónic culquier de ls secciones plns que se producen l cortr en el espcio un doble cono recto por un plno. Si el doble cono recto tiene vértice O, eje r ángulo α, 0 < α < π, el plno Π form un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentr los siguientes csos:. Si β = π, es decir si r Π, l cónic es un circunferenci si O / Π o un punto si O Π.. Si α < β < π, l cónic es un elipse si O / Π o un punto si O Π. 3. Si β = α, l cónic es un prábol si O / Π o un rect si O Π. 4. Si 0 β < α, l cónic es un hipérbol si O / Π o un pr de rects si O Π. Cundo O Π, l cónic se llm cónic degenerd. L ecución nlític de un cónic es: = 0 con,,,,, R, que tmbién se llm ecución generl de l cónic. 9. Ecución reducid de un cónic Medinte un movimiento giro /o trslción l ecución generl de un cónic se reduce un de ls siguientes ecuciones reducids:. + b. b = p, con, b > 0 p =, 0, cónic de tipo elíptico. Si p =, l cónic reducid es un elipse, si b, con centro el origen, ejes los crtesinos focos en los puntos ±c, 0, si > b c = b, o 0, ±c, si < b c = b. un circunferenci, si = b, con centro el origen rdio. Si p = 0, l cónic reducid es un punto el origen. Si p =, l cónic reducid crece de puntos, se llm elipse imginri. = p, con, b > 0 p =, 0, cónic de tipo hiperbólico. Si p =, l cónic reducid es un hipérbol con centro el origen, ejes los crtesinos focos en los puntos ±c, 0, con c = + b. Si p = 0, l cónic reducid es un pr de rects secntes. Si p =, l cónic reducid es un hipérbol con centro el origen, ejes los crtesinos focos en los puntos 0, ±c, con c = + b. 3. = p, con p 0 cónic de tipo prbólico. L cónic reducid es un prábol con centro o vértice en el origen, ejes los crtesinos, foco p, 0 directriz = p.

2 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 4. = p, con p 0 cónic de tipo prbólico. L cónic reducid es un prábol con centro el origen, ejes los crtesinos, foco 0, p directriz = p. 5. = q o = q cónic de tipo prbólico. L cónic reducid es un pr de rects prlels si q > 0, un rect doble si q = 0 o un pr de rects imginris si q < Obtención de l ecución reducid de un cónic Se = 0 con,,,,, R, l ecución generl de un cónic, que se puede epresr mtricilmente como: + + = 0 donde l mtriz A = es simétric, por tnto, digonlizble ortogonlmente respecto de un bse ortonorml de utovectores. El proceso seguir, pr obtener l ecución reducid, es el siguiente:. Si 0, los ejes de l cónic no son prlelos los ejes crtesinos, por lo que se hce un giro pr obtener un un cónic equivlente con los ejes prlelos los crtesinos. Se determinn los utovlores de l mtriz A, σa = λ, λ }, un bse ortonorml de utovectores B = u, u } con u u =. L mtriz del cmbio de bse P = u u = MB, Bc es ortogonl, es decir P = P t, se cumple que Aplicndo el giro ecución de l cónic, qued: P AP = P t λ 0 AP = D = 0 λ = P t, se tiene que = P P t AP + P + = 0, sustituendo en l es decir: λ 0 0 λ + b b + = 0 donde b b = P. Operndo, l ecución de l cónic después del giro es λ + λ + b + b + = 0 que no tiene término en. Si = 0, los ejes de l cónic son prlelos los crtesinos se ps directmente l pso siguiente.

3 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 3. Si b, b 0, 0, el centro de l cónic si es un cónic con centro no es el origen o l cónic si no tiene centro no ps por el origen. En este cso se plic un trslción pr que el centro si es un cónic con centro se el origen o l cónic si no tiene centro pse por el origen. Se pueden presentr los siguientes csos: Si δ = A = λ λ > 0, l cónic es de tipo elíptico. Completndo cudrdos en su epresión: λ + b + λ + b = b + b = c λ λ 4λ 4λ Aplicndo l trslción cónic: λ + λ = c = + b λ = + b λ que es, se obtiene l ecución reducid de l un elipse rel, si cλ > 0 un punto, si c = 0 un elipse imginri, si cλ < 0 b Si δ = A = λ λ < 0, l cónic es de tipo hiperbólico. Completndo cudrdos como en el prtdo nterior, plicndo l mism trslción, se obtiene l ecución reducid de l cónic: λ + λ un hipérbol, si c 0 = c que es un pr de rects secntes, si c = 0 c Si δ = A = λ λ = 0, l cónic es de tipo prbólico. Se puede suponer, sin pérdid de generlidd, que λ = 0 λ 0 los dos no se pueden nulr simultánemente, l epresión de l cónic serí: λ + b + b + = 0 Completndo cudrdos, se obtiene λ + b = b b λ 4λ Entonces: i. Si b 0, plicndo l trslción reducid de l cónic: λ = b 4λ = c que es = + b b 4λ b = + b λ, se obtiene l ecución λ = b que es un prábol = ii. Si b = 0, plicndo l trslción = + b, se obtiene l ecución reducid de l cónic: λ un pr de rects prlels, si cλ > 0 un rect doble, si c = 0 un pr de rects imginris, si cλ < 0 Si b = b = 0, el centro de l cónic si es un cónic con centro es el origen o l cónic si no tiene centro ps por el origen, l ecución obtenid después del giro es l ecución reducid de l cónic.

4 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Centro o vértice, ejes de un cónic no degenerd Cundo l cónic es no degenerd, su centro o vértice se obtiene plicndo l origen que es el centro o vértice de l cónic reducid los movimientos inversos los usdos pr obtener l ecución reducid: en primer lugr l trslción de vector opuesto, después el giro de ángulo opuesto. Si l cónic es un elipse o un hipérbol, sus ejes son ls rects que psn por el centro de l cónic con l dirección de los utovectores de l mtriz A. Si l cónic es un prábol, su eje principl es l rect que ps por el centro con l dirección del utovector socido l utovlor nulo, su eje secundrio es l rect que ps por el centro con l dirección del utovector socido l utovlor no nulo. 9.5 Ejemplos. Pr hllr l ecución reducid de l cónic = 0, se epres en form mtricil: 3 = 0 3 L mtriz socid sus utovlores son 3 A = ; A λi = 3 3 λ Los subespcios propios son S = v : A Iv = S4 = v : A 4Iv = 3 λ = λ λ 4 = λ = λ = 4 } = 0 = v : = 0} = L, } } = 0 = v : + = 0} = L, } L mtriz digonl l mtriz de pso son: 0 D = P = 0 4 con P t AP = D Aplicndo l cónic el giro = P t = con centro el origen ángulo 45 o, se obtiene P t AP = 0 operndo: + 4 = = + / =

5 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 5 que es l ecución reducid de l cónic, que corresponde un elipse. No es necesrio usr trslciones. L ecución reducid tmbién se suele epresr renombrndo ls vribles, como,, es decir como = + / = Puesto que no se h plicdo trslción, el centro de l elipse coincide con el de l cónic reducid, es decir es el origen. Sus ejes son ls rects que psn por el origen con l dirección de los utovectores: = + = 0 = = 0 L representción gráfic de l cónic es l de l figur. Figure : Representción gráfic de l cónic = 0. Pr hllr l ecución reducid de l cónic = 0, se epres en form mtricil: + + = 0 L mtriz socid sus utovlores son A = ; A λi = λ λ = λ 3λ + = λ = 3 λ = Los subespcios propios son } S3 = v : A 3Iv = = 0 = v : = 0} = L, } } S = v : A + Iv = = 0 = v : + = 0} = L, } L mtriz digonl l mtriz de pso son: 3 0 D = P = 0 con P t AP = D

6 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 6 Aplicndo l cónic el giro = P t = con centro el origen ángulo 45 o, se obtiene P t AP + P operndo: + = = 0 = 3 = 3 Si hor se plic l trslción = = se lleg 3 = 3 = / 3/ = que es l ecución reducid de l cónic, que corresponde un hipérbol. L ecución reducid tmbién se suele epresr renombrndo ls vribles, como,, es decir como / 3/ = Aplicndo l trslción opuest el giro inverso l centro de l cónic reducid, se obtienen el centro de l cónic originl. El centro es C = 0, 0 = C = 0, = C = / = C = / = + =, Los ejes son ls rects que psn por el centro cuos vectores de dirección son los vectores propios, es decir: + + = 0 = + = 0 L representción gráfic de l cónic es l de l figur. Figure : Representción gráfic de l cónic = 0

7 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Clsificción de cónics por invrintes Pr clsificr un cónic, de ecución generl = 0 con,,,,, R, no es necesrio encontrr el movimiento giro /o trslción que l trnsform en su ecución reducid. Se puede hcer prtir de ls mtrices: A = A = Si σa = λ, λ } son los utovlores de A, δ = A = A, entonces: Tipo Ecución reducid Cónic Elipse rel, si λ < 0 δ > 0 Elíptico λ + λ = δ Elipse imginri, si λ > 0 Punto, si = 0 δ < 0 Hiperbólico λ + λ = δ Hipérbol, si 0 Pr de rects secntes, si = 0 λ = ± λ Prábol, si 0 δ = 0 Prbólico Pr de rects prlels, si = 0 cλ > 0 λ = 0 λ = c Rect doble, si = 0 c = 0 λ 0 Pr de rects imginris, si = 0 cλ < 0

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