INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL. TERCERA EVALUACIÓN Septiembre 17 de Nombre:
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- Concepción Blanco Suárez
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1 INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TERCERA EVALUACIÓN Sptimbr 7 d Nombr: Parallo: Firma: TEMA ( puntos) Justificando su rspusta, califiqu como vrdadra o falsa, cada proposición: a) La función f con rgla d corrspondncia f sgn 4 s drivabl n. Primro s obtin la rgla d corrspondncia d f aplicando la dfinición d la función signo: () ; 4 ; 4 ( ) f sgn 4 () ; 4 ; 4 ( ) ( ) ; 4 ; 4 ( ) ; 4 f ; 4 ; 4 Entoncs f (ist) Por tanto la proposición s VERDADERA ; 4 f no ist ; 4 ; 4 No stablc cohrnts o califica Trata d ncontrar la forma plícita d la rgla d corrspondncia Obtin forma plícita d la rgla d Procsos corrctos y califica proposición proposición sin justificar d f n R o n un intrvalo qu contnga a cro, pro no sab la dfinición d la función signo o s aplicarla corrspondncia d f, pro s obtnr f
2 b) Si f s una función dfinida para todos los rals, con rgla d corrspondncia f 4, ntoncs su valor mínimo s. Primro s obtin la rgla d corrspondncia d f dscomponindo los valors absolutos: 4 ; 7 4; f 4 4 ; 4; La gráfica d f s: 4 ; 7 4; Entoncs: 7 ; no ist ; f ( ) ; no ist ; 7 ; En hay un punto crítico singular, dond la drivada s ngativa ants d st punto y positiva dspués d st punto ntoncs f s l valor mínimo d f. Por tanto la proposición s VERDADERA No stablc cohrnts o califica proposición sin justificar Obtin forma plícita d la rgla d corrspondncia d f, pro s Procsos corrctos y califica proposición Trata d ncontrar la rgla d corrspondncia d f sin valor absoluto pro s quivoca o solo s concntra n aminar los puntos críticos d f obtnr f o no clasifica corrctamnt los puntos críticos
3 TEMA ( puntos) a) Hallar f, si f Trabajando con f Obtnindo la drivada d f : f D D f D Entoncs: f D f! Vacío o no Trata d ncontrar Obtin stablc f pro no corrctamnt cohrnts f, pro s b) Calcular y, si y y aplica rgla dl producto hallar f Procsos corrctos y corrcto valor d f y 4 5 arctan D D arctan 5 arctan arctan ln 5 arctan 5 arctan y y 4 5 ln 5 arctan arctan ln 5 arctan 5 arctan Vacío o no stablc S aplicar alguna rgla d Aplica rglas d Drivación y simplificación corrctas cohrnts drivación drivación pro s manipulación algbraica
4 TEMA ( puntos) Dtrminar la longitud dl radio y la mdida dl ángulo cntral d un sctor circular d ára igual a 9u y d prímtro mínimo. r s r FUNCIÓN OBJETIVO: Prímtro sctor circular P r s Como s r, ntoncs P r r 8 Como s dic qu Ara=9 u, ntoncs 9 ; r r r 8 8 Sustituyndo s tin: P r r r ; r r r dp 8 r 8 Drivando s tin: dr r r Obtnindo los puntos críticos stacionarios: dp r 8 r 8 r 9. dr r S obsrva un punto crítico stacionario: r Clasificando l punto crítico: d P 6 d P 6 8 dr r dr 7 r Entoncs con r y mínimo. rad s tin l sctor circular d prímtro Vacío o no raliza cohrnts Idntifica la función objtivo pro s quivoca n rlacionar las variabls Rlaciona s variabls pro s drivar o dtrminar los valors pdidos. Obtin la longitud y la mdida pdidas mostrando procdimintos corrctos y compltos
5 TEMA 4 ( puntos) S lanza una pidra a un stanqu d agua n calma dando lugar a ondas circulars concéntricas. Si cada onda s alja dl cntro a una vlocidad d cntímtro por sgundo, a qué vlocidad stá aumntando l ára d la suprfici dl agua agitada al cabo d sgundos? Ralizando una gráfica dl problma: r r r r da dr A r r dt dt dr cm Al cabo d sg, s tin r cm y dt sg Entoncs: da dt cm sg Vacío o no raliza cohrnts Procdimintos corrctos y compltos Grafica apropiadamnt la situación y planta corrctamnt l ára d la suprfici circular Driva n forma implícita y obtin la prsión corrcta pro s quivoca al rmplazar la información y obtnr l rsultado
6 TEMA 5 ( puntos) Obtnga una prsión para la corrspondncia f n ésima drivada d la función con rgla d S dduc qu: f f f 4 f 5 4 IV f 4 n f n! n Otra opción s factorizar f() = / (-/) - y obtnr f n () =/ (-) n n! (-/) (n+) Vacío o no raliza cohrnts Procdimintos corrctos y compltos Encuntra s primras trs drivadas n Intnta gnralizar pro falla n alguna prsión algbraica TEMA 6 ( puntos) Calcul, d sr posibl, l siguint límit: lim tan S tin una indtrminación d tipo S manipula la prsión hasta podr aplicar L Hopital: lim tan lim ln lim ln cot tan lim tan ln lim csc csc
7 OBSERVACIÓN: También pud rsolvr l problma sin aplicar la rgla d L Hopital No sab cómo nfrntar sta indtrminación Idntifica la indtrminación pro no sab manipular la prsión para aplicar la rgla d L Hopital. Aplica rgla d L Hopital pro s quivoca n l rsultado. Calcula l límit mostrando corrctos y compltos TEMA 7 (5 puntos) Encuntr y dibuj la cuación d la rcta tangnt al cardioid d cuación polar r cos cuando 6 La cuación d la rcta tangnt stá dada por: y y m Dond: r cos cos6 cos6 4 y r sn cos6 sn6 4
8 m m dy dy d r (6 )sn6 r(6 )cos 6 d d d r (6 )cos 6 r(6 )sn6 6 sn6 sn6 cos 6 cos 6 sn6 cos6 cos 6 sn6 Por tanto: y y No sab cómo dtrminar cuación d rcta tangnt n coordnadas polars Dtrmina s coordnadas dl punto d tangncia Dtrmina s coordnadas dl punto d tangncia, planta la prsión para la pndint n coordnadas polars pro s obtnr su valor Obtin la cuación d la rcta n coordnadas polars o cartsianas y la grafica corrctamnt TEMA 8 ( puntos) Una curva tin las cuacions paramétricas: t, t y t 4 4 Dtrmin su concavidad n l punto P d coordnadas, S halla primro l valor d t corrspondint al punto, t t 4 4 S obtinn ahora las drivadas ncsarias: dy t dy dt t d d dt t t 4
9 d dy d t t d y dt d dt t d Y n t 4, sría: d dt t t d y d t 4 t 4 t 4 La curva s cóncava hacia arriba n l punto (,) No sab hallar drivadas d Dtrmina l valor d parámtro y la Dtrmina corrctamnt Cálculos corrctos y compltos cuacions paramétricas primra drivada tanto la primra como la sgunda drivada, pro s quivoca al simplificar TEMA 9 (5 puntos) Bosquj l gráfico d la función dfinida sobr los rals con rgla d corrspondncia f indicando simtría, asíntotas, intrvalos d monotonía y concavidad, trmos locals o absolutos y puntos d inflión. Simtría: f ; no s par ni impar. Asíntotas: Vrticals no hay lim lim ; hay una asíntota horizontal y Puntos críticos: f Punto crítico stacionario: Punto crítico singular: NO HAY Monotonía: Como f ; l signo d la drivada no dpnd d la función ponncial dbido a qu s positiva n todo R, por tanto
10 f ;, ntoncs f s dcrcint n f ;, ntoncs f s crcint n,, Etrmos: En, f tin un mínimo absoluto. f Concavidad: 4 4 f 9 El signo d la sgunda drivada no dpnd d la función ponncial, ntoncs: ; f, ntoncs la gráfica d f s cóncava hacia abajo n, f ;, ntoncs la gráfica d f s cóncava hacia Punto d inflión:, f arriba n, P.I., f.5, f.5 Mínimo
11 INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO Muy Buno EXCELENTE Vacío o inicia procdimintos incorrctos Bosquja corrctamnt l gráfico d f Dtrmina simtría, asíntotas pro s quivoca n drivar Cálculos corrctos pro s la dtrminación d intrvalos o intrprtación d los rsultados Intrprta corrctamnt los rsultados pro grafica incorrctamnt mostrando corrctos y compltos
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