TEMA: 15 AZAR Y PROBABILIDAD 3º ESO

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1 TEMA: AZAR Y PROBABILIDAD º ESO. SUCESOS O EXPERIMENTOS ALEATORIOS Un experimento o suceso aleatorio es aquel que antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener, es decir, influye el azar. En caso contrario se dice que el experimento es determinista. Caso: Cada uno de los resultados que puede obtenerse al realizar una experiencia aleatoria se llama caso. o Los posibles casos de lanzar un dado, son, 2,,,, 6. Espacio muestral: El conjunto de todos los casos posibles se llama espacio muestral, al que designamos por E. o El espacio muestral es E={,2,,,,6} Sucesos: Se llama suceso de un experimento aleatorio a cualquier parte del espacio muestral, es decir, es un subconjuntos del espacio muestral. o Los sucesos, pueden ser diferentes, por ejemplo suceso par PAR={2,,6} 2. TIPOS DE SUCESOS Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Suceso imposible,, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. A B = Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por A. P(A)+P(A )=

2 . UNIÓN E INTERSECCIÓN UNIÓN La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son de A y B. INTERSECCIÓN La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. A B se lee como "A y B". EJEMPLO: A = {2,, 6} B = {, 6} A B = {6}. OPERACIONES CON UNIÓN E INTERSECCIÓN SUCESOS COMPATIBLES P(A U B) = p(a) + p(b) P (A B) SUCESOS INCOMPATIBLES P(A U B) = p(a) + p(b) SUCESOS DEPENDIENTES P (A B)= p(a/b) p(b) SUCESOS INDEPENDIENTES P (A B)= p(a) p(b) SUCESOS COMPATIBLES A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. SUCESOS INCOMPATIBLESA y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. A B = SUCESOS DEPENDIENTES A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. SUCESOS INDEPENDIENTES A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya o no B. PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre en B P( A B) P(A/B)= P( B) 2

3 . PROBABILIDAD SIMPLE PROBABILIDAD: la probabilidad de un suceso S, indica el grado de posibilidad de que ocurra dicho suceso. Se expresa mediante un número comprendido entre 0 y y lo escribimos así P[S]. Si P[S] está próximo al cero, el suceso es poco probable, mediante que si el valor se aproxima a, el suceso es muy probable. REGLA DE LAPLACE: N º CASOSFAVORABLES o P[S]= Nº CASOSTOTALES o SUCESO EQUIPROBABLE= Es cuando tienen las mismas probabilidades de que ocurra. P[AMARILLO]= P[VERDE]= P[ROJO]= P[AZUL]= 2 P[NEGRO]= 2 6. PROBABILIDAD COMPUESTA Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser dependientes o independientes. o INDEPENDIENTES: Dos o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás. El lanzamiento de dos dados puede considerarse composición de dos pruebas (un dado y otro dado) independientes, pues el resultado de cada dado no influye en el otro. o DEPENDIENTES: Dos o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las posibilidades de las siguientes. Extraer dos cartas de una baraja (una seguida de la otra) es la composición de dos pruebas dependientes, pues el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES COMPUESTAS SE REALIZA MEDIANTE EL PRODUCTO DE CADA UNA DE LAS PROBABILIDADES SIMPLES.

4 7. EXTRACCIONES CON O SIN REEMPLAZAMIENTO Al extraer cartas o bolas de una urna, es posible encontrarnos con dos casos: o EXTRACCIÓN CON REEMPLAZAMIENTO: Hay que tener en cuenta que una vez cogida la carta o bola, se vuelve a dejar en la urna o en la baraja de manera que hay las mismas cartas o bolas que al principio. EXPERIENCIA INDEPENDIENTE o EXTRACCIÓN SIN REEMPLAZAMIENTO: Hay que tener en cuenta que una vez cogida la carta o bola, NO se vuelve a dejar en la urna o en la baraja de manera que NO hay las mismas cartas o bolas que al principio. EXPERIENCIA DEPENDIENTE EJEMPLO: Se extraen tres cartas de una baraja de cartas. Hallar la probabilidad de extraer: a) Sacar as, figura y as. b) Sacar rey, sota y figura. c) Sacar copas, copas y no copas. d) Sacar copas, oros, oros. e) Sacar sota de oros, oros, sota.. DIAGRAMAS EN ÁRBOL. A B C D E P[A/F/A]= P[R/S/F]= P[C/C/NC]= P[C/O/O]= 0 P[SO/O/S]= ,002 0,002 0,0 0,0 0,000 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: a) Tres caras. P(C)= b) Dos caras y una cruz P(2C, 2 X)= C,C,C C,C,X C,X,C C,X,X X,C,C X,C,X X,X,C X,X,X

5 . DIAGRAMAS DE ÁRBOL (EMBUDOS) P[a]= P[b]= 0,2 P[c]= 0,2 P[d]= 0,7 P[e]= 0,2 0,2 0. TABLA DE CONTIGENCIA Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla. Ejemplo: Se sortea un viaje a Roma entre los 20 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 6 son mujeres, 0 están casados y son mujeres casadas. Se pide: a) Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Probabilidad de que sea mujer sabiendo que está casada. HOMBRES MUJERES TOTAL CASADOS 0 SOLTEROS TOTAL a) P (HOMBRE SOLTERO)= 0, 6 20 b) P (MUJER/CASADA)= 0, 6 0

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