Integrales impropias dependientes de un parámetro

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1 Interles impropis dependientes de n prámetro 1. Definición (converenci niforme de interles impropis dependientes de n prámetro). Se Y n conjnto y se f : [, b) Y C. Se spone qe pr todo y en Y l fnción x f(x, y) es interble en todo intervlo [, t], donde t < b. Se dice qe l interl impropi niforme respecto y en Y de l expresión t es niformemente converente si existe el límite, cndo t b. 2. Proposición (criterio de converenci niforme de interles impropis dependientes de n prámetro). Sponmos qe se cmplen ls condiciones de l Definición 1. Entonces ls siientes condiciones son eqivlentes: () l interl impropi es niformemente converente; (b) pr cd y l interl impropi es converente y, demás, pr cd ε > 0 existe n (, b) tl qe pr cd t en (, b) y cd y en Y < ε. t Demostrción. 1. Sponmos qe l interl impropi convere niformemente n fnción h: Y C, es decir, t lim sp t h(y) = 0. (1) y Y Entonces pr cd y en Y tenemos t lim t h(y) = 0, lo cl implic qe l interl impropi convere (y). Además, el vlor bsolto de l diferenci de ls interles en (1) se pede escribir como. 2. Sponmos qe se cmple l condición (b). Entonces tenemos (1). t Interles impropis dependientes de n prámetro, páin 1 de 5

2 3. Teorem (criterio de Cchy pr l converenci niforme de interles impropis). Se f como en l Definición 1. Entonces ls siientes condiciones son eqivlentes: () l interl impropi f(x, y) es niformemente converente; (b) ε > 0 t (, b) tl qe, v [t, b) y Y v < ε. Demostrción. Definimos : [, b) Y C medinte l siiente rel: (, y) := f(x, y) difx. Entonces l condición (b) se pede escribir de l siiente mner: (b ) pr cd ε > 0 existe t (, b) tl qe pr clesqier, v en [t, b) y cd y en Y (, y) (v, y) < ε. 1. Sponmos qe l interl impropi convere niformemente n fnción h. Entonces pr cd ε > 0 existe t (, b) tl qe pr cd [t, b) y cd y Y Leo pr clesqier, v t tenemos (, y) h(y) < ε 2. (, y) (v, y) (, y) h(y) + h(y) (v, y) < ε. Hemos demostrdo qe se cmple l condición (b ), pero (b ) es eqivlente (b). 2. Sponmos qe se cmple (b). Entonces pr cd y en Y l fnción (, y) cmple con ls condiciones de Cchy pr l existenci del límite de n fnción, sí qe existe n límite finito h(y) := lim (, y). Además, psndo en (b ) l límite cndo v b, obtenemos lo cl sinific qe (, y) y Y == h(y). [t, b) y Y (, y) h(y) < ε, 4. Ejemplo. Mostrr qe l interl impropi + 0 xy sen x e x dx es niformemente converente con respecto y en [0, + ). Interles impropis dependientes de n prámetro, páin 2 de 5

3 5. Teorem (intercmbio del límite con l interción impropi). Se (f ν ) ν N n scesión de fnciones (, b) C. Se spone: (i) ν N t [, b) f ν (,t) L 1 ((, t)). (ii) lim f ν (x) = c.t.p. en (, b). (iii) t (, b) t t (,t) L 1 ((, t)) y lim f ν =. (iv) l interl impropi f ν (x) dx convere niformemente con respecto ν N. Entonces l interl impropi (x) dx es converente y (x) dx = lim f ν (x) dx. (2) Demostrción. 1. Usndo el criterio de Cchy demostremos qe l interl impropi (x) dx convere. Se ε > 0. Usndo l condición (d) y el criterio de Cchy de l converenci niforme pr interles impropis, encontrmos t en (, b) tl qe pr clesqier, v con t < < v y clqier ν en N se cmple l desildd v f ν dµ < ε 3. Sen, v tles qe t < < v. Usndo l condición (iii), encontrmos ν en N tl qe f ν dµ dµ < ε 3, v v f ν dµ dµ < ε 3. Entonces obtenemos v dµ < ε. Por el criterio de Cchy, l interl impropi convere. 2. Demostremos l fórml (2). Se ε > 0. Usndo l converenci de l interl impropi, encontrmos t 1 (, b) tl qe pr cd en (t 1, b) se cmple < ε 3. Interles impropis dependientes de n prámetro, páin 3 de 5

4 Usndo l converenci niforme (respecto ν) de l interl impropi f ν, encontrmos t 2 (, b) tl qe pr cd en (t 2, b) se cmple f ν f ν < ε 3. Eleimos en (mx{t 1, t 2 }, b). Usndo l condición (iii) encontrmos ν 0 en N tl qe pr cd ν ν 0 se cmple l desildd f ν < ε 3. Entonces pr cd ν ν 0 se cmple f ν f ν f ν + f ν + < ε. Notemos qe los rzonmientos de l demostrción son my comnes en nálisis y se conocen como rzonmientos con ε/3. 6. Observción. L condición (iii) del teorem nterior se cmplirá, en prticlr, en cd no de los siientes csos: (iii ) si pr todo t en (, b) existe n fnción h t L 1 ((, t)) tl qe f ν (x) h t (x) pr cd ν en N y cd x en (, t); (iii ) si R (i.e. es n pnto finito) y l scesión (f ν ) ν N convere niformemente en (, t) pr cd t en (, b). 7. Teorem (continidd de n fnción definid por n interl impropi). Se Y n espcio métrico, z Y, f : (, b) Y C. Se spone: (i) Pr cd y en Y y cd t en (, b), l fnción x f(x, y) es interble en (, t) (ii) Pr csi todo x en (, b), l fnción y f(x, y) es contin en el pnto z. (iii) Pr cd t en (, b), l fnción y t f(x, y) es contin en el pnto z. Est condición se cmple, en prticlr, pr cd t en (, b) existe n fnción h t L 1 ((, t)) tl qe f(x, y) h t (x) pr csi todo x (, t) y todo y Y. (iv) L interl impropi f(x, y) es niformemente converente en Y. Interles impropis dependientes de n prámetro, páin 4 de 5

5 Entonces l fnción Φ: Y C, definid por es contin en el pnto z. Φ(y) :=, Demostrción. Se (y n ) n N n scesión en Y qe convere z. Ponmos f ν (x) := f(x, y n ), (x) := f(x, z). Entonces se cmplen ls condiciones del Teorem 5, y obtenemos qe Φ(y n ) Φ(z). Por el criterio de Heine, conclimos qe l fnción Φ es contin en z. 8. Ejemplo. Mostrr qe l fnción Φ(y) := + 0 xy sen x e dx (y 0) x está bien definid y contin en el intervlo [0, + ). Se recomiend demostrr l continidd en clqier pnto z positivo y en el pnto z = 0. Interles impropis dependientes de n prámetro, páin 5 de 5

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