a a a 1 1 a a a 2 0 a rg A rg B rg A rg B

Transcripción

1 Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 997. Matemáticas II. OPCIÓN A a y z 0. Discutir el sistema y az según los valores del parámetro a [,5 puntos]. Resolverlo en los casos en y que admita infinitas soluciones [ punto]. a 0 Las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, B, son: a 0 Empecemos estudiando el rango de A según los valores de a: a 8 a a a a a 0 a 0 Para a y a : rg A rg B nº de incógnitas el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. Para a : las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, B, son: Puesto que el menor 0 rg A Orlamos el menor con los términos independientes: Como rg A rg B el sistema es INCOMPATIBLE rg B Para a : las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, B, son: Puesto que el menor 0 rg A Orlamos el menor con los términos independientes: rg B Como rg A rg B nº de incógnitas el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO. Debemos resolver el sistema en este último caso, es decir para a : a la vista del menor que da rango a la matriz de los coeficientes, la segunda y tercera ecuaciones son independientes respecto a las incógnitas e y. Consideramos z como un parámetro: z. y y y 4 y ;. Por tanto:, y, z

2 . Dada la función f () se pide a) Asíntotas y simetrías de la curva y = f() [0,5 puntos]. b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento [,5 puntos]. c) Dibujar la gráfica [0,5 puntos]. a) 0 es una asíntota vertical de la función pues lím 0. Además: lím y lím 0 0 y es una asíntota oblicua de la función. Además: lím 0 ; lím 0 Simetrías: f ( ) f () la función es simétrica respecto al origen de coordenadas. b) (puntos críticos) f '() 0, f ''() f ''( ) 0 Mínimo relativo en, f ''() 0 Máimo relativo en, Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f < 0 f > 0 f > 0 f < 0! 0 La función es creciente en, 0 U 0, y decreciente en, U, c)

3 Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 997. Matemáticas II.. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y = sen, y = cos y el eje de ordenadas [ puntos] En el primer cuadrante, el punto de corte de ambas funciones es: sen cos 4 Por tanto: S cos sen d sen cos sen cos sen 0 cos u 0 4. Sea (u, v, w) una base ortonormal, hallar todos los vectores que son ortogonales a u y a módulo. [,5 puntos] u v w que tengan r r r Sean u, 0, 0, v 0,, 0, w 0, 0, coordenadas de los vectores buscados respecto a la base (u, v, w). Se tiene: los vectores de la base ortonormal y,, r las r r r r u u 0,,, 0, r r r r r r r r u v w u v w 0 0,,,, 0 0 r luego 0,,. r Y como r r Por tanto: 0,, y 0,, 5. Nos dan la recta r determinada por los puntos A (,,) y B (0,, ) y la recta s determinada por los puntos C (,, ) y D (,4, ). Razonar su posición relativa. [,5 puntos] AB,,,, P y CD 0,, cortan o se cruzan. Consideremos el vector AC,, :. Como AB y CD son linealmente independientes: las rectas se el vector AC depende linealmente de AB y CD las rectas se cortan

4 OPCIÓN B Dada la matriz A 0 0, encontrar todas las matrices B tales que A B = B A [,5 puntos]; Calcular A n 0 0 con n entero positivo [ punto]. Sea b b b B b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 0 b b b a b b b b b 0 b b b 0 b b b b b 0 b b b b c luego: a 0 0 B b a 0 c b a A A A A n A Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por respuestas [ puntos]. si f () si si razonando las Continuidad: la función es continua en,,, 4 Estudiemos la continuidad en y en : : a) f ( ) b) c) lím f () : : a) f () b) c) U U por tratarse de funciones polinómicas. lím f () lím lím f () lím lím f () f ( ) la función es continua en lím f () lím f () lím lím f () : lím f () lím f () lím lím f () f () la función es continua en Por tanto, la función es continua

5 Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 997. Matemáticas II. Derivabilidad: si f '() 0 si 4 si f '(), U, U, por tratarse de funciones polinómicas. Veamos si es derivable en y en : : f ' 0 f ' 0 f ' : f ' 0 f ' 4 f ' Por tanto, la función no es derivable en.. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 6 cm y la altura correspondiente mide cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo [,5 puntos]. C Sean e y las dimensiones del rectángulo. La función que debe ser máima es: S y cm E Busquemos una relación entre las variables e y: A 6 cm D y B Los triángulos ABC y DBE son semejantes por estar en posición de Tales. Sus lados son entonces proporcionales: AC AB 8 8y 6 6 DE DB y y y por tanto: 8 S y máima S'() 0 8 y como S''() 0 8 hace el área máima. Por tanto, las dimensiones del rectángulo de área máima son: base 8 cm, altura 6 cm 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (6,0) y (0,4) y que tiene el centro en la recta y = 0. [,5 puntos] Si el centro está en la recta y 0 y, sus coordenadas son C a, a. La distancia de C a los puntos dados a 6 a a a 4 a de la circunferencia es la misma: a 6 a a a 8a 6 5

6 0 4a a 5 C 5, 5. r El radio es la distancia de C a cualquiera de los puntos de la circunferencia: La ecuación de la circunferencia es entonces: 5 y y 0y 5 6 y 0 0y Hallar el punto P de la recta r de ecuaciones paramétricas y z forma un triángulo rectángulo de hipotenusa BP. [,5 puntos] que con los puntos A (,,) y B (,,0) P Si la hipotenusa es BP, el ángulo recto debe estar en A y, por tanto, AB AP AB AP 0 Un punto P de la recta tiene por coordenadas: P,,, AB, 0, AP,, 0 AB AP 0 A B P, 0, 6