Práctica 4 Series de funciones y de potencias

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1 MATEMATICA 4 - Aálisis Matemático III Primer Cuatrimestre de 208 Práctica 4 Series de fucioes y de potecias. (*) Aalizar la covergecia putual y uiforme de las siguietes sucesioes de fucioes e los cojutos idicados: a) ex ex e (2, 5] b) x x e (, + ) c) z e z < + d) z e C e) + 2 se(2x π) e R (*) Mostrar que coverge putualmete pero o uiformemete e (0, ). + x Probar que esta sucesió coverge uiformemete sobre todo itervalo [a, b] (0, ). 3. Sea (z ) ua sucesió de úmeros complejos. Probar a) z coverge (absolutamete) si y sólo si las series Re(z ) y Im(z ) coverge (absolutamete). b) si z coverge absolutamete, etoces z z. 4. a) Sea α C, α <. Cuáto vale lim α? Demostrarlo. b) Idem para α >. Qué se puede decir e el caso α =? c) Probar que la serie z 5. a) Probar que z = coverge si z < diverge si z >. z z para z <. b) Sea z = re iθ co 0 < r <. Usar a) para verificar que r cos(θ) = r cos θ r2 2r cos θ + r 2, r se(θ) = r se θ 2r cos θ + r 2 9

2 6. Estudiar la covergecia de las series uméricas cuyo térmio geeral es: a) 2i ( 3 b) 2) 3 c) d)! ( ) g) se 2 e) f) h) ( ) log i) 2 j) i k) i l) ei 2 Producto de Cauchy Dadas las series a y b, se llama producto de Cauchy de ambas a la serie de térmio geeral c = a k b k. k=0 Si ambas series coverge, siedo a = A y b = B, y al meos ua de ellas lo hace absolutamete, etoces el producto de Cauchy coverge a AB. 7. (*) Sea a = b = ( ) +. Verificar que a = b coverge (codicioalmete) y que el producto Cauchy de ambas series diverge. Criterio de Weierstrass Sea X u espacio métrico y para cada N sea u : X C ua fució tal que u (x) M para todo x X. Si M coverge, etoces u coverge uiformemete e X. Criterio de Dirichlet Si (a ) es ua sucesió decreciete de úmeros reales positivos que coverge a 0 y existe M > 0 tal que z k M para todo N, etoces la serie a z k= coverge. 8. Calcular el radio de covergecia de cada ua de las siguietes series de potecias, y estudiar el comportamieto e el borde del disco de covergecia. Además, especifique las regioes asociadas a cada tipo de covergecia: covergecia codicioal, absoluta, uiforme y o covergecia. 0

3 a) d) z 2i + (iz 2) b)! (2 i) 2 z c) e) a 2 z (a C) 3 + z f) a z (a C) g)!z 2 j) ( ) z(+) h) z 2 2 i) z! k) (z + 2) ( + ) 3 4 l) ( ) (z i) 4 ( 2 + ) 5 2 m) ) ( + 2i) z o) ( + 2i) 2 z p) (z + 3) ( + )2 z + ( + i) 9. Cosidere a C {0} y ua sucesió de reales positivos (c ) N R >0 tal que: lim c =. Muestre que la serie de potecias: c a (z z 0) tiee radio de covergecia a. Además aalice las distitas regioes de covergecia, icluyedo que sucede e el borde de dicho disco, e los siguietes casos: (a) Si lim c 0. (b) Si la serie c es covergete. (c) Si lim c = 0, la serie c o es covergete, pero la sucesió (c ) N es decreciete. 0. Probar que la serie z es covergete sobre los putos del borde de su disco de 2 covergecia, pero que esto o es verdadero para la serie de las derivadas.. Observar que los coceptos de covergecia uiforme y absoluta so idepedietes, probado: a) La serie 0 z coverge absoluta pero o uiformemete e z <. Sobre el borde estudiar úicamete para z =, i, i

4 e ix b) La serie coverge uiformemete pero o absolutamete e [δ, 2π δ], 0 < δ < 2π. c) La serie z 2 coverge absoluta y uiformemete e z a) Determiar el cojuto de valores z para los cuales la serie ( ) (z +z + ) coverge y hallar su suma. b) Idem para (z 2 + ), ( ) z y + z e z. 3. Hallar las regioes de covergecia y covergecia absoluta de las series: a) d) ( + )z b) 2 + z e) 2 3 e iz + ( ) z + c) z f) ( ) + z e z z ( + 2i) +2 ( + i) 4. Expoecial: Recuerde de prácticas ateriores la defiició de la fució expoecial: e z = e x (cos(y) + ise(y)) y cosidere la fució h(z) = z! a) Mostrar que h es etera y calcular su derivada. b) Probar que h cumple la propiedad expoecial: h(z + w) = h(z)h(w). c) Probar que e z = h(z) para todo z C. 5. Fucioes trigoométricas se z = ( ) (2 + )! z2+ cos z = a) Probar que se z, cos z so eteras y calcular sus derivadas. b) Probar que i) cos z = eiz + e iz 2 ii) se z = eiz e iz 2i iii) cos 2 z + se 2 z = iv) e iz = cos z + i se z ( ) (2)! z2 2

5 v) cos(z + w) = cos z cos w se z se w se(z + w) = se z cos w + se w cos z c) Verificar que ambas tiee período 2π. d) i) Hallar todos los z C tales que se z = 0. ii) Idem para cos z. iii) Describir el cojuto {z C/ cos z = }. e Determiar si cos z y se z so fucioes acotadas. 6. (**) Fucioes hiperbólicas a) Verificar sh z = ez e z 2 ch z = ez + e z 2 i) se(iz) = i sh z, cos(iz) = ch z ii) sh(iz) = i se z, ch(iz) = cos(z) iii) se z = se(re z) ch(im z) + i sh(im z) cos(re z) cos z = cos(re z) ch(im z) i sh(im z) se(re z) d) Estudiar la periodicidad de sh z y ch z. e) Hallar los ceros de ambas fucioes. f) Probar que las fucioes hiperbólicas so eteras y hallar el desarrollo e serie de potecias de ambas fucioes. 7. Logaritmo a) Sea A θ0 = C {re iθ 0 /r R 0 } i) Pesar como defiir adecuadamete u argumeto cotiuo Arg Aθ0 e el cojuto A θ0. ii) Sea f θ0 : A θ0 C dada por f θ0 (z) = l z + iarg Aθ0. Probar que es ua rama del logaritmo. iii) Caracterizar a todas las posibles ramas del logarítmo defiidas e el cojuto A θ0. iv) Ver que toda rama del logarítmo es holomorfa e A θ0 y hallar su derivada. e) Calcular: l i, l, l(+i), e l i, cosiderado la rama del logarítmo defiida por f θ0 para θ 0 = 0, π y 3/2π, 8. Sea f la rama pricipal de l( + z), y sea g(z) = a) Calcular el radio de covergecia de g. ( ) z. b) Calcular f (z) y g (z) para z detro del círculo de covergecia de g. c) Deducir que f(z) = g(z) para z <. 3

6 9. Sea G C abierto coexo dode se tiee defiida ua rama del logarítmo log : G C. Fijamos b C, y cosideramos la fució g : G C dada por g(z) = e blog(z). a) Probar que si b Z, etoces g(z) = z b. b) Probar que la fució g es holomorfa e G. Defiimos z b = g(z), y la llamaremos rama de la expoecial z b. c) Calcular i i cosiderado la rama pricipal del logaritmo. Hallar los demás valores cosiderado las restates ramas. Idem para : ( ) 3 5 y π. d) Sea G C abierto y coexo, y sea f, g : G C ramas de z a y z b, respectivamete. Es cierto que i) f g es ua rama de z a+b? ii) f/g es ua rama de z a b? iii) si f(g), g(g) G, etoces f g y g f so ramas de z ab? e) Sea G = {z C : z 4i < 4}. Calcular ua rama de (z ) 3 para z G 4