Departamento de Matemáticas. IE.S. Ciudad de Arjona 2º Bach Sociales

Transcripción

1 Departameto de Matemáticas. IE.S. Ciudad de Arjoa º Bach Sociales. Límites Recordatorio cuado tiede a iiito. Límites de ua ució e u puto.. Límites de ua ució cuado tiede a iiito. Cotiuidad.. Asítotas.. LÍMITES Propiedades: g g g g a a g a g a a a g a a a a a g a Para calcular u límite sólo hay que sustituir por TABLA DE OPERACIONES + a + - B a+b Id. - - Id. - a ± Id. b a b ± ± Id. ± ± OJO: primero multiplicar los sigos : a ± Id ± ± b /b ± ± Id. OJO: primero multiplicar los sigos p p Id Id si p si p si p si p si p si p Al hacer los límites usamos las tablas ateriores Pero el problema es cuado sale algua INDETERMINACIÓN, que hay que resolverla de algú modo. ; ; ; ; ; ; A POLINOMIOS Estrategia: Sacar actor comú la de mayor grado: 8 8 P = REGLA: Ejemplos: INDETERMINACIÓN El sigo es el del coeiciete pricipal del poliomio 8 8

2 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS B FRACCIONES ALGEBRÁICAS Estrategia: Dividir umerador y deomiador por la de mayor grado: INDETERMINACIÓN = REGLA DE LOS GRADOS Grado umerador > Grado deomiador límite es ± Grado umerador < Grado deomiador límite es Grado umerador = Grado deomiador límite es cociete coeicietes pricipales C OTRAS INDETERMINACIONES - INDETERMINACIÓN Realizamos la operació = INDETERMINACIÓN Multiplicamos por el cojugado = / : : INDETERMINACIÓN Realizamos la operació = : INDETERMINACIÓN Operació =

3 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS Estas so del tipo e Se resuelve haciedo = e e base ep oete e INDETERMINACIÓN e e e Importate: Comprobar que so del tipo ; ;. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO A. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Deiició: l a / tal que, E a E l, es decir l -, l Cabe distiguir cuado hablamos de límite de ua ució e u puto, podemos distiguir los límites laterales, por la izquierda a puto, y por la derecha toma valores mayores que el puto. a a toma valores meores que el Límite por la derecha.- l / tal que, E a E l, es decir l, l a Límite por la izquierda.- l / tal que, E a E l, es decir a l -, l Cuado los límites laterales coicide eistirá el límite e el puto. l l a a l a Ejemplo:

4 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS Deiició de límite e puto cuado vale iiito: K, que tal / a E K k k a Igual para - B. CÁLCULO DE LÍMITES EN UN PUNTO Casos imediatos A.- Sustituir la por el valor del puto. a a Ejemplo: 7 8 B.- Si el puto es dóde se juta los trozos calculamos los límites laterales, y si so iguales, el límite de la ució es ese, si o so iguales, o eiste el límite. Si el puto o es de uió se calcula como ates. Ejemplos: si si - - si -si - - No eiste el límite Idetermiació del tipo / co cociete de poliomios: Simpliicamos la racció algebraica y sustituimos. Ejemplo: Idetermiació Sacado actor comú la elevada a meor potecia Idetermiació Multiplicado por el cojugado... cojugado multiplicamos por el Ideterm., Idetermiació del tipo : Realizamos la operació y simpliicamos. Ejemplo: operamos Idet. ;

5 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS Idetermiació del tipo : ; Idet. operamos ; Idetermiació del tipo : ; Idet. operamos ; Idetermiació del tipo e?: baseep Fórmula: e 9 ; Idet. e? e 9 e e e. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO Deiició de límite e el iiito: l K / tal que, K Deiició de límite e iiito cuado vale iiito: K M / tal que, M a k k E l Igual para - K Igual para - Cuado + la ució puede comportarse de varias ormas: l Hay tres tipos de ucioes coocidas que tiee límite iiito e el más iiito; so poliómicas potecias, epoeciales co base mayor que y logaritmos. COMPARACIÓN DE INFINITOS Deiició de Iiito. Diremos que es u iiito cuado Si y g so dos iiitos se puede comparar. es u iiito de orde superior si g

6 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS es u iiito del mismo orde si l g Por orde de comparació es de orde superior: Las epoeciales detro de éstas segú la base Las poliómicas y irracioales detro de éstas segú el grado Las logarítmicas Ejemplo: Ordear de mayor a meor orde los siguietes iiitos: ; l ; ; ; log ; ; Mayores Epoeciales, después Potecias por último logaritmos log l Para el cálculo de límites debemos teer e cueta el orde de los iiitos y los coeicietes de estos. Si teemos los iiitos e ua racció, si el iiito más grade está e el umerador el límite será iiito hay estudiar cociete de sigos, si está e el deomiador el límite es cero, y si so iguales el límite es el cociete de los coeicietes. Ejemplos: 7 Iiito más grade e el umerador y cociete de sigos +/+=+. 7 Mismo grado, dividimos coeicietes. Iiito más grade e el deomiador. Iiito más grade. log los dos so de grados -= Realizamos la operació: = CONTINUIDAD A. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Se dice que ua ució es cotiua e u puto a cuado cumple las siguietes codicioes. i Eiste la ució e a a ii Eiste el límite de la ució cuado tiede a a iii Los dos valores ateriores coicide. a a a

7 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS B. CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES. Si eiste diremos que es discotiua evitable, siempre itetaremos evitarla Si o eiste a diremos que es discotiua ievitable: a o De salto iito, cuado la dierecia de los límites laterales sea iita. o De salto iiito, cuado la dierecia de los límites laterales sea iiita o De seguda especie, cuado o eista uo de los límites laterales C. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. Ua ució es cotiua e u itervalo si es cotiua e cada puto del itervalo. Geeralmete todas las ucioes so cotiuas e su domiio, el problema es estudiar estos putos y e las ucioes deiidas a trozos hay que estudiar los putos de uió. Ejemplos: Estudia la cotiuidad de la ució Domiio es {,} solucioes de la ecuació Es CONTINUA e {,} Vamos a clasiicar las discotiuidades. Discotiuidad Ievitable de salto iiito e =- ASÍNTOTA VERTICAL Idt. Discotiua evitable por alta de deiició e si Estudia la cotiuidad de la ució si si Los tres trozos so cotiuos porque so: ua ució epoecial, ua recta y ua parábola. Cotiuidad e = Cotiuidad e = e e So iguales Cotiua e = No so iguales No es 9 cotiua e = Discotiuidad Ievitable de Salto iito La Fució es cotiua e {} Calcula el valor de los parámetros a y b para que sea a si y a b si cotiua: si - Cotiua e cada trozo por ser rectas y parábola. Cotiuidad e =- a b Cotiuidad e = 7

8 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS a a a b a b Para ser cotiua Para ser cotiua a b a b debe cumplir a b a a b debe cumplir a b a b Resolviedo el sistema de ecuacioes os sale de solució a ; y b. ASÍNTOTAS A. ASÍNTOTAS VERTICALES Ua ució tiee ua asítota vertical e =a si: " " Hay que calcular los límites e aquellos putos que o está e el domiio. Además para hacer u esbozo de la ució hay que calcular la posició de la asítota sigo de la ució a la izquierda y la derecha de la asítota B. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Ua ució a tiee ua asítota horizotal e y=b si: b. Hay que calcular los límites e ±. Normalmete calculamos el límite e si sigo, pero cuado tegamos algua ució epoecial debemos calcularlo e + y - por separado. Además para hacer u esbozo de la ució hay que calcular la posició de la asítota valor de la ució e u úmero grade y e u úmero pequeño - C. ASÍNTOTAS OBLICUAS Ua ució tiee ua asítota horizotal e y=m+ si: m m m Cálculo de asítotas oblicuas:.. Si m= ó o hay asítota oblicua, si = tampoco hay. Además para hacer u esbozo de la ució hay que calcular la posició de la asítota valor de la ució y de la asítota oblicua e u úmero grade y e u úmero pequeño - Ejemplos: Dom, Asítotas verticales: Hay A.V. e = Id. Asítotas horizotales: Hay A.H. e y= ; No hay 99 ; 9 9 8

9 I.E.S. Ciudad de Arjoa Departameto de Matemáticas. º BAC MCS Ejemplos: Dom Asítotas verticales: Asítotas horizotales: Asítota oblicua: Hay A.V. e = No hay asítota horizotal m : m Hay ua asítota oblicua e y= Asítota Asítota 99 y ució por ecima de la asítota y ució por debajo de la asítota 9

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