Guía de Ejercicios: Aplicaciones Trigonométricas

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1 Resultados de Aprendizaje Guía de Ejercicios: Aplicaciones Trigonométricas Identificar y aplicar identidades trigonométricas elementales, en la resolución de problemas de planteamiento Manejo de abilidades matemáticas, que permitan a través de la trigonometría resolver situaciones problemáticas Contenidos: Identidades Trigonométricas diversas Teorema del seno y coseno Ejercicio 1 Desde el punto más alto de un edificio, se observa un móvil, ubicado en la acera opuesta, con un ángulo de depresión de 75 º, si la distancia que separa el pie del edificio con el móvil es de 5 metros cuál es la altura aproximada del edificio? Respuesta: la figura que representa la situación planteada corresponde a : 75º 5 mts Se deduce que tan 75º 5 tan 75º 5 Pero tan 0º tan 45º tan 75º tan(0º 45º ) 1 tan 0º tan 45º 1 1 (aplicamos la identidad Por lo tanto el valor para es 5 si acemos uso de la calculadora el valor aproximado es 5 (.72) mts.

2 Ejercicio 2 Desde la orilla de un río se vé un árbol en la otra orilla, bajo un ángulo de 45 º y si se retrocede 40 mts, se vé un ángulo de 0 º Encuentre la altura del árbol y el anco del río Respuesta: El problema planteado se puede representar como sigue: 0 º 45 º 40 metros anco del rio Si consideramos que d es el anco del río se tiene : tan 45º d tan 45º d 1 d luego la altura del árbol coincide con la medida del d anco del rio Además el retroceder 40 metros se obtiene tan( 0º) ( d 40) tan(0º) d tg(0º) 40 tan(0º ) d d 40 pues d Luego despejando d se tiene d tg( 0º ) d 40 tg(0º ) d( tg(0º ) 1) 40 tg0º ( ) 40 tg0º 40 De donde d Aproximando con el uso de la tg 0º 1 1 calculadora se obtiene : d mts que es el anco del río e igual a la altura del árbol

3 Ejercicio Un niño a encumbrado dos volantines de forma simultánea. Uno de ellos se a elevado 116 mts y el otro a 128 mts ambas distancias acia el niño. El ángulo que subtienden ambos volantines, es de 0 º Se pide encontrar la distancia que los separa A considerar la siguiente gráfica d º Respuesta: Considerando la distancia que los separa como d y aplicando teorema del coseno se tiene d (116)(128) cos(0º ) d d d 64. 2mts 2 Distancia que separa a ambos volantines Ejercicio 4 Para calcular la altura de una montaña, se determinan los ángulos, y la distancia d, según se muestra en la figura a) Determine la longitud de en función de,, d b) Demuestre que la altura de la montaña está dada por la formula sen sen d sen( -) c) Utilice la fórmula del inciso (b) para encontrar la altura de una montaña si 25º, 29º y d 800 pies Figura C A B E d

4 Solución a) A partir de la gráfica se observa: sen sen además si consideramos el punto E como el pié de la altura de la montaña, se tiene: tan, que al sustituir se obtiene : BE d sen tan como BE d tan BE, al sustituir se tiene sen tan de donde BE Se obtiene sen BE, luego al sustituir en tan, se obtiene la relación tan tan sen sen d tan sen tan, de donde despejaremos sen d tan En efecto: tan ( sen d tan ) sen tan (Aplicamos distributividad de tan ) tan sen sen tan d tan tan tan sen sen tan d tan tan d tan tan tan sen sen tan Si aplicamos procedimiento de reducción, tenemos d tan tan sen sen d tan cos d tan tan tan sen tan tan cos tan tan d tan d tan sen cos tan sen cos tan cos cos Por lo tanto se puede expresar en función de d tan cos tan sen,, d como

5 Solución b) Considerando los elementos que se indican en la figura se tiene sen AC AC sen d BE cos AC sustituyendo el trazo AC d BE sen ( d BE) cos sen Además BE cos BE cos Sustituyendo en cos se obtiene sen ( d cos ) sen ( d cos ) sen cos cos Recordar por parte a) sen sen sen cos cos d sen sen sen cos cos d sen sen sen cos cos d sen sen (Factoriza ndo por ) cos sen sen cos d sen sen

6 d sen sen d sen sen cos sen sen cos sen( ) Solución c) sen25º sen29º 800(0.42)(0.484) mts sen4º Ejercicio 5 Un avión vuela sobre una ruta orizontal, el piloto se da cuenta que en un determinado momento, se encuentra sobre dos torres indicadoras de kilometraje, a 5 km de distancia entre sí, observados con ángulos de depresión de 2º y 48º según se indica en la figura 2 º 48 º A B 5Km a) Determine la distancia del avión a la torre A b) Determine la altitud del avión en ese instante Solución a) Consideremos d la distancia del avión a la torre A, además utilizando el concepto ángulos alternos internos, entre paralelas y aplicando teorema del seno, tenemos : sen48º sen100º, donde 100 º es el ángulo suplemento de los ángulos de depresión del d 5 problema, por lo tanto 5 sen48º.78 d. 9km sen100º 0.98 Luego la distancia que separa al avión de la torre A es de.9km aproximadamente

7 Solución b) Consideremos la altura del avión como, luego tenemos sen2º.9 sen2º 2. 07km.9 Ejercicio 6 Para encontrar la distancia que separa las dos orillas de un río, una topógrafa, selecciona dos puntos de un mismo lado del río, sean A y B ambos separados por 200 mts, ella escoge un punto de referencia C del otro lado del río según lo indica el gráfico, generando dos ángulos tal que m BAC 82º m A 52º Se pide calcular aproximadamente la distancia AC A 200 mts B Nota: m BAC denota medida del ángulo BAC C Solución : Según la información del gráfico se tiene que m ACB 46º Aplicando luego teorema del seno tenemos que : sen 46º sen52º 200sen52º de donde se desprende que AC 222 mts 200 AC sen46º 0.71