3.3 Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento y decrecimiento.

Transcripción

1 DERIVADAS. Función derivable en un punto. laterales. Interpretación geométrica de la derivada. Ecuaciones de las rectas tangente normal a la gráfica de una función en un punto.. Concepto de función derivada. Derivada segunda de una función.. Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento decrecimiento.. Teorema de ROLLE. Teorema del valor medio de LAGRANGE..5 Puntos críticos de una función.. Función derivable en un punto. laterales. Interpretación geométrica de la derivada. Ecuaciones de las rectas tangente normal a la gráfica de una función en un punto. El cálculo de derivadas diferenciales se comienza en el glo XVII con el propóto de dar respuesta a tres problemas que en aquellos tiempos tenían en jaque a los más eminentes matemáticos fícos europeos: - La definición de velocidad. - La determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado. - El cálculo de máimos mínimos de una función. Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto a al guiente límite, es que eiste: f(a h) - f(a) lim h 0 h Si el límite eiste se dice que la función es derivable en el punto a. La derivada de una función en un punto es un número real. Por tanto conviene tener presente que el cálculo de derivadas se reduce al cálculo de límites. Para de gnar este límite, o lo que es lo mismo la derivada de la función f en el punto a, se emplean df d diversas notaciones: (a), f (a),, d d Las dos primeras son debidas a Lagrange las dos últimas a Leibniz. Otra forma de escribir la derivada en un punto es la guiente: Si hacemos ah, entonces h-a, con lo que ->a cuando h->0. Sustituendo estos valores en la fórmula anterior se obtiene una segunda forma de epresar la derivada: f() f (a) lim a f() - - a f(a) f(a) a

2 laterales. Se llama derivada por la izquierda la función f en el punto a al guiente límite, es que eiste: f(a h) - f(a) h - lim h 0 Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto a al guiente límite, es que eiste: f(a h) - f(a) lim h 0 h - La derivada por la izquierda se degna por f ( a ), la derivada por la derecha f ( a ). Una función es derivable en un punto, solo, es derivable por la izquierda por la derecha en dicho punto las derivadas laterales coinciden. Si los dos límites laterales son distintos finitos en un punto presenta en este punto a un punto anguloso. De igual forma los límites laterales son - la función es continua se presenta un punto de retroceso o cuspidal. Si los límites laterales son los dos o bien - en el punto a eistirá un punto de infleión con tangente vertical. Derivabilidad en un intervalo. Una función es derivable en un intervalo abierto ]a,b[ lo es en cada uno de sus puntos. Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] es derivable en cada punto de ]a,b[ derivable por la derecha en a por la izquierda en b. Ejemplo Dada la función f < 0 ( ) 0 <, estudiar la continuidad derivabilidad. > CONTINUIDAD Si 0 : La función es continua pues f () es una función polinómica. Para 0. lím f ( ) lím 0 0 Discontinua en 0 lím f ( ) lím ( ) 0 0 Para. lím lím f f ( ) lím ( ) ( ) lím ( ) Discontinua en Por tanto: f () es continua en R {0, } DERIVABILIDAD f () es derivable en R {0, }, pues es una función polinómica en cada uno de estos tres intervalos. La función no es derivable en 0, pues es discontinua en estos puntos. Interpretación geométrica de la derivada.

3 La recta tangente es el límite de la secante, su pendiente coincide con el límite de las pendientes de las secantes. La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto: mf'(a) La ecuación de la recta tangente en el punto P(a,f(a)) es - f(a) f (a)( - a) f(a) mf (a) f t α a La ecuación de la recta normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Viene dada por: - f(a) ( - a) f (a) Ejemplo Dada la función abscisa 0. f ( ) e, escribe la ecuación de su recta tangente en el punto de Ordenada en el punto: f () Pendiente de la recta: f '( ) e e ( ) e f ' () Ecuación de la recta tangente: ( ). Concepto de función derivada. Derivada segunda de una función. Si una función f es derivable en un subconjunto D' de su dominio D, es poble definir una nueva función que asocie a cada número real de D' su derivada en ese punto. Esta función así definida se llama función derivada o, mplemente derivada. Si f' es derivable, se llama segunda derivada de f, se mboliza por f'', a la derivada de f'.. Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento decrecimiento. La derivabilidad supone un progreso en relación con la mple continuidad de una función; se trata de una propiedad más restrictiva, a que eisten funciones continuas que no son derivables. - Teorema I.- Si una función es derivable en un punto a (derivada finita), entonces es continua en él. El recíproco de este teorema no es cierto. Cualquier función derivable es continua, pero una función continua no es necesariamente derivable. Esto se ve con facilidad eaminando la función f() en el origen. - Teorema II.-

4 Sea f una función definida en el intervalo abierto ]a,b[. Si la función alcanza un máimo o un mínimo en un punto c del intervalo, es derivable en él, entonces su derivada es nula. Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que sólo es creciente o sólo decreciente. Si f' es maor o igual a cero en un intervalo, entonces la función f es creciente en él. Si f' es menor o igual a cero en un intervalo, entonces la función f es decreciente en él.. Teorema de ROLLE. Teorema del valor medio de LAGRANGE. Teorema de Michel ROLLE (65-79).- Si una función f es: - continua en un intervalo cerrado [a,b] - derivable en su interior ]a,b[ - f(a)f(b) entonces eiste al menos un punto interior c tal que f'(c)0 Geométricamente, este teorema epresa la eistencia de un punto c de ]a,b[ tal que la recta tangente en (c,f(c)) es paralela al eje OX. Ejemplo Calcula a, b c para que la función: f ( ) a < b c cumpla las hipótes del teorema de Rolle en el intervalo [0, ]. Qué asegura el teorema en este caso? Continuidad en [0, ]: - Si, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. lím f ( ) lím ( a) 8 a - En : lím f ( ) lím ( b c) b c f ( ) b c Para que sea continua en, ha de ser: 8 a b c Derivabilidad en (0, ): - Si, la función es derivable, su derivada es: a < f '( ) b > ( ) ( ) f ' 8 a - En, ha de ser 8 a b f ' b Además, debe ser f (0) f () ; es decir: 0 b c Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que: 8 a b c a 6 8 a b b 0 b c c 8 En este caso, el teorema de Rolle asegura que eiste c (0, ) tal que f ' (c) 0. Teorema del valor medio o de Joseph L. LAGRANGE. (76-8). Si una función f es: - continua en un intervalo cerrado [a,b] - derivable en su interior ]a,b[ f(b)- f(a) entonces eiste al menos un punto interior c de ]a,b[ tal que f (c) lo cual equivale a b - a

5 f(b) - f(a) f (c)(b - a) que recibe el nombre de fórmula de incrementos finitos. Apuntes de A. Cabañó Geométricamente dice que la gráfica de una función continua tiene tangente en todo punto del arco AB, entonces ha por lo menos un punto C de la gráfica en el que la tangente es paralela a la secante AB. C B A a c b Raíces de una ecuación o función. Entre cada dos raíces de una función derivable eiste al menos una raíz de la función derivada. Si f' no posee raíces reales, el número máimo de raíces de f será uno. Si f' sólo posee una raíz real, el número máimo de raíces de f será dos así sucevamente. C n f() ± c. f() f() g() n f() L f(). f() g() g() TABLA DE DERIVADAS 0 n- n f () ± g () c. f () f (). g() g (). f() f (). g() - g (). f() g( ) n n n- f( ). f () f() f() f() e e. f (). f () f() f() a a. f (). L a sen f() 5 cos f(). f ()

6 cos f() - sen f(). f () tg f() cotg f() cos f(). f () - sen f(). f () arc arc arc arc sen cos tg cotg f() f() f() f() f( ) f( ) f( ) - f( ). f (). f (). f (). f () Ejemplo 5 Calcula la derivada de las guientes funciones: a) arctg ( ) b) a) ' 5 0 ( ) ( ) Ejemplo Aplica la derivación logarítmica para derivar: cos f () cos f '( ) ln f () cos ln sen ln cos f f ' cos 5 ( ) cos ( ) f ( ) sen ln sen ln Ejemplo Halla ' sabiendo que:. ' ' ' ( ) ( ) cos ' ( ( b) ' ) ) 5 5 ( ) DERIVADAS. PROBLEMAS 6

7 º- Calcular las guientes derivadas. a) b) c) ln(sen ) d) ln( ) e) f) sen( ) g) i) ln(tg( )) j) cos h) tg cos tg º-Estudiar la derivabilidad de las funciones en los puntos que se señalan: > 0. f() ( - ) E[] en. f() en 0 sen 0 e 0. f() 0 < <. f() - 9 en ± 9.5 f() tag en 0.6 f() ln( ) en 0 º- Estudiar la derivabilidad la continuidad de la función: f() - en 0. º- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación - en los puntos en que su ordenada es igual a su abscisa. 5º- Probar que - es la tangente a la gráfica de f() Hallar el punto de tangencia estudiar sí esta recta tangente corta a la gráfica en algún punto distinto al de tangencia. 6º- Calcular la función derivada de f() sen aplicando la definición de la derivada. 7º- Dada la función f() calcular f (), f () R probar que no eiste f III (0). bln 8º- Hallar a b para que la función f() sea derivable en. a - b > 9º- Halla todas las pobles rectas tangentes a la curva que pasan por el punto (,0). - 0º- Aplicar el teorema de Rolle a la función f() en [-,]. m n º- Se condera una función f() ( - ) m,n N. Demostrar n calcular la derivada que la ecuación f'()0 posee al menos una raíz en el intervalo (0,). º- Demostrar que la ecuación - k 0 cualquiera que sea k no puede tener dos raíces en el intervalo (0,) 7

8 º- La ecuación e tiene la raíz 0. Demostrar que esta ecuación no puede tener otra raíz real. π 5π º- Es aplicable el teorema de Rolle a la función f() ln(sen ) en el intervalo [, ]?. En caso 6 6 afirmativo hallar c. 5º- Es aplicable el teorema de Lagrange a la función tag π π f() en [-, ]?. En caso afirmativo hallar c. - < 6º- Es aplicable el teorema de Lagrange a f() en el intervalo [-,]?. En caso afirmativo hallar c. 7º- Dada la función definida por: - f() 6,,,,,, < 0 0 < Determina los puntos en los que f es derivable en cada uno de ellos calcula su derivada. 8º- Sea la función definida por: f() Sea P el punto de corte de la gráfica de f con su asíntota. Determina la recta tangente a la gráfica de f en el punto P. 9º-De una función f se sabe que su segunda derivada es la función g dada por g(). También se conoce que la gráfica de f pasa por (,) que en ese punto su recta tangente es la de ecuación -50. Calcula, de manera razonada, la función f. 0º-Aplica el teorema de Lagrange para probar que la función en todo su dominio. PROBLEMAS RESUELTOS.- f() e es monótona creciente º- Cuantos puntos del intervalo [0,] satisfacen la igualdad cos? Justifica la respuesta enuncia los teoremas que utilices. º- Sea k un número real f una función real definida mediante a) Calcular la derivada en el punto 0. b) Calcular la función derivada. c) Es continua la función f'() en 0? Sol: a) f'(0)k b) No es continua. f() sen k f(0) 0,, 0 º-Sea F() - - G() - -. Hallar todos los puntos t del intervalo abierto (0,) en los que se cumpla que [F()-F(0)] G'(t)[G()-G(0)] F'(t). Qué relación verifica las tangentes a las curvas F() e G() en dichos puntos? 8

9 Sol: t º-Halla los puntos de la gráfica de la función f definida por f() - en los que la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. a - < 5º-Si f() b de Lagrange en el intervalo [,6]. Sol: a b9 determinar a, b para que la función cumpla las hipótes del Teorema 6º- Hallar los puntos en los que -56 no tiene derivada. Justificar las respuestas. 7º- Sea la función definida por: f() - Determina los puntos donde f es derivable. 8º- Demuestra que la ecuación e sólo tiene una solución en el intervalo (0,). 9º-Calcular las derivadas de las funciones: Sol: f'()tan / tang / g'(), 0 0º-Dada la función f() e -, 0 continua la función derivada en 0?. Sol: f cont deri. en 0. f' No cont en 0 f() tan (/) g() Es continua en 0? Es derivable en 0? Es º- Hallar un punto del intervalo [0,] donde la tangente a la curva - sea paralela al eje de abscisas. Sol: / º-Hallar una parábola que pase por los puntos A(,) B(,0) hallar un punto en el segmento de parábola comprendido entre A B cua tangente sea paralela a la cuerda AB. Sol: p(,) º-Enunciar el teorema de Rolle estudiar se puede aplicar a la función - en [-,]. Sol: No º-Sea la función a esta función en dicho intervalo. Sol: Si c0 5º-Demostrar que la función e 8 f() en el intervalo [-,]. Comprobar que es aplicable el teorema de Rolle - - posee un cero en el eje real potivo. Investigar es único. 6º-Determina los intervalos de crecimiento decrecimiento así como los etremos relativos absolutos de la función f definida por: f ( ) ( ) 9

10 7º-a) Estudiar la continuidad derivabilidad de la función f() - b) Razonar se puede aplicar o no, el teorema de Rolle en el intervalo -,. Sol: a) f continua en R - {-,} derivable en R - {-,0,} b) No 8º-Se da la curva de ecuación /. Comprobar que el segmento de la tangente a dicha curva en el punto (,/), comprendido entre los ejes de coordenadas, está dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. 9º-Sea f : R - (0) R derivable tal que f () f para todo 0. Demostrar:.-f es derivable dos veces..-eisten números reales a,b,c tales que : a f ()b f() cf() 0 a b c 0 Sol: a b0 c. 0º- Determina todas las funciones f de la forma: f()a b²cd con a distinto de cero que verifiquen f'(-)f'()0. Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifiquen f(0)f()0. Razona la respuesta. º-Sean f g las funciones definidas por: f()ab² g()c- Calcula, de forma razonada, las constantes a,b c de manera que las gráficas de f g pasen por el punto (,) ambas tengan la misma recta tangente en dicho punto º-Sea f() una función definida continua en el intervalo [a,b] derivable en ]a,b[. Si c pertenece al intervalo ]a,b[, razonar la veracidad o falsedad de las guientes afirmaciones: a) Si f'(c)0, entonces f admite máimo o mínimo relativo en c. b) Si f admite máimo o mínimo relativo en c, entonces f'(c) es cero. º-Enunciar el teorema de Rolle. Sabiendo que se verifica que tan(0)tan(π) razonar es aplicable o no el teorema de Rolle a la función f() tan en el intervalo [0,π]. º-Dada la parábola de ecuación - 5 se condera la recta r que une los puntos de esa parábola de abscisas. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta r. Sol: -5(-) 5º- Estudia la continuidad de las guientes funciones: - f() ; g() ; h() - ( - )() - i() e cos - - < < 0 0 j() - - k() - - > 0

11 0 sen l() m() 0 0 Sol: f() continua en R-{,-}; g() continua en R-{-,0,}; h() continua en R; i() continua en R-{- }; j() continua en R-{}; k() continua en R; l() continua en R-{}; m() continua en R 6º- Estudiar la continuidad de las guientes funciones: - a) b) ln [( - ).( )] c) e ; - - e) - f) ln - ; g) - ; h) f() d) tg ( - )( - ) < 0 > Sol: a) continua en R-{-,0,}; b) continua en (-,-) U (, ); c) continua en R; d) continua en R- {π/6 kπ/}; e) continua en R; f) continua en R-{0,,}; g) continua en [-,]; h) continua en R-{} 7º- Hallar m n para que sea continua la función: sen f() m n Sol: m ; n 0 < 0 0 > 8º- Probar que la ecuación --0 tiene por lo menos una raíz real en el intervalo (,). 9º- a) Comprueba que la función f() - corta al eje de abscisas en algún punto de [0,], b) se puede decir lo mismo de la función f() ( -)/(-)? Sol: a) Sí; b) No cumple Bolzano 0º- Estudia la derivabilidad de las funciones: 0 a) f() sen > 0 b) g() - c) h() 56 Sol: f() derivable en R; g() derivable en R-{}; h() derivable en R-{-,-} º- Calcula "a" "b" para que la función f sea derivable en todo R. a f() Sol: a 5/; b 6 b - > º- Estudia la continuidad derivabilidad de las guientes funciones:

12 < 0 a) f() 0 b) - > f() c) h() - d) - e) f() sen Sol: a) f() continua derivable en R-{}; b) f() continua derivable en R-{}; c) h() continua en R derivable en R-{}; d) f() continua en [-,]; derivable en (-,); e) f() continua R derivable en R. º- Halla los puntos de la función -, en los cuales la tangente es paralela a la recta 9. Sol: -, º- Halla la ecuación de las rectas tangentes normales a las curvas en los puntos que se indican: a) () - en ; b) - en 0 sen() - cos() π - c) en d) e ln sen en Sol: a) -5; -50; b) / -; --; c) -π /; -/ π/8 ; e - e d) - e e e 5º- La curva a bc pasa por el punto P(,5), es tangente en el punto (0,) a la bisectriz del primer cuadrante. Halla la ecuación de la curva. Sol: 6º- En qué puntos del intervalo (0,5) la tangente a la curva arctg() es paralela a la recta Sol: 7º- En qué puntos de la curva - - la recta tangente forma un ángulo de 5º con la parte potiva del eje de abscisas?. Sol: -/, 8º- Satisface la función f()- - las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-,]? Y la función? Sol: No, No 9º- Indicar las funciones f g verifican las hipótes del teorema del valor medio (de Lagrange), en caso afirmativo, encontrar los puntos intermedios cua eistencia asegura el teorema: a) f() - en [0,]. b) g() ln en [,e] Sol: a) ; b) e- 0º- La función f() -9 cumple el teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. Cuál es el valor de b? Hallar el punto intermedio cua eistencia asegura el teorema. Sol: b ; e

13 .- Halla la fórmula para la derivada n-éma de las guientes funciones: a) f().e ; b) g() ln(-); c) h() e - -e Sol: a) f n () (n) e ; b) g n n (- ) (n -)! n () n ; c) h ()(- ) ( - ).- Halla el valor de a para que la función -a tenga un mínimo en. Sol: a.- Halla a, b, c d para que la función f()a b cd tenga un máimo en el punto (0,) un mínimo en (,). Sol: f()-.- Halla el valor de a para que la función a tenga un mínimo en. Sol: a. 5.- Halla b, c d para que la función b cd tenga un etremo en (,0) un punto de infleión en. Sol: Estudia las guientes funciones cumplen las hipótes del teorema del valor medio. En caso afirmativo calcula el punto que dice el teorema que tiene que eistir: π a) f() en [0,] b) g() sen en 0, Sol: 5/; arcos /π 7.- Cumple la función f() - el teorema de Rolle en el intervalo [,]?. Sol: No n e - - e 8.- La función cumple el teorema del valor medio en el intervalo [,6]? Y en el intervalo [-,]?. Sol: Sí, No 9.- Cumple el teorema del valor medio la función: - < f() en [,6]? Sol: Sí; 7/5