TEMA 2. ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES CONTENIDO

Transcripción

1 TEMA. ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES CONTENIDO ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

2 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Aplica suma, rsta y multiplicació S pud multiplicar matriz por scalar o matriz por matriz AB pud multiplicars simpr y cuado la matriz B tga los mismos rglos qu A d columas AB BA Matriz Traspusta: Si los lmtos d A =ai,j tocs la matriz traspusta s: A T = aj,i DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

3 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ MATRICES Matriz simétrica: ua matriz s simétrica si A = A T Matriz atisimétrica: ua matriz s atisimétrica si A = -A T Ejmplo: A A T A A T

4 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Propidads importats d la trasposició: a) (AB) T = B T A T b) (ABC) T = C T B T A T c) (A+B) T = A T + B T DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

5 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Matriz Cojugada: La cojugada d A, dotada como s la matriz formada rmplazado cada lmto d A por su compljo cojugado. A A ~ R R R R ja ja ja ja R R R R 4 4 A ~ ja ja ja ja 4 4 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

6 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Matriz Asociada: Es la cojugada traspusta d A. Si A s igual a la cojugada traspusta d A, tocs s llama Matriz Hrmitiaa. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

7 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Traza: Sa A ua matriz (). La traza d A, dotada como tr(a), s la suma d los lmtos d la diagoal pricipal. tr(a) i a ii DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 7

8 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Si A y B so matrics dl mismo ord, la traza ti las siguits propidads: a) tr(a+b) = tr(a) + tr(b) b) tr(ab) = tr(ba) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8

9 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Dtrmiat: A j a ij c ij Sido C la matriz d cofactors DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9

10 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Propidads d los dtrmiats: a) Si la matriz A ti u rgló o columa d cros, l dtrmiat s cro. b) Si dos rglos o columas d ua matriz s itrcambia l sigo dl dtrmiat cambia. c) Si dos rglos o columas d ua matriz so iguals l dtrmiat s cro d) El dtrmiat d A s igual al dtrmiat d la traspusta d A. ) Si A, B y C so dl mismo ord ABC A B C DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

11 ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO MATRICES Propidads d los dtrmiats: f) Para ua matriz A() y cualquir scalar a: aa a g) Si a y b so vctors () I A T ab b h) Si G s d (m) y K s d (m) T a I KG I m GK Rgrsar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

12 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Bass y rprstacios Dfiició: U cojuto d vctors lialmt idpdits d ua spacio lial (H,F) s ua bas d H si cada vctor H pud sr prsado como ua combiació úica lial d stos vctors. Torma: E u spacio -dimsioal vctorial, cualquir cojuto d vctors lialmt idpdits califica como bas. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

13 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Bass y rprstacios Pruba: sa,, vctors lialmt idpdits H y sa X u vctor arbitrario H Etocs l cojuto d + vctors s lialmt dpdit X,,, ya qu por dfiició s l máimo úmro d vctors idpdits lialmt. Si s dfi:... X o todos los coficits so cro i i para i,,..., X X (a) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

14 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Supógas otra combiació lial:,...,, para i ~ so lialmt idpdits Como ) ~ (... ) ~ ( ) ~ ( quda : - (b) s rsta (a) Si )...( ~... ~ ~ i i b X

15 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES E u spacio - dimsioal (H,F) si ua bas s slccioa, tocs cada vctor H pud sr rprstado úicamt por u cojuto d scalars,,., F X......( ) d Sido: =[. ] T Dfiició: E u spacio vctorial dimsioal (H,F) si ua bas {,,, } s slccioada. Etocs cada vctor X H pud sr úicamt rprstado la forma (d), dod s llamada la rprstació d X co rspcto a la bas. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

16 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Ejmplo: Bass b [,] [,] - / -/4 -/ /4 b DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

17 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Ejmplo : Cosidr l spacio lial (R4[s],R) dod R4[s] s l cojuto d poliomios d grado mor qu 4 y s o s cooc =s, =s, =s, 4 =; todos stos vctors so L. I. y califica como bas. Supor: Etocs: s s s X 4 sido: la rprstació d X co rspcto a la bas 4 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 7

18 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Si s slccioa: ~, ~, ~, ~ 4 s s s s s Ecotrar la uva rprstació d X co rspcto a la uva bas 4 ) ( ) ( ) ( s s s s s s s s X Dsarrollado l lado drcho d la igualdad y buscado térmios comus ambos lados quda: ) ( ) ( ) ( 4 4 s s s s s s s s s 5 4

19 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Fialmt: X ( s bas s ) 5( s ) ~ ~ ~ ~ s 5 T 5 X ~ ~ ~ ~ 4 Etocs la rprstació d X 4 s) ( s co rspcto a la DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9

20 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Cambio d bas: X... ~ ~......(a) ~ ~ Para obtr la rlació tr y s csita la iformació d la rprstació d i para i=,, co rspcto a la bas {,,, } o bi la iformació d i para i=,,, co rspcto a la bas {,,, } DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

21 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Sa la rprstació d i co rspcto a la bas i p p... p i i i T tocs: pi p i i... Epi para i,,, pi sido: E... ; p p p p i i i i T DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

22 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Etocs: P tocs p p p p p p p p p :.(b)

23 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Sustituydo (b) (a) X Pβ como la rprsta ció d X co rspcto a la bas Pβ β β i s úica Sido: P i - ésima columa : s la rprstació d i co rspcto a DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

24 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Si ahora: i tocs : q q q i i i β Q β dod : Q i ésima rprsta rspcto columa ció d a la bas : s la co i DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

25 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES Ejmplo: sa l mismo caso dl jmplo atrior dod s ti (R 4 [s],r) X s s s ( s s ) ( s s) ( s ) 4 p p P p p4 s sto s p p p : ; ( s p p p p4 p p p p4 p4 p4 p4 p44 p; p p; p4 p p p s ) p p ( s p 4 4 s) p ( s ) p 4 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

26 INDEPENDENCIA LINEAL, BASES Y CAMBIOS DE BASES D sta forma: P Como s ti qu: 5 P, tocs: Rgrsar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

27 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Dados dos cojutos H y Y, si s asiga para cada lmto d H uo y sólo u lmto d Y tocs la rgla d asigació s llamada fució. y - a) b) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 7

28 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Ua fució s dotada por f: H y, y l lmto d y qu s asigado al lmto d d H s dotado por y=f(). El cojuto d H s l domiio d la fució. El subcojuto d y qu s asigado a algú lmto d H s llamado l rago d la fució. Ejmplo: E la figura (a) l domiio d la fució s la lía positiva ral y l rago s l cojuto d [-,] qu s u subcojuto d la lía ral y. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8

29 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES U oprador lial s dotado por: L mapa (H,F) (y,f) L : (H,F) (y,f) Dfiició: Ua fució L qu mapa (H,F) (y,f) s dic qu s u oprador lial si y sólo si: L( L L ), H y, F DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9

30 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Rprstació matricial d u oprador lial Torma: Sa (H,F) y (y,f) spacios vctorials d Xm sobr l mismo campo. Sa,,, u cojuto d vctors lialmt idpdits H, tocs, l oprador lial L:(H,F)(y,F) stá dtrmiado úicamt por los pars d mapos qu y i =L i, para i=,,,. Admás co rspcto a la bas {,,, } d H y ua bas {u,u,,u m } d y, L pud sr prsado por ua matríz A d tamaño Xm co coficits l campo F. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

31 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES La i-ésima columa d A s la rprstació d y i co rspcto a las bass {u,u,,u m, } (a) y i a i a u u... u i [ m], i,,..., y a ami L y y y u u u m ij F a a a a a a a a a m m m Nóts qu A stá F y la i-ésima columa d A s la rprstació d y i corspctodlabasdy DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

32 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Co rspcto a la bas {,,..., } d (H,F) y la bas {u,u,,u } d (y,f) l oprador lial y=l pud scribirs como: (b) u u u L m Sustituydo (a) (b) tmos: u u u u u u m m A Pusto qu la rprstació s úica tocs: A DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

33 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Idpdit d la bas L y L Bas A ( A ) Bas P Q Q P ( A ) A DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

34 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4 i i i i Q L A P L A co rspcto a Rprstació d ésima columa : - i bas la co rspcto a Rprstació d ésima columa : - i co rspcto a Rprstació d ésima columa : - i bas la co rspcto a Rprstació d ésima columa : - i

35 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES D aquí s pud sabr qu: Si A y P PA A PAP Q AQ A P APQAQ Ejmplo: y, y y DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

36 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Si s slccioa la bas {, } y y L L Etocs la rprstació d L i co rspcto a la bas {, } s: A Mitras qu la coordada d s:.5.5 Por lo tato: y L Aα DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

37 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES.5.5 Etocs: y y Ahora, si s toma como bas {, } s ti: 5 y L L Etocs la rprstació d y =L s: A 5 Mitras qu la coordada d s: y L α Aα DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 7

38 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES 5 Por lo tato: β Para obtr la matriz P: P P P P P P P P P Fialmt s ti qu : P P,, P P DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8

39 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9 Etocs la rprstació d la uva bas s: Pα α Y la rprstació d la uva bas s: Pα α

40 OPERADORES LINEALES Y SUS REPRESENTACIONES Pro s pud cambiar d bas tambié la fució usado la matriz P Bas origial {, } Bas uva {, } y L β β Pβ β Pβ y L β.5.5 β Pβ β Pβ Rgrsar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

41 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4 Sistma d cuacios algbraicas lials. Cosidr l cojuto d cuacios lials: m m m m y a a a y a a a y a a a F i i ij y a,, Dod m m m m y y y a a a a a a a a a,, Y X A

42 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES S pud hacr dos prgutas rlació co stas cuacios: La istcia d la solució. Númro d solucios. Para podr cotstar stas prgutas s rquir coocr l rago y la ulidad d la matriz A. Rago d ua matriz. Dfiició: El rago d u oprador lial A s l cojuto R(A) dfiido por: R(A)={todos los lmtos y d (F m,f) para los cuals ist al mos u vctor X (F,F) tal qu y=a} DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

43 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Torma: El rago d u oprador lial A s u subspacio d (F m,f). La dimsió d R(A) s dfi como l máimo úmro d columas lialmt idpdits A. Dfiició: El rago d ua matriz A, dotada por ρ(a) s l máimo umro d columas lialmt idpdits A, o quivaltmt, la dimsió dl rago d A. Ejmplo: Cosidr la matriz: a A a a a 4 4 ρ(a)=, ya qu las columas y dpd d y (so lialmt dpdits) a a a a4, a DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

44 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES ρ(a) s obti co l dtrmiat dl mor qu sa difrt d cro. Espacio ulo. ElspaciouloduopradorlialA s l cojuto N(A) dfiido por: N( A) { ( F, F) A} U vctor s llamado vctor ulo d A si A = La dimsió d N(A) s llamada la ulidad d A y s dotada por va ( ) Est térmio rprsta al máimo úmro d vctors ulos lialmt idpdits d A Si la dimsió d N( A), v( A) s cro, tocs N( A) cosist úicamt dl vctor y la úica solució d A s. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 44

45 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Si va ( ) ktocs la cuació A ( ) ti kvctors solució lialmt idpdits. Ejmplo: Cosidr a a a a a 4 5 A 4, ( A) a a a, a a, a a a 4 5 T 4 5, tocs A DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 45

46 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES A aa a a a A a a ( a a ) ( a ) ( a a ) 4 5 A a ( ) a ( ) Ya qu a y a so lialmt idpdits, tocs, u vctor qu satisfac A= s: 4 5 Los trs lmtos rstats s asiga arbitrariamt: Si Si Si,,, 4 5,,, 4 5,,, 4 5 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 46

47 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Los trs vctors :,, Los trs vctors so lialmt idpdits El cojuto d vctors forma ua bas d N( A) y v( A). Torma: El úmro d vctors solució lialmt idpdits d A= s igual a -ρ(a), dod s l um. d columas d A y ρ(a) so l úm. d columas lialmt idp. d A. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 47

48 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Alguas rflios sobr l rago d ua matriz. Si l rago d la matriz (A) = tocs la úica solució para hacr A= s qu = y s llama solució trivial. Si (A)< tocs simpr hay u vctor tal qu A=. E ua matriz cuadrada, ésta ti ua solució o trivial si y solo si (A)< o bi, si dt(a)=. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 48

49 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Normas d vctors: El cocpto d orma s ua gralizació d magitud. Cualquir fució ral d dotada por pud sr dfiida como ua orma si ésta ti las siguits propidads:. para cada y sí y solo sí., para cualquir valor ral. para cualquir valor d y DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 49

50 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Sa =[ ]. Etocs la orma d pud slccioars como sigu: i i ' i i ma i i Estas trs ormas s llama rspctivamt: ) orma, ) orma uclidiaa, ) orma ifiito. La orma Euclidiaa s la logitud dl vctor dsd l orig. E Matlab la orma s pud obtr como sigu: orm(,), orm(,)=orm() y orm(,if) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

51 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5 Trasformació d similitud: Cosidr ua matriz A d. Esta mapa R sí mismo. Si s asocia R co la bas ortoormal {i, i, i } tocs la i-ésima columa d A s la rprstació d Ai i co rlació a la bas ortoormal. Ahora, si s slccioa u bas difrt {q, q,, q }, tocs la matriz A ti ua rprstació difrt A. Ivrsamt la i-ésima columa d A s la rprstació d Aq i co rspcto a la bas {q, q, q }. Bas ortoormal,,, i i i i

52 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5 Ejmplo d trasformació d similitud: Cosidr la siguit matriz: 4 A Y l vctor b Ecotrar la rprstació d A co rspcto a la bas {b, Ab, A b}

53 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ ) ( 4 4 ) ( 4 b A A A b Ab A b A Ab S ti tocs:

54 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 54 D la ultima matriz s ti: b Ab b A b A b Ab b A b A

55 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES SISTEMAS LINEALES ESPACIOS Y OPERADORES LINEALES DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 55 Rcordado qu la i-ésima columa d A s la rprstació d Aq i co rspcto a la bas {q q.q } b A Ab b b) A(A b A Ab b A(Ab) b A Ab b A(b) A

56 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Eigvctors Dfiició: Sa A u oprador lial qu mapa d (C,C) si mismo. Etocs u scalar λ C s llamado u igvalor d A si ist u vctor o cro C tal qu A= λ. Etocs s llamada igvctor d A asociado co l igvalor λ. Cálculo d los igvalors: a) (A- λi)= b) Ti ua solució o trivial solo si: dt(a- λi)= λ s u igvalor A si y solo si s ua solució d Δ(λ)=dt(AλI)=. Δ(λ) poliomio d grado (poliomio caractrístico) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 56

57 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Ejmplo: Cosidr la matriz. A La cual mapa (R,R) sí s u igvalor d A dt( I A)= dt( I-A)=, E los rals A o ti igvalors pro sí ti l campo d los compljos DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 57

58 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Caso : Todos los igvalors d A so distitos. Sa λ, λ,, λ los igvalors d A y sa v i u igvctor d A asociado co λ i para i=,,, Av i= λ i v i, cosidérs {v, v,, v } como ua bas d (C,C) Sa A la rprstació d A co rspcto a la bas v, v,..., v. La i-ésima columa d A s la rprstació d Av v co rspcto a v, v,..., v. ˆ A, v v v v i i i DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 58

59 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Av va A v Av v v v v v v va Ya qu: Av= A A A A Av v v v Si S cocluy qu si los igvalors d u oprador lial A qu mapa d (C,C) si mismo so todos difrts tocs mdiat slccioar l cojuto d igvctors como ua bas, l oprador A ti ua rprstació como matriz diagoal co los igvalors la diagoal. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 59

60 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES Ejmplo : Sa A Ecotrar sus igvalors y la matriz A DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

61 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES A Ecotrar sus igvalors y la matriz A Rgrsar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6