Aproximaciones y Error

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1 Aproximaciones y Error Oldemar Rodríguez R. UCR 14 de septiembre de 2014 Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

2 Outline 1 Aritmética punto flotante 2 Problemas con la aritmética punto flotante 3 Algoritmos y convergencia 4 Origen del error Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

3 Punto flotante Definición Un número real x está en forma punto flotante si se escribe de la forma: 0.d 1 d 2 d k 10 n donde 0 d i 9, d 1 = 0, i = 1, 2,..., k. Ejemplo π = 0, Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

4 Punto flotante Definición Un número real x está en forma punto flotante si se escribe de la forma: 0.d 1 d 2 d k 10 n donde 0 d i 9, d 1 = 0, i = 1, 2,..., k. Ejemplo π = 0, Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

5 Observación Veamos: En análisis numérico todas las respuestas deben darse en notación punto flotante. Si x R, entonces x = 0.d 1 d 2 d n, pero el computador solo puede almacenar números en punto flotante debido a las limitaciones de memoria. Por lo tanto quedan 2 posibilidades: 1 Cortar x = f l(x) = 0.d 1 d 2 d k 10 n, i.e. cortar a partir del dígito k Redondear y Cortar Si d k+1 5 entonces sume 1 a d k y corte. Si no solamente corte. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

10 Ejemplo π = 3, , con k = 5 tenemos: f l(π) = 0, (Cortando) f l(π) = 0, (Redondeando) Definición El error que resulta de reemplazar x por f l(x) se denomina: Error de Redondeo. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

11 Ejemplo π = 3, , con k = 5 tenemos: f l(π) = 0, (Cortando) f l(π) = 0, (Redondeando) Definición El error que resulta de reemplazar x por f l(x) se denomina: Error de Redondeo. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

12 Cómo medir, controlar, la propagación del error? Definición Si P es una aproximación de P se llama: Ejemplo Error absoluto = P P Error relativo = P P, si P = 0 P Si P = 0, y P = 0, entonces: P P = 0,1 10 1, P P P = 0, Pero si P = 0, y P = 0, entonces: P P = 0,1 10 3, P P P = 0, Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

15 Teorema Teorema Sea x R, x = 0, entonces: 1 Si f l(x) se obtiene usando k-dígitos de x cortando, entonces: x f l(x) x 10 k+1 2 Si f l(x) se obtiene usando k-dígitos de x redondeado, entonces: x f l(x) x 0,5 10 k+1 = 5 10 k Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

16 Teorema Teorema Sea x R, x = 0, entonces: 1 Si f l(x) se obtiene usando k-dígitos de x cortando, entonces: x f l(x) x 10 k+1 2 Si f l(x) se obtiene usando k-dígitos de x redondeado, entonces: x f l(x) x 0,5 10 k+1 = 5 10 k Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

17 Prueba Prueba 1 x f l(x) x = = = 0.d 1 d 2 10 n 0.d 1 d 2 d k 10 n 0.d 1 d 2 10 n 0.d k+1 d k+2 10 n k 0.d 1 d 2 10 n 0.d k+1 d k+2 0.d 1 d 2 10 k 1 0,1 10 k = 10 k+1 2 Ejercicio: por casos (1) d k+1 < 5, (2) d k+1 5 Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

18 Prueba Prueba 1 x f l(x) x = = = 0.d 1 d 2 10 n 0.d 1 d 2 d k 10 n 0.d 1 d 2 10 n 0.d k+1 d k+2 10 n k 0.d 1 d 2 10 n 0.d k+1 d k+2 0.d 1 d 2 10 k 1 0,1 10 k = 10 k+1 2 Ejercicio: por casos (1) d k+1 < 5, (2) d k+1 5 Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

19 Definición Se dice que un número P aproxima a P con t dígitos significativos si t N es el número más grande tal que: P P P < 5 10 t = 0,5 10 t+1 Ejemplo x = π = }{{} x = 22 = }{{} x x x = 0, < 0, por lo que x aproxima x con 4 dígitos significativos. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

20 Definición Se dice que un número P aproxima a P con t dígitos significativos si t N es el número más grande tal que: P P P < 5 10 t = 0,5 10 t+1 Ejemplo x = π = }{{} x = 22 = }{{} x x x = 0, < 0, por lo que x aproxima x con 4 dígitos significativos. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

21 Ejemplo Ejemplo Qué valores puede tomar x para aproximar 1000 con 4 dígitos significativos? x = 1000 = 0, , luego tenemos que: x < < x < ,5 < x < 1000,5 Note que x = 0, aproxima a x con 4 dígitos significativos, pero y = 0, no aproxima x con 4 dígitos significativos. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

22 Ejemplo Ejemplo Qué valores puede tomar x para aproximar 1000 con 4 dígitos significativos? x = 1000 = 0, , luego tenemos que: x < < x < ,5 < x < 1000,5 Note que x = 0, aproxima a x con 4 dígitos significativos, pero y = 0, no aproxima x con 4 dígitos significativos. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

24 Posibles problemas con la aritmética punto flotante División: Si x = x + ε y se divide entre δ muy pequeño se tiene: x = x + ε = x δ δ δ + ε }{{} δ Nuevo error enorme Resta de dos número casi iguales: f l(x) = 0.d 1 d 2 d p α p+1 α p+2 α k 10 n f l(y) = 0.d 1 d 2 d p β p+1 β p+2 β k 10 n x y = f l(x) f l(y) = 0. γ p+1 γ p+2 γ k }{{} Podría ser basura 10 n p Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

25 Posibles problemas con la aritmética punto flotante División: Si x = x + ε y se divide entre δ muy pequeño se tiene: x = x + ε = x δ δ δ + ε }{{} δ Nuevo error enorme Resta de dos número casi iguales: f l(x) = 0.d 1 d 2 d p α p+1 α p+2 α k 10 n f l(y) = 0.d 1 d 2 d p β p+1 β p+2 β k 10 n x y = f l(x) f l(y) = 0. γ p+1 γ p+2 γ k }{{} Podría ser basura 10 n p Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

26 Notación: x = x x δ x = x x = x x x Teorema Si x = x 1 + x x n y x = x 1 + x x n con x i 0 entonces: n xi i=1 δ x max{δ x1, δ x2,..., δ xn } x Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

27 Notación: x = x x δ x = x x = x x x Teorema Si x = x 1 + x x n y x = x 1 + x x n con x i 0 entonces: n xi i=1 δ x max{δ x1, δ x2,..., δ xn } x Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

28 Prueba 1 x = x x = n i=1 x i n xi i=1 n x i xi = i=1 n xi i=1 2 Sabemos que δ x = x x x 1 + x2 + + xn x 1 + x x n, pero δ xi = x i x i x i = δ xi x i δ x x 1 δ x1 + x 2 δ x2 + + x n δ xn x 1 + x x n max{δ x 1, δ x2,..., δ xn } ( x 1 + x x n ) x 1 + x x n max{δ x1, δ x2,..., δ xn }, pues x i 0 i Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

29 Prueba 1 x = x x = n i=1 x i n xi i=1 n x i xi = i=1 n xi i=1 2 Sabemos que δ x = x x x 1 + x2 + + xn x 1 + x x n, pero δ xi = x i x i x i = δ xi x i δ x x 1 δ x1 + x 2 δ x2 + + x n δ xn x 1 + x x n max{δ x 1, δ x2,..., δ xn } ( x 1 + x x n ) x 1 + x x n max{δ x1, δ x2,..., δ xn }, pues x i 0 i Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

30 Observación: Se debe evitar la pérdida de dígitos significativos: Por ejemplo al evaluar: f (x) = 1 cos(x) con x cercano a 0 se producirá una pérdida de dígitos significativos. Esto se puede evitar racionalizando, como sigue: f (x) = 1 cos(x) = sin2 (x) 1 + cos(x) Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

32 Qué es un algoritmo? Definición Un algoritmo es un procedimiento que describe, sin ninguna ambigüedad, una sucesión finita de pasos a realizar en orden específico, con el propósito de resolver un problema. Características: Finito Definido (no ambiguo) Entrada Salida Efectivo Eficiente Para representar las instrucciones utilizaremos pseudocódigo. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

33 Qué es un algoritmo? Definición Un algoritmo es un procedimiento que describe, sin ninguna ambigüedad, una sucesión finita de pasos a realizar en orden específico, con el propósito de resolver un problema. Características: Finito Definido (no ambiguo) Entrada Salida Efectivo Eficiente Para representar las instrucciones utilizaremos pseudocódigo. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

34 Ejemplo Para calcular k=a f (x, k) tenemos: Entrada: ε, f, a, x Salida: Valor aproximado de k=a f (x, k) 1: k a 2: s 0 3: T f (x, k) 4: while T < ε do 5: s s + t 6: t t ( f (x, k + 1)/ f (x, k)) 7: k k + 1 8: end while 9: return s Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

35 Algoritmos Estables Definición Un algoritmo se dice estable si pequeños cambios en la entrada producen pequeños cambio en la salida. En caso contrario, es decir, pequeños cambio en la entrada producen grandes cambios en la salida, entonces el algoritmo se dice inestable (caótico). Notación: E = Error inicial E n = Error luego de n pasos Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

36 Algoritmos Estables Definición Un algoritmo se dice estable si pequeños cambios en la entrada producen pequeños cambio en la salida. En caso contrario, es decir, pequeños cambio en la entrada producen grandes cambios en la salida, entonces el algoritmo se dice inestable (caótico). Notación: E = Error inicial E n = Error luego de n pasos Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

37 Definición Si E n = CnE, con C constante, entonces el crecimiento del error es lineal. Definición Si E n = K n E con K > 1, entonces el crecimiento del error es exponencial. Observación Crecimiento error lineal estable. Crecimiento error exponencial inestable. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

40 Definición Sea {α n } n N una sucesión que converge a α, se dice que {α n } n N converge con una rapidez O(β n ), donde {β n } n N es otra sucesión (β n = 0 n) si: α n α β n < K para n suficientemente grande y K constante que no depende de n. Notación: α n = α + O(β n ) α n α con rapidez O(β n ) Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

41 Definición Sea {α n } n N una sucesión que converge a α, se dice que {α n } n N converge con una rapidez O(β n ), donde {β n } n N es otra sucesión (β n = 0 n) si: α n α β n < K para n suficientemente grande y K constante que no depende de n. Notación: α n = α + O(β n ) α n α con rapidez O(β n ) Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

42 Observación α n α β n < K Kβ n + α < α n < Kβ n + α Ejemplo Si α n = n + 3 n 3 entonces α n = 0 + O(1/n 2 ) pues: α n α n+3 β n = + 0 n 3 1 = n 3 + 3n 2 n 3 = n 4, si n n 2 es decir, que n + 3 n 3 converge a 0 tan rápido como 1 converge a 0. n2 Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

45 Ejemplo Si α n = sin(n) n entonces α n = 0 + O ( ) 1, cuando n. n Observación: Velocidad de convergencia de los ciclos 1 For[i=1, i++, i<=n,...] tiene una velocidad de convergencia O(N) 2 For[i=1, i++, i<=n, For[j=1, j++, j<=m,...]] tiene una velocidad de convergencia O(N 2 ) 3 For[i=1, i++, i<=n, For[j=1, j++, j<=m, For[k=1, k++, k<=l,...]]] tiene una velocidad de convergencia O(N 3 ) Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

50 Tipos de Error Existen dos tipos de error: El error en los datos y el error computacional: Definición Sea a R y sea ã una aproximación de a y f una función o procedimiento, entonces f (ã) f (a) se llama propagación del error o error propagado. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

51 Tipos de Error Existen dos tipos de error: El error en los datos y el error computacional: Definición Sea a R y sea ã una aproximación de a y f una función o procedimiento, entonces f (ã) f (a) se llama propagación del error o error propagado. Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

52 Observación En la práctica muchas veces no es posible calcular f en forma exacta, sino que se usa una aproximación f. Definición f (ã) f (ã) se llama error computacional. Esto se ilustra en el siguiente gráfico: Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

53 Ejemplo Suponga que se desea calcular c en el siguiente triángulo: Supongamos que a tiene un error y usamos 100,1. Entonces el error se propaga como se muestra en la siguiente tabla: Expresión Exacto Aproximado Error relativo a ,1 0,1 % b a 1 0,9 10 % (b a) 2 1 0,81 19 % 4ab sin 2 ( γ 2 ) 3,0765 3,0796 0,1 % (b a) 2 + 4ab sin 2 ( γ 2 ) 4,0765 3,8896 4,6 % c 2,0190 1,9722 2,3 % Error relativo inicial 0,1 % Error relativo final 2,3 % Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

54 Ejemplo: Inestabilidad Numérica Suponga que se desea calcular z = 1,000 1,208 x en una computadora que solamente utiliza 4 dígitos, con x = 1,209. Algoritmo 1. Calcule primero y := 1,208 x y luego calcule z := 1,000 y Algoritmo 2. Calcule primero y := x 1,208 y luego calcule z := y x Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

55 Principio Básico: Si es posible, evite operaciones sensibles con operandos contaminados por la propagación del error. Ejemplo: Usualmente para calcular las raíces de una ecuación cuadrática se usa: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Pero si b > 0 es mejor usar: y si b < 0 es mejor usar: x 1 = x 2 = 2c b b 2 4ac 2c b + b 2 4ac Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30

56 Ejemplos de Inestabilidad Numérica Ejemplo Otros ejemplos que evitan problemas de cancelación cuando x = y son: x 2 y 2 (x y)(x + y) ( ) ( ) x y x + y sin(x) sin(y) 2 sin cos 2 2 } ( ) ln(x) ( ) ln(y) ln x 2 tanh 1 x y y x + y ( ) x y e x e y 2 sinh e x+y 2 2 Oldemar Rodríguez R. (UCR) Aproximaciones y Error 14 de septiembre de / 30