9.3. Contrastes de una proporción

Transcripción

1 9.3. CONTRASTES DE UNA PROPORCIÓN 219 y el criterio que sumiistra el cotraste es si a teo χ 2 exp b teo = o rechazamos H 0 ; si χ 2 exp < a teo ó χ 2 exp > b teo = rechazamos H 0 y aceptamos H 1. Cotrastes uilaterales Para u cotraste de sigificació al ivel α del tipo H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 0 : σ 2 σ0 2 o bie H 1 : σ 2 < σ0 2 H 1 : σ 2 < σ0 2 se tiee que el resultado del mismo es: a teo = χ 2 1,α si a teo χ 2 exp = o rechazamos H 0 ; si χ 2 exp < a teo = rechazamos H 0 y aceptamos H 1. Para el cotraste cotrario teemos la formulació aáloga H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 > σ 2 0 o bie H 0 : σ 2 σ 2 0 H 1 : σ 2 > σ 2 0 calculamos el extremo iferior de la regió crítica e ua tabla de la distribució χ 2 1 si χ 2 b teo = χ 2 exp b teo = o rechazamos H 0 ; 1,1 α si b teo < χ 2 exp = rechazamos H 0 y aceptamos H Cotrastes de ua proporció Supogamos que poseemos ua sucesió de observacioes idepedietes, de modo que cada ua de ellas se comporta como ua distribució de Beroulli de parámetro p:

2 220 Bioestadística: Métodos y Aplicacioes X X 1,..., X i,..., X, dode X i Ber (p) La v.a. X, defiida como el úmero de éxitos obteidos e ua muestra de tamaño es por defiició ua v.a. de distribució biomial: X = X i B (, p) i=1 La proporció muestral (estimador del verdadero parámetro p a partir de la muestra) es ˆP = X Nos iteresamos e el cotraste de sigificació de H 0 : p = p 0, dode p 0 es u valor prefijado frete a otras hipótesis alterativas. Para ello os basamos e u estadístico (de cotraste) que ya fue cosiderado ateriormete e la costrucció de itervalos de cofiaza para proporcioes y que sigue ua distribució aproximadamete ormal para tamaños muestrales suficietemete grades: ˆP = X ( N p, pq ) Si la hipótesis H 0 es cierta se tiee ˆP = X ( N p 0, p ) 0q 0 ˆP p 0 p0 q 0 = Z exp N (0, 1)

3 9.3. CONTRASTES DE UNA PROPORCIÓN 221 Cotraste bilateral Para el cotraste H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 extraemos ua muestra y observamos el valor X = x ˆp = x. Etoces se defie Z exp = ˆp p 0 p0 q 0 Z teo = z 1 α/2 siedo el criterio de aceptació o rechazo de la hipótesis ula el que refleja lafigura 9.6: si Z exp Z teo = aceptamos H 0 ; si Z exp > Z teo = rechazamos H 0 y aceptamos H 1. Cotrastes uilaterales Cosideremos u cotraste del tipo H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0 o bie H 0 : p p 0 H 1 : p < p 0 Z exp = ˆp p 0 p0 q 0 Z teo = z α si Z exp Z teo = rechazamos H 0 y aceptamos H 1 ; si Z exp > Z teo = o rechazamos H 0.

4 222 Bioestadística: Métodos y Aplicacioes N(0, 1) No hay evidecia cotra H 0 z α 2 z 1 α Figura 9.6: Cotraste bilateral de ua proporció. Para el test uilateral cotrario, se tiee la expresió simétrica H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 o bie H 0 : p p 0 H 1 : p > p 0 Luego Z exp = ˆp p 0 p0 q 0 Z teo = z 1 α si Z exp Z teo = o rechazamos H 0 ; si Z exp > Z teo = rechazamos H 0 y aceptamos H 1. Ejemplo Se cree que determiada efermedad se preseta e mayor medida e hombres que e mujeres. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 100 de

5 9.3. CONTRASTES DE UNA PROPORCIÓN 223 N(0, 1) No hay evidecia cotra H 0 z α Figura 9.7: Cotraste uilateral cuado se tiee H 0 : p p 0 estos efermos y se observa que 70 so hombres. Qué podemos cocluir? Solució: Sea p la proporció de hombres que existe etre los efermos. Queremos ecotrar evidecia a favor (H 1 ) de que p > 1/2, pero uestra hipótesis de partida (mietras o tegamos evidecia e cotra) es que p = 1/2 (H 0 ). Es decir, platemos el siguiete cotraste uilateral para ua proporció: H 0 : p = 1/2 H 1 : p > 1/2 La estimació putual de p es ˆp = 70/100 = 0, 7. El estadístico que usamos para el cotraste es: Z = ˆp p pq/ N (0, 1) Está claro que se obtie mayor evidecia a favor de H 1 cuado los valores de ˆp se acerca a 1, o lo que es lo mismo, cuado Z se hace suficietemete grade. Dicho de otro modo, los valores críticos de Z (los que os coduce

6 224 Bioestadística: Métodos y Aplicacioes a rechazar H 0 y aceptar H 1 so los de la cola de la derecha de la distribució N (0, 1). Si elegimos α = 5 %, los valores críticos so los que está situados a la derecha del percetil 95 de esta distribució, es decir, los valores superiores a z teo = z 1 α = 1, 96. Veamos si el valor experimetal del estadístico (el calculado a partir de la muestra si supoemos cierta H 0 ) supera o o dicho valor: Z exp = ˆp p pq/ = 0, 7 0, 5 0, 5 0, 5/100 = 4 Como se aprecia, Z e xp etra ampliamete detro de la regió crítica, por tato hemos de cocluir co el rechazo de la hipótesis ula y la aceptació de la hipótesis alterativa. Resumamos el ejemplo co otras palabras: Si la hipótesis ula fuese cierta, deberíamos esperar que el valor del estadístico Z o fuese demasiado grade. Por tato como hemos obteido u valor grade del mismo, debemos cocluir que la hipótesis de partida (H 0 ) ha de ser rechazada. El valor z teo se calcula exclusivamete a partir de α, y os sirve para saber a que os referimos por u valor demasiado grade para Z Cotrastes para la diferecia de medias apareadas Las muestras apareadas aparece como distitas observacioes realizadas sobre los mismos idividuos. U ejemplo de observacioes apareadas cosiste e cosiderar a u cojuto de persoas a las que se le aplica u tratamieto médico y se mide por ejemplo el ivel de isulia e la sagre ates (X) y después del mismo (Y ) Paciete x i y i d i