Método de sustitución trigonométrica

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1 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Método de sustitución trigonométric Por: Sndr Elvi Pérez El método de sustitución trigonométric se utiliz cundo ls integrles directs de epresiones rcionles no se pueden plicr porque no tienen todos los elementos pr usrls, ls recuerds? du sen u du sec u u u u u du ± ln u + u ± Pr ello, utilizs como bse el teorem de Pitágors y ls relcions con ls identiddes trigonométrics correspondientes trvés de ls fórmuls que se muestrn en l tbl : Cso I Cso II Cso III + + sen cos tn + sec sec tn Tbl. Csos del método de integrción por sustitución trigonométric.

2 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 A continución se presentn lgunos ejemplos. Ejemplo Encuentr l integrl de d + 4 Solución Primero debes identificr si se puede resolver por un integrl direct. Observ ls tres fórmuls directs y trt de relcionrl con un de ells, tl vez podrís pensr que se puede resolver por: Pero est fórmul no l puedes usr porque tiene en l ríz cudrd un signo negtivo. Tl vez pensste en l siguiente fórmul: Pero pesr de que en est fórmul se puede usr el signo positivo, l integrl resolver tiene un fuer del rdicl. Por todo esto, puedes definir que no es posible resolverl de form direct y necesits del método de integrción de sustitución trigonométric. Ahor el problem es identificr de qué cso se está hblndo. Cómo puedes identificrlo? Observ l ríz que se encuentr en el denomindor de l integrl + 4. Ahor nliz l informción de l tbl, donde se encuentrn los tres csos. Y identificste qué cso corresponde?

3 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Cso II + + tn + sec Tbl. Cso II. En el cso II, los dos términos dentro del rdicl son positivos. d + 4 Ahor, con bse en l integrl, determin ls sustituciones que debes relizr. Recuerd que en l 4 sum no import qué término se encuentre primero. De est form tienes que l constnte es Del formulrio defines que: tn + 4 sec A este método se le denomin sustitución trigonométric, debido que pr poder hcer un simplificción de l integrl lo que vs hcer es sustituir sus vlores pr convertirl en un integrl trigonométric, l cul se pued resolver por ls integrles directs y después tendrás que regresrl su form lgebric.

4 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 d + 4 tnϑ + 4 secϑ El formulrio proporcion los elementos nteriores, pero l fórmul requiere del d, por lo que es necesrio clculrlo prtir del vlor de. tn d sec Ahor tienes todos los elementos pr sustituir en l integrl: d sec + 4 tn sec Observ que tnto en el numerdor como en el denomindor se tiene simplificr l integrl como sigue: d sec sec + 4 tn sec tn sec, por lo que se puede Ahor tienes un integrl trigonométric que resolver, sin embrgo, debes hcer uso de ls sena identiddes trigonométrics, como son: cos A sec A y tn A cos A 4

5 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Sustituyendo ls identiddes en l integrl: sec cos tn sen cos Relizndo etremos por etremos y medios por medios y simplificndo: cos cos sen cos sen sen cos Todví no eiste un integrl direct, por lo que se requiere sustituir por l identidd trigonométric: csc sen sen csc Observ que l integrl de csc csc udu ln(cscu cot u) csc d ln(csc cot ) es direct, por lo que hor puedes plicr l fórmul: d ln(csc cot ) + 4 Hst este momento se h resuelto l integrl, pero no es el resultdo finl porque se requiere que se vuelv su form lgebric. Pr ello, te puedes poyr en el triángulo y el teorem de Pitágors. 5

6 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Cso II + 4 Observ que se están sustituyendo los vlores de l integrl en el triángulo del cso II, con el cul estás resolviendo l ecución. + 4 tn + 4 sec Tbl. Cso II. Con bse en este triángulo, ls funciones trigonométrics cosecnte y cotngente son: hipotenus + 4 c. dycente csc y cot c. dycente c. opuesto Sustituyendo estos vlores en el resultdo de l integrl, tienes l solución de l integrl epresd en form lgebric: d + 4 ln(csc cot ) ln + 4 Como puedes drte cuent, plicr este método de integrción permite simplificr l integrl, pero es importnte que no olvides regresr el resultdo su form originl. Ejemplo Encuentr l integrl de d ( 5 ) Solución Primero tienes que identificr si se puede resolver por un integrl direct, luego observ ls fórmuls directs y trt de relcionrl con un de ells. Tl vez puedes pensr que se puede resolver como: 6

7 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 n u du n+ u n + Sin embrgo, pesr de que u ( 5 ) du d ( 5 ) ( 5 ) d d si En este cso no puedes completr con un vrible, por ello trnsforms el eponente frccionrio un rdicl y plics el método de sustitución trigonométric. d d ( 5 ) ( ) ( ) 5 5 d Ahor el problem es identificr de qué cso se está hblndo, pero cómo puedes hcerlo? Observ l ríz que se encuentr en el denomindor de l integrl 5, hor ve l tbl 4, donde se encuentrn los tres csos. Y identificste qué cso corresponde? Cso I sen cos Tbl 4. Cso I. En el cso I, l vrible l cudrdo es negtiv. d d 5 5 ( ) ( ) 7

8 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Ahor, con bse en l integrl, determin ls sustituciones que debes relizr: 5 5 Del formulrio, defines que: 5sen 5 5cos Clcul el vlor de d con bse en el vlor de d 5cos 5sen, por lo tnto, Ahor tienes todos los elementos pr sustituir en l integrl: d d 5cos ( 5 ) ( 5 ) ( 5cos ) Observ que l ríz se encuentr elevd l cubo, por lo tnto, l función trigonométric que se sustituye qued elevd l cubo y como en el denomindor se encuentr l mism función, se puede simplificr de tl form que l función qued elevd l cudrdo. 5cos 5cos ( ) 5cos ( 5cos ) 8

9 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 El se puede scr de l ríz quedndo: 5 5cos 5 cos Observ que no eiste un fórmul de integrción direct, por lo que será necesrio hcer uso de ls identiddes trigonométrics, en este cso cos A sec A. Al despejr est identidd tendrás sec A. Si elevs mbos miembros de l identidd, l relción se mntiene sec A, cos A cos A por lo tnto, puedes sustituir l identidd en l integrl como sigue: sec 5cos 5 cos 5 cos 5 Observ que hor puedes plicr l fórmul de integrción direct 5 sec d tn 5 sec u du tn u Hst este momento se h clculdo l integrl, pero no es el resultdo finl. Ahor se requiere que se vuelv su form lgebric y pr ello, puedes poyrte en el triángulo y el teorem de Pitágors. Cso I sen 5 5cos Tbl 5. Cso I. 9

10 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Con bse en este triángulo, l función trigonométric tngente es: c. opuesto tn c. dycente 5 Sustituyendo l función en el resultdo de l integrl, tienes: 5 d tn sec Por lo tnto: d 5 5 ( 5 ) Como puedes drte cuent, plicr este método de integrción permite simplificr l integrl, pero es importnte que no olvides regresr el resultdo su form originl. Ejemplo Encuentr l integrl de d 9 Solución Primero debes identificr si se puede resolver por un integrl direct. Observ ls fórmuls directs y trt de relcionrl con un de ells. Tl vez pienses que se puede resolver como: 0

11 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 d Sin embrgo, observ que l integrl, l vrible que se encuentr fuer de l integrl 9 está elevd l cudrdo y en l fórmul no, por lo que será necesrio plicr el método de sustitución trigonométric. Comienz por identificr el cso con el cul debes resolver el problem. Y lo tienes? Efectivmente, hor vs trbjr con el cso III. Cso III sec tn Tbl 6. Cso III. En el cso III, l constnte l cudrdo es negtiv, sin embrgo, este vlor solmente sirve como referenci pr poder determinr de qué método se trt, sí que el vlor de lo tomrás positivo. d 9 Ahor con bse en l integrl, determin ls sustituciones que debes relizr: 9 Del formulrio defines que: sec 9 tn Clcul el vlor de d con bse en el vlor de d tn sec sec, por lo tnto:

12 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Ahor tienes todos los elementos pr sustituir en l integrl: d 9 tn sec ( ) sec ( tn ) Observ que tnto en el numerdor como en el denomindor se repiten ls funciones por lo tnto, l integrl se puede simplificr, quedndo como sigue: d tn sec tn sec ( ) ( ) ( ) 9 sec tn 9sec tn 9sec tn sec, El 9 se puede scr de l ríz quedndo: 9sec 9 sec Observ que no eiste un fórmul de integrción direct, por lo que será necesrio hcer uso de ls identiddes trigonométrics, en este cso cos A sec A. Al despejr est identidd tendrás cos A, por lo tnto, puedes sustituir l identidd en l integrl como sigue: sec A 9 sec 9 cos d Ahor puedes plicr l fórmul de integrción direct cos u du senu 9 cos d sen 9

13 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Recuerd que hst este momento se h resuelto l integrl, pero no es el resultdo finl, porque se requiere que se vuelv su form lgebric y, pr ello, puedes poyrte en el triángulo y el teorem de Pitágors. Cso III 9 9 sec 9 tn Tbl 7. Cso III. Con bse en este triángulo, l función trigonométric tngente es: c. opuesto 9 sen hipotenus Sustituyendo l función en el resultdo de l integrl tienes: 9 cos sen C 9 Por lo tnto, el resultdo de l integrl es: d Como puedes drte cuent, plicr este método de integrción permite simplificr l integrl pero es importnte que no olvides regresr el resultdo su form originl.

14 MB0005_MAAL_Sustitución Versión: Septiembre 0 Bibilogrfí Leithold, L. (987). El Cálculo con Geometrí Anlític (5ª. ed.; J. C. Veg, Trd.) Méico: Hrl. Purcell, E. J. & Vrberg, D. (000). Cálculo Diferencil e Integrl (6ª. ed.; E. de Oteyz, Trd.). Méico: Prentice Hll. Smith, R. T. & Minton, R. B. (000). Cálculo Tomo (H. A. Cstillo y G. A. Villmizr, Trds.). Méico: McGrw-Hill. Stewrt, J., Redlin, L. & Wtson, S. (00). Precálculo. Mtemátics pr el cálculo (ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trds.). Méico: Interncionl Thomson Editores. 4

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