RESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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1 RESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES La idea intuitiva de función continua es la de aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Analíticamente, una función f(x) se dice que es continua en un punto x 0 cuando se cumplen tres condiciones: a) (x ) f 0 b) f(x) x x c) f(x) = f(x0) x x 0 0 (lo que implica que existen los límites laterales y son iguales) Una función se dice que es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio Las discontinuidades pueden ser de varios tipos: I) Evitables: x x 0 f(x) (lo que implica que existen los límites laterales y son iguales) Se pueden dar dos situaciones: a) La función no está definida en x=x 0, es decir: f(x 0 ) b) f(x 0 ) no coincide con el límite Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva función a partir de la que tenemos, de la siguiente manera: fx si x x 0 g(x)= f(x) si x=x x x 0 0 Ejemplo 1: Sea f(x)= x2-5x+6 La función no está definida para x=3 por lo que no es continua en x=3. Pero si estudiamos el límite cuando x tiende a 3, tenemos: 1

2 fx= x 2-5x+6 = ()(x-2) = x-2 =-1 podemos evitar la discontinuidad dando a f(3) el valor del límite. x2-5x+6 si x x 0 f(x)= -1 si x=x 0 Ejemplo 2: x2 si x<2 f(x)= 4 si x>2 No es continua en x=2 puesto que f(2). Podemos salvar la discontinuidad poniendo un signo = en cualquiera de los dos tramos. II) Inevitables: Pueden ser de dos tipos: a) De 1ª Especie: Los límites laterales existen (son finitos) pero son distintos. También se conocen como de salto finito. b) De 2ª Especie: Alguno de los límites laterales es infinito (También llamadas de salto infinito) o no existe ( x a la izquierda de x=0). Ejemplo 3: x+5 si x 0 a) f(x)= x 2-1 si x>0 EJEMPLO 4: b) f(x)= 5x x-5 Los límites laterales son infinitos. 2

3 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo. (a,b) Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], si es continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) y además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Entendiendo que: f(x) es continua por la derecha en x=a si f(a) y x a + fx=f(a) f(x) es continua por la izquierda en x=b si f(b) y x b - fx=f(b) EJEMPLO 5: La función f(x) = x es continua en el intervalo [0,1] puesto que es continua en el intervalo (0,1] y además es continua por la derecha en x=0. (no existe límite por la izquierda porque no podemos acercarnos por la izquierda. EJEMPLO 5: La función: x+1 si x<3 f(x)= x 2-1 si x 3 no es continua en el intervalo [1, 3] ya que f(3) = 8, pero el límite lateral - fx=4 es distinto de f(3), luego no es continua en el intervalo [1, 3]. Operaciones con funciones continuas: Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x = x 0, entonces podemos afirmar que: a) K f(x) es continua en x=x 0 b) f(x) + g(x) es continua en x = x 0. c) f(x) g(x) es continua en x = x 0. d) f(x) g(x) es continua en x = x 0, si g(x 0 ) 0. e) f(g(x)) es continua en x = x 0. El conocimiento de la continuidad de una función tiene muchas aplicaciones y nos puede ser muy útil para deducir datos y características de dicha función, como por ejemplo: si corta al eje X; si está acotada etc. 3

4 CONSECUENCIAS Y APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. TEOREMA DE BOLZANO: Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y tal que signo de f(a) signo de f(b). Entonces existe c (a, b) tal que f(c) = 0. El teorema, lo que viene a decir es que, si el valor de la función pasa de positivo a negativo o viceversa, a la fuerza tiene que pasar por cero. Es lo mismo que decir que f(x) tiene al menos una raíz en x=c. EJEMPLO 6: Demuestra que la función: f(x)= x 3 +x 2 +x+1, tiene una raíz real en el intervalo [-2,0)]. a) f(x) es continua en [-2,0)] puesto que es un polinomio. Además: b) f(-2) = (-2)3 +(-2) = =-5 <0 signo de f-2 signo de f(0) f(0) = =1>0 Es decir, cumple las condiciones del teorema de Bolzano por lo que podemos asegurar que entre x=-2 y x=0 hay un punto en que la función se hace cero. (x=-1) es decir tiene una raíz en ese intervalo. EJEMPLO 7: Comprueba que la ecuación x 2 = x sen x + cos x posee alguna solución real en [0, π]. Si tiene una solución en real, quiere decir que hay algún valor de ese intervalo para el que: x 2 = x sen x + cos x x 2 - x sen x - cos x =0 Es decir, tenemos que comprobar que la función: g(x) = x 2 - x sen x - cos x tiene una raíz en ese intervalo. Para ello comprobamos si cumple las condiciones del teorema de Bolzano en el intervalo [0,π] a) g(x) es continua en [0,π] puesto que es suma de funciones continuas en ese intervalo. b) g(0) = 0-0 sen 0 cos 0 = -1 < 0 g(π) = π 2 - π sen π - cos π = 9,87 0 (-1) = 10,87 > 0 4

5 como se cumplen las condiciones del teorema, podemos afirmar que la ecuación x 2 = x sen x + cos x, posee una solución real en el intervalo [0,π]. Del teorema de Bolzano se deducen dos consecuencias que se pueden enunciar de la siguiente manera: I) TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS Si f(x) es continua en [a, b] entonces, f(x) toma todos los valores entre f(a) y f(b). Es decir, para cualquier valor k tal que: f(a) < k < f(b) c (a, b) tal que f(c) = k Se puede comprobar fácilmente sin más que aplicar el teorema de Bolzano a la función: g(x) = f(x) K EJEMPLO 8: Demostrar que la función f(x) = x 2 + x 1 toma el valor f(c) = 11 para algún c (0, 5). f(x) es continua en (0,5) por ser un polinomio, además: f(0) = -1 y f(5)=29 como -1 < 11 < 29 podemos asegurar que existe algún valor c del intervalo (0,5) para el que f(c) = 11 II) Sea f (x) y g (x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] y se verifican que f (a) > g (a) y f (b) < g (b), (de igual modo si f (a) < g (a) y f (b) > g (b)), Entonces existe al menos un c ϵ (a,b) tal que f (c) = g (c). EJEMPLO 9: Demuestra que las funciones f(x)= sen x y g(x)= cos x se cortan en algún punto del intervalo [0, π 2 ] Tanto f(x) como g(x) son funciones continuas en ese intervalo. Además: f(0)= 0 y g(0) =1 f(0) < g(0) f( π 2 ) = 1 y g(π 2 ) = 0 f(π 2 ) > g(π 2 ) por lo que podemos afirmar que ambas funciones se cortan en el intervalo [0, π 2 ] 5

6 TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces tiene máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Esto implica que una función continua, definida en un intervalo [a, b], está acotada. EJEMPLO 10: Comprueba que la función f(x) = x 3 2x está acotada en el intervalo [1,3] Dado que es una función continua, por el teorema de Weierstrass podemos afirmar que alcanza un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo indicado, por lo tanto está acotada. EJEMPLO 11: Está la función f(x)= x3 +2x x 2-1 acotada en el intervalo [0,3]? Como la función no es continua en dicho intervalo, no podemos afirmar que esté acotada en él. 6