15. FUNCIONES ESPECIALES Y CARÁCTER DE DIRICHLET

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1 Rafal Parra Machío Fucio Aritmética. Fucio Aditiva y Multiplicativa. Ua fució aritmética ua fució d valor compljo dfiida lo tro poitivo. Dcimo qu f ua fució aditiva i f ( m) = f ( m) + f ( ), mcd( m, ) = y totalmt aditiva i o hay rtricció para m y. Dcimo qu f ua fució multiplicativa i f ( m) = f ( m) f ( ), mcd( m, ) = y i cirto para todo m y, dcimo qu f totalmt multiplicativa. Sa f y g do fucio aritmética tal qu i f () = y g () =, toc r r r r f p pr = f p f p r r r r = + + r. f multiplicativa i (... r ) = ( r f p p f p )... f ( p r ) y i multiplicativa, to- talmt multiplicativa i (... ) ( ( ))... ( ( )).. g aditiva i f ( p... p ) f ( p )... f ( p ) y i aditiva, totalmt aditi- va i f ( p... p r ) = f ( p ) f ( p ). r r r. Fució Númro d Divior τ ( ). El torma fudamtal d la aritmética dic qu, cada tro > pud rprtar como u producto d factor primo d forma úica, alvo l ord d u factor. Si r dcompo = p p... p r toc cualquir f multiplicativa vrifica qu = r= r f( ) f( p ). r r N= p p... p r la dcompoició factorial d N, l úmro d divior d dicho úmro vdrá dtrmiado por Si τ ( ) r r r= = ( )... ( ) = ( + ) Por jmplo, i 78 4, = l úmro d divior vdrá dtrmiado por τ (78) = (r+)(r+)(r+) = r= qu o,,,6,9,8,4,8,,46,69,78.

2 Rafal Parra Machío. Fució Suma d Divior σ ( p ). La fució σ ( p) la uma d todo lo úmro atural divior d. Si primo, toc σ( p ) =. Eto aí porqu lo úico divior d ( ) p + p o la potcia d co. E cocucia ( ) p + σ ( p ) = + p+ p + + p = p Para todo úmro ral o compljo α y todo tro dfiimo σ ( p) = como la uma d la potcia α éima d lo divior d. La fucio aí dfiida llama fucio divior. u primo Para l cao particular d σ ( ) i obrvamo qu lo divior d ua potcia d p o p, p, p,, p lugo d p d ( ) p + σ ( p ) = + p+ p + + p = p Qu la fució σ α( ) multiplicativa pud r dmotrado vía jmplo. Si p y q o úmro primo tr í, toc σ( pq) = σ( p) σ( q). Si tmo cuta qu lo úico divior d o,,,, darrollado d dod σ ( pq) = + p + p + pq = ( + p) + q( + p) = ( + p)( + q) σ ( + p)( + q) = σ ( p) σ ( q) Si σ( 7) = σ() σ(7) toc, σ ( 7) = = = 4 8 =σ() σ (7), co lo qu quda dmotrado qu σ α( ) multiplicativa. Por jmplo, para factorizar = 5, aplicado la fució divior, trata d rolvr σ ( 5 ) = σ ( ) σ (5 ). La olució la cotramo (+ ) (+ ) 5 σ ( 5 ) = = = Si rcordamo qu l úmro d divior τ ( ) = ( + ), qu para utro uputo ría τ( 5 ) = (+ )(+ ) = 6, umado lo cuadrado d todo llo obtmo σ () = =.8.46

3 Rafal Parra Machío.4 Fució Idicatriz d Eulr ϕ ( ). La fució ϕ( ) dfi como l úmro d tro poitivo primo co y mor o igual a, to, la ució {,,,..., } qu o coprimo co. Si la dcom- a b r poició factorial d = p p... p, la fució ϕ ( ) = ( )... ( ) o bi p p r ϕ ( ) = ( p p )... ( p p ) r r r r rulta ϕ ( ) = p p ó φ ( p) = p E gral, la fució Idicatriz d Eulr pud r xprada como ϕ = ( ) ( p) p ϕ( ) obrvar qu Por jmplo, para ϕ( p ) p p multiplicativa y qu = =. p p p 4 7 = 5 obtmo ϕ (7) = 7( )( )( ) = 7( )( )( ) = 7( ) = = Et rultado podmo xprarlo como ϕ(7) = ϕ(6) ϕ(9) ϕ(5) = 6(/) 9(/) 5(4/5) = = 9 dmotrádo qu la fució ϕ ( ) multiplicativa. Ua d la propidad d la fució ϕ ( ) qu i > toc, la uma d lo - tro poitivo mor o igual a y rlativamt primo co τ( p) = ϕ( )..5 Fució Mӧbiu µ ( ). La fució d Augutu Frdiad Mӧbiu (79-868) dtaca qu µ ( ) = i, y ólo i, diviibl por u cuadrado ditito d. La propidad o qu i = toc r µ () =, i = p p... pr co p i primo ditito, toc µ ( ) = ( ) y, i a, para algú > toc, µ ( ) =. Eta fució, qu para alguo autor la má importat dtro d la toría aalítica d lo úmro, pud r dfiida como ω( ) Ω( ) ( ) = ( ) i ω()=ω() µ ( ) = i ω()<ω()

4 Rafal Parra Machío dod ω( ) obti l úmro d primo ditito qu divid al úmro, y Ω( ) obti l úmro d factor primo d, icluydo u multiplicidad. Claramt dota d qu ω( ) Ω( ). 45 Por jmplo, para µ ( 45) = =. Si ahora coidramo qu 45 = 5 9, toc µ ( 45) = µ (5) µ (9) = ya qu para µ (5) = ( ) = y para µ ( 9) = lugo µ ( 45) = µ (5) µ (9) = ( ) =. Quda dmotrado qu la fució µ () o ólo multiplicativa, i o qu µ la fució caractrítica d lo libr d cuadrado, to, lo o diviibl por igú cuadrado mayor qu. d6 uma µd ( ) Vamo a probar la rlació d ta fució co ϕ( ). Sa ϕ( ) = (, k) k= dod k rcorr todo lo tro c. Si, tmo i = µ ( d) = =, fórmula d la fució d Mӧbiu claramt cirta =. E la i > lo úico térmio o ulo procd d d= y d lo divior d qu o d6 producto d primo ditito. Para u divior d d fijo podmo umar rpcto d todo lo k tal qu ckc i, y ólo í, cqc6 d, por lo tato d 6 d 6 ϕ ( ) = µ ( d) = µ ( d) = µ ( d) d d6 q= d6 q= d6.6 Fució d Magoldt Λ ( ). La otació Λ ( ) cooc como fució d Magoldt hoor a Ha C.F. vo Magoldt (854-95), matmático almá qu la adaptó d otra dcubirta por Nikolay Bugáiv (87-9), matmático ruo qu la dcubrió. La fució Magoldt xpra como k Λ ( ) = l( p) i = p, co p primo y k, o Λ ( ) =, cao cotrario. La fució Magoldt cumpl la iguit idtidad dod log = Λ( d) qu la uma lo d qu divid a. d 8 d Por jmplo, para log8 = Λ( d). Como lo divior d 8 o,,,6,9 y 8, tmo qu log8 = Λ ( d) = Λ () + Λ () + Λ () + Λ (6) + Λ (9) + Λ(8) qu quivalt a d 8 log = Λ ( d) =,log,log,,log, = log( ) = log8 d 8.7 Fucio d Chbyhv ϑ( x) yψ ( x). La otacio ϑ( x) yψ ( x) cooc como la primra y guda fució d Chbyhv hoor a Pafuy L. Chbyhv (8-894), matmático ruo qu la dcubrió. S do- 4

5 Rafal Parra Machío p x p x ta como ϑ ( x) = log p = log p y ( ) klog( p) y u rlació co la fució d Magoldt Λ ( ) qu Ψ ( ) = Λ( ). c x Ψ = cx La quivalcia tr amba fucio vi dtrmiada por m ( x) ( x ) m log x Ψ = ϑ La fucio ϑ( x) yψ ( x) cuta l úmro d primo p x y la potcia pricipa- k l p x, rpctivamt, co po pcífico d p. Claramt obrva d qu ϑ( x) Ψ ( x). Eta fucio ua frcutmt pruba rlacioada co la ditribució d lo úmro primo. Por jmplo, para ϑ () = log+ log+ log5+ log7 Ψ () = log+ log+ log5+ log7.8 Fució d Liouvill λ ( ). Ω( ) S dota como λ( ) = ( ) la fució Liouvill hoor a Joph Liouvill (89- Ω( ) 88), matmático fracé qu la dcubrió. La fució λ( ) = ( ) compltamt multiplicativa. Para cada tmo d6 i u cuadrado λ( d) =, i o cuadrado admá λ ( ) = µ ( ) para todo. Para d68 λ( d) = (,,,6,9,8) = {,,,,, } =.9 Fucio Factor Primo ω( ) y Ω ( ). Sa r i= = co úmro primo ditito,,, k i p α i i= p p r toc dfi i Ω ( ) = α como la fució cuta factor primo, ditito o igual, la qu dcompo u úmro como producto. Dado qu Ω () =, ta fució o multiplicativa pro, como lo factor primo qu aparc u producto d do úmro, m y, o lo qu aparc m má lo qu aparc, ti Ω( m ) =Ω ( m) +Ω ( ) lugo, Ω( m ) Ω ( m) +Ω( ) Ω( m) Ω( a = a = a a ), qu i compltamt multiplicativa. Sa ω( ) ω( ) αi = p y i Ω ( ) = i= i= primo difrt qu divid a. La fució α i como la fució qu igual a la catidad d factor ( ) a ω multiplicativa. Si m y o ti facto- 5

6 Rafal Parra Machío r comu, lo factor primo qu lo divid o ditito y toc ( m) ( m) ( ) ( m) ( ω( m ) = ω( m) + ω( ) y por tato a ω a ω + = ω = a ω a ω ). Por jmplo, 8 = ti como olució Ω (8) = y ω (8) = ya qu l primro factor, uo rptido, y l gudo o do factor primo, i rptició. 5. Fucio Eulriaa y afi. Fució Gamma (*) S trata d la fució Eulriaa d primra pci o fució gamma qu dota por la otació d Γ ( z), otació idada por Adri - Mari Lgdr (75-8). La fució x z x dx gamma ti como xprió, i x> y z>. E ua fució qu xtid l cocpto d factorial a lo úmro compljo. Si la part ral dl úmro z poitivo, toc la itgral z x z x dx Γ ( ) = covrg abolutamt, i u tro poitivo, toc Γ ( ) = ( )!, lo qu dmutra la rlació d ta fució co l factorial. D hcho, la fució gamma graliza l factorial para cualquir valor compljo d. (*) La fució gamma fu itroducida por primra vz por l matmático uizo Lohard Eulr (77-78), co l objtivo d gralizar la fució factorial a valor o tro. Má tard, fu tudiada por matmático tal como Adri-Mari Lgdr (75-8), Carl Fridrich Gau ( ), Chritoph Gudrma (798-85), Joph Liouvill (89-88), Karl Wirtra (85-897), Charl Hrmit (8-9, tr otro. Algua d la propidad d la fució gamma o: Γ () = Γ () = Γ ( + ) =! ó Γ ( ) = ( )! Γ ( + ) = Γ ( ), la fórmula d rcurrcia. Γ ( p) = ( p) Γ( p ), para p> p x p x dx Γ ( ) = ó tambié Γ x ( ) = = dx Γ = Por jmplo, para =,,,, 4, 5, 6, 7,8, 9,,... obtmo: p x ( p) x dx Γ () =, Γ () = ; Γ () = ( )! = ; Γ () = ( )! = ; Γ (4) = 6 (4 )! = 6 Γ (5) = 4 (5 )! = 4; Γ (6) = (6 )! = Γ (7) = 7 (7 )! = 7; Γ (8) = 54 (8 )! = 54 Γ (9) = 4 (9 )! = 4; Γ () = 688 ( )! = 688 Por jmplo, para p =,,5, 7,... obtmo: x () x Γ ( ) = x dx = ; Γ () = x dx = x () x Γ ( ) = x dx = ; Γ () = x dx = 6

7 Rafal Parra Machío 5 x (5) x Γ ( 5) = x dx = 4; Γ ( 5) = x dx = 4 7 x (7) x Γ ( 7) = x dx = 7; Γ ( 7) = x dx = 7 Por jmplo, para p =,,5,... obtmo: x Γ ( ) = Γ ( ) = dx = x Γ ( ) = Γ ( ) = dx = (5 ) (5 ) (. x ) Γ = Γ = dx 4 = = = 4 4. Probar qu Γ ( ) u úmro tracdt. Sa p u úmro ral tal qu < p<. La fució gamma Γ ( p) vrifica la igualdad ( p) ( p), p Γ Γ = llamada fórmula d lo complmto. Como ( ) ( ) x Γ = d dod Γ = = dx, to pruba particular qu Γ ( ) u úmro tracdt.. Calcular la fució Γ ( ) Tmo qu ( ) ( Γ = Γ ) = =. Et mimo rultado podíamo habrlo obtido aplicado algua d la itgral, 95 x x dx= Fórmula d Duplicació para Ν. 95 x x dx = o 64 La fórmula d duplicació u cao pcial dl torma d multiplicació, aí 5 Γ + =... = ( )( )...5 ( )! =! Por jmplo, para Γ (4 + ) 9 Γ 4 + = Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = = 6 7

8 Rafal Parra Machío 9 ( 4)! 5 Γ 4 + = Γ = = 4 4! 6 Por jmplo, para Γ ( + 5 ) Γ + = Γ = = 5 ( 5)! 945 Γ + 5 = Γ = = 5!.5 Calcular la fució B( p, q ), para p =, q = 7. S trata d la fució Eulriaa d guda pci o fució bta qu cooc co la otació d B( p, q ). La fució bta ti como xprió p q- = para p, q>. B( p, q) x (-x) dx Algua propidad d la fució bta o: p q- x (-x) dx, dcir, B(, ) = B( p, q) = B( q, p), cocpto d imtría. B p q B p q co p q q (, ) = p ( +, ), >, > Γ( p) Γ ( q) = Γ ( p + q) B( p, q) p q Γ( p) Γ( q) = = Γ ( p + q) B( p, q) x ( x) dx p x ( p )!( q )! B( p, q) = dx = p+ q ( + x) ( p + q )! xp + B( p, q) = dx x ( ) p + + q Aplicado lo valor platado para B (, 7), dmotramo la propidad d ta fució: B 7 (,7) = B(+,7 ) = = 54 5 Γ() Γ (7) = Γ ( + 7) B (,7) = 7 = 688 = Γ() Γ(7) 7 B(,7) = x ( x) dx = = = Γ ( + 7) x x ( )!(7 )! B(,7) = dx = = = ( + ) dx x ( + x) ( + 7 )! 5 B(,7) x7 dx = dx = ( + + = x + + x ) x + ( ) 5 8

9 Rafal Parra Machío Calcular la fució B( p, q ), para p =, q =. Tmo qu Γ( ) Γ( ) ( )( ) = ( 5 7 = ) Γ(6) = (5)! = Γ + = 56 B(, ). Igual rultado podíamo habr obtido d aplicar la fució itgral x5/ / 7/ B(, ) = ( ) x x dx= dx = x 5/+ 7/ ( + ) Calcular la fució B (, ). Primro calculamo la fució gamma y dpué la fució bta: Γ ( ) = Γ ( ) = = Γ ( ) = Γ ( ) = = Γ( ) Γ( ) ( )( ) = ( 9 = ) Γ() = ()! = Γ = 56 B(, ). Por la fució itgral x 7 dx x= ( + x) 56 (/) 9 / 9/ B(, ) = x ( x ) d = /+ 9/.8 Calcular la cotat ( γ ). Coocida como cotat d Eulr - Machroi, (**) igora u aturalza aritmética, dcir, i racioal o irracioal, algbraica o tracdt, í claro qu ti cirta importacia toría d úmro. La ució ti como valor, γ= lim l =,5776. E otació u- matoria podmo xprarla como γ= l m. m k k= (**) Lorzo Machroi (75-8) fu u matmático italiao qu logró ua aproximació gométrica dl úmro, domiado método d Machroi. E l año 79 publicó Adotacio ad Calculum Itgral Eulri, u cálculo aproximado d la cotat ( γ ), qu ti u valor aproximado d, Calcular la fució ψ ( z), para z=,,,4,... La fució digamma ψ ( ) dfi como la drivada dl logaritmo d Γ ( ) y ti d l Γ( z) Γ'( z) como xprió ψ( z) = = qu podmo cribir como dz Γ ( z) dod γ la cotat d Eulr y k u tro o gativo. Si uamo la xprió γ z z Γ ( z) = ( + ) z dod γ la cotat d Eulr - Machroi, podmo tomar l logaritmo l( Γ ( z)) = γ z lz l( + ) z y drivado rpcto d z, obtmo = z k= z γ k( k+ z) z = 9

10 Rafal Parra Machío z ψ ( z ) = γ z + l( + z) = γ + ( k z+ k) = γ = k = k = k( k + z ) Dado valor a z, obtmo k = z =,,,,,,,,, k( k + z ) D habr utilizado la fució PolyGamma dl programa Mathmatica, l rultado hubira ido: Tabl[ PolyGamma [ ],{,,}] = γ, γ, γ, γ, γ, γ, γ, γ, γ, γ dod γ dota la cotat d Eulr - Machroi.. Calcular la fució ψ ( z ) para = y z=,,,4,5,6,7. E matmática, la fució poligamma d ord dfi como ψ ψ d d + ( z) = ( dx ) ( z) = ( dx) log Γ( z ) dod Γ'( z) ψ ( z) = ψ ( z) = Γ ( z) la fució digamma. Para ψ ( z), co z =,,,4,5,6,7 obtmo: ,,,,,, Otra forma d calcular la fució poligamma ψ ( z) = = = ( k + z ) ( k + 7 ) ( )! ( )! k = k = cuado ψ (7).. Calcular la fució ( z ) = (5,7). S trata dl ímbolo factorial crcit ( z ) d Pochhammr(***), qu ti como darrollo ( z) = ( + )... ( + z ) =. ( z+ )! ( )! (5+ 7)!! Aplicado a utro cao, (5) 7= 7(7+ )... (7+ 5 ) = = = (7)! 6!

11 Rafal Parra Machío La fució ( z ) ti la propidad d Γ (7+ 5) Γ()! comprobar, ( z) = = = = Γ(7) Γ(7) 6! Otra d la propidad d la fució ( z ) qu ( x+ )! Γ ( + z) ( z) = =, qu podmo ( )! Γ( ) ( z) ( )! ( 5 )! = = = 5544 dod B( z, ) B( 7,5) B( z, ) la fució bta d Eulr. (***) Lo Augut Pochhammr (84-9), fu u matmático pruiao, coocido por u trabajo obr fucio pcial. Itrodujo l ímbolo Pochhammr, uado hoy día para xprar fucio hiprgométrica.. Dmotrar lo primro valor d ( z ) para tro y poitivo. Si u tro poitivo y ( z ) l ímbolo d Pochhammr, para lo ditito valor d gra lo iguit poliomio: ( z ) = ( z) = z ( z) = z( z + ) = z + z ( z) = z( z + ) ( z + ) = z + z + z 4 ( z) 4 = z ( z + ) ( z + ) ( z + ) = z + 6z + z + 6z ( 4) ( z) = z( z + ) ( z + ) ( z + ) z + = z + z + 5z + 5z + 4z Si rolvmo la cuació 5 4 z + z + 5z + 5z + 4z =, obtmo como olucio: z =, z = -, z = -, z = -, z = La olucio d to poliomio rcorr todo l itma complto d rto rpcto al grado d dicho poliomio. Djamo mao dl lctor la comprobació d ta avració. 5. Fucio Epcial. Sri d Dirichlt. a E matmática, ua ri d Dirichlt toda ri dl tipo, dod y, = a =,,,... o úmro compljo. La ri d Dirichlt juga u papl muy importat la toría aalítica d lo úmro. S llama Dirichlt hoor a Ptr Gutav Lju Dirichlt (85-859), matmático almá. So ri famoa d Dirichlt = ς ( ) =, qu la fució zta d Rima, dod para =, 4,6,8,,... obt mo ς ( ) = =,,,,, =

12 Rafal Parra Machío µ ( ), ς ( ) = dod ( ) = µ la fució d Mӧbiu. Para =, 4,6,8,,... obt- mo = ς ( ) = = ( ) µ,,,,,... qu cooc como ivrió d Mӧbiu. ς ( ) ϕ( ), ς ( ) = dod ( ) = ϕ la fució Idicatriz d Eulr. Para =, 4, 5,... ob- 4 6 ς ( ) ϕ( ) 9 ς () 945 ς (5) 945 ς (7) tmo = =,,,,,, ς ( ) 6 ς () 9 ς (5) 945 ς (7) = χ( ) Quizá la má famoa d la ri a L( χ, ) =, dod χ u caráctr d = Dirichlt y ua variabl complja cuyo compot ral >. Eta fució ti como idtidad ( χ, ) χ( p ) L dod dmutra qu xit u úmro ifiito d p p úmro primo cualquir progrió aritmética d la forma ax + b co ( a, b ) =. U caráctr d Dirichlt ua fució aritmética compltamt multiplicativa χ ( ) tal qu xit u tro poitivo k co χ( + k) = χ( ) para todo y χ ( ) =, impr qu mcd(, k> ). Para l cao particular d la progrió 4k+, dod ( ) χ( ) = ( )/ para impar para par dcir χ ( ) = i 4k + y χ ( ) = i 4k + E fácil comprobar qu χ( m ) = χ( m) χ( ), multiplicativa. La fució L( χ, ) dfi como χ( ) L( χ, ) = = = La Idtidad d Dirichlt toma la forma d 5 7 p p p = + + i p j i j dod p i o úmro d la forma 4k y E dfiitiva, obtmo + j p o úmro d la forma 4k χ( ) Lk (, j, ) = =,, ζ(),, ζ(5),, ζ(7),, ζ(9),, = dod k l módulo, j l ídic y u compljo arbitrario.

13 Rafal Parra Machío. Fució Zta d Rima La fució ζ( ) coocida como fució Zta d Rima y tá ítimamt ligada al tudio d lo úmro primo. Dfiida para úmro compljo, u pcificació ζ( ) = qu covrg abolutamt i, = > dod = σ + it tal qu σ>. Su cocpció actual db al matmático almá Gorg Fridrich Brhard Rima (86-866) o obtat, dd Euclid (año a.c.) ab qu la ució d úmro primo ifiita. Arquímd (87- a.c.) pudo probar qu la ri = covrgt, lo qu = 4 ahora llama ri gométrica. Por otra part, Nicol Orm (-8), l qu fura obipo d Liiux, u obra D Proportioibu Proportioum y Algorimu Proportioum, pruba qu la llamada ri armóica divrgt, ya qu = = 5 7 =,,,,, E l año 67 publica Italia u libro obr la cuadratura dl círculo domiado Il Problma dlla Quadratura dl Circolo, d Pitro Mgoli (65-686), u clérigo matmático formado bajo la iflucia d Boavtura Cavaliri ( ), dod ataca por primra vz l uo d la ri ifiita mdiat la uma d ua ri armóica altrada + ( ) dod ( ) + = = log() E 7 Lohard Eulr (77-78), comiza u trabajo obr la fució zta d Rima. Sab por tudio atrior qu o covrgt, i mbargo la uma d > lo rcíproco d lo úmro cuadrado covrg hacia u valor itrat, to =, y lo pruba 6 > > =,,,,,,,..., dod < <, 4989<,5797<, lo úmro covrg pro muy ltamt.

14 Rafal Parra Machío E 749 la obrvacio d Eulr d qu l producto { } = p P p =, > dod p rcorr todo lo úmro primo P y lo úmro atural, rá l comizo d la ivtigacio d Rima obr ta fució. Por jmplo, para ς ( ), =,4,6,8, obtmo 4 ζ() = =, ζ(4) =, = = = 6 ζ (6) =, ζ (8) =, 945 ζ() = 9555 Exit ua rlació importat tr la fució zta y la fució gamma. La fució zta la podmo xprar como la fució gamma pud r Γ ( ) = ( )! o Por jmplo, para = 4,8,... obtmo 4 Para Γ (4) = (4 )! = t t dt = 6. x ζ( ) = dx Γ x ( ) o como ( ) t t dt. Γ = 8 Para Γ (4) = (8 )! = t t dt = z Para ζ(4) = = dz 4 x 6 = 9 = 8 8 z Para ζ(8) = = dz 8 x 8 = 945 = E l cao d qu a racioal, opramo como i fura tro. Ejmplo, para = 7, 7,... obtmo ζ( ) =. Por otra part, = Para Para ( 7) ( 7 7 )! t t dt=, Γ = = ( 7) ( 7 7 )! t t dt=, Γ = = Si Γ (6) = (6 )! = y ζ(6) = = dod =, tambié cumpl qu 6 = z 8 Γ (6) ζ (6) = = z 6 6 z 6 4

15 Rafal Parra Machío. Fució Zta d Hurwitz E matmática, la fució zta d Hurwitz ua d la mucha fucio zta qu xit. Fu dcubirta por Adolf Hurwitz (859-99), u matmático almá qu la dfiió formalmt para u argumto compljo y u argumto ral a como ζ (, a) = k = ( k + a) Por jmplo, para y a =, obtmo ζ (, ) = =,,,,,,,,... ( k + ) k = 8 Si Γ (8) = (8 )! = 54 y ζ(8,) = = dod 8 = ( + ) 945 cumpl qu =, tambié z 8 Γ (8) ζ ( 8,) = dz = z 5.4 Fució Zta d Lrch 8 z 8 La fució Lrch tracdt ua fució pcial qu graliza la fució zta d Hurwitz y l polilogaritmo, por lo qu tambié coocida como fució zta d Hurwitz - Lrch. Su dcubridor fu l matmático chco Mathia Lrch (86-9) y dota como z z z Φ ( z,, a) = = = ( + a) a ( a + ) ( a + ) Por jmplo: Para Para Φ (,,) = = 9555 = 4 Φ (,4, ) = = 4 ( + ) 9 = la fució zta d Rima. la fució zta d Hurwitz. = = Para Φ ( ) ( ) 5 ζ (5) (,, ) = ζ ( ) =, = 5, la fució η( ) d Di- 6 ( ) richlt. La fució ta d Dirichlt dfi como η( ) = = ( ) ζ ( ). 7 ( ) 6 Para Φ(,, ) = ζ (, ) ζ (, ), 7, = = = la fució bta 4 4 = ( + ) 44 d Dirichlt. = 5

16 Rafal Parra Machío Para fució gamma d Eulr. t Φ (, 6,) = = + = + Γ dt 6 t 6 6 t (6) dod Γ( ) la.5 Sri d Fary La ri d Fary d ord, F, Joh Fary (766-86), dfi como la ri acdt d toda la fraccio irrducibl tr y, cuyo domiador o xcd d, to, la fracció a / b prtcrá a la ri d Fary d ord i, y ólo i, a b y mcd( a, b ) =. S llama mdiaa d do fraccio a / b, c / d Q, la fracció ( a+ c)( b+ d). La ri d Fary cumpl la iguit propidad:. Do térmio cocutivo d F, ai bi, ai+ bi+, cumpl qu bi+ bi+ >.. Si > toc F, la fraccio cocutiva o ti l mimo domiador.. Do térmio cocutivo d F, ai bi, ai+ bi+, cumpl qu ai+ bi aibi+ =. 4. Tr térmio cocutivo d F, ai bi, ai+ bi+, ai+ bi+, cumpl qu ai+ ai+ ai+ =. bi+ bi + bi+ 5. El úmro d fraccio irrducibl co domiador < m φ ( m), d modo qu l úmro total d fraccio la ri d N( ) = + φ( ) y la uma d lla val N ( ). Por jmplo, para F, =,,, 4 y 5, obtmo k= Para F : Para F : Para F : Para F 4 : Para F 5 :, Térmio xtrmo.,, S itrcala u térmio,,,, S itrcala tr térmio,,,,,, S itrcala cico térmio 4 4,,,,,,,,,, S itrcala uv térmio Por jmplo, calcular la fraccio d la ri F, = 7 y 9 y dmotrar u rlació co la fució Idicatriz d Eulr ϕ( ). Para = 7, al r úmro primo, {,,,4,5,6 },la fraccio d F 7 o 6 ϕ(7) = 7 = 6 7 úmro primo co 7, to,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Obrvar qu lo umrador rpit todo lo úmro d la fució ϕ( ). {,,4,5,7,8 }. Para = 9, como 9=, ϕ(9) = 9 = 6 úmro primo co 9, qu o 6

17 Rafal Parra Machío Para F 9, tmo,,,,,,,,,,,,, 4,, 5, 4,, 5,, 5,, 7, 4, 5, 6, 7, 8, Obrvar qu l umrador, apart d lo úmro grado por ϕ ( ), rpit l 6 como múltiplo d y ét como múltiplo d 9, úmro proputo..6 Probar la rlació la fucio ψ (, ) y ζ (, ), para =, 5. La rlació qu vicula a la fucio poligamma y zta qu iguala como ψ (, ) = ζ ( +, ) = ( k + ) k = + lugo, para rolvr ψ (, ) tdrmo ( )! 5 ( )! 5 ψ () = = + y ψ(5) = = + + ( ) ) 4 6 ( k + 5 ) k + k + k+ y para rolvr ζ (, ), 5 ζ ( +,) + ) + + = ( k = y k = 4 6 ζ ( +,5) + + = ( k 5) = + k = Probar la rlació tr la fucio digamma y poligamma Eta fució ψ ( z), tudiada atriormt, domia fució pi o digamma y dfi como ψ ( z) = d / dz l Γ ( z) = d / dzγ( z) / Γ ( z), upoido qu la part ral z a poitiva, to, qu l argumto d z a mor qu /. Para u olució podmo utilizar o tambié t t z dt z dt+ t t ( t + z )( ) ( t + z )( + ) l( z) z z ψ( z) = γ k( k+ z) k= dfi como La fucio ψ (, z) domiada poligamma, rprta drivada uciva y (, ) ( / ) z d dz (, z) ( d / dz) l ( z) ψ ψ + = = Γ ido l ord d drivada y upoido qu z o a cro o tro gativo. Si igual a cro, toc, ψ( z) = ψ( z). La olució pud platar mdiat k= + ( )! ψ (, z) =. + ( k+ z) 7

18 Rafal Parra Machío.8 Probar la rlació tr la fucio Idicatriz d Eulr y zta p p p p p p Rcordmo qu ϕ( ) = (... ) la fució d Eulr. Si hacmo qu ϕ( ) ϕ( p) ϕ( p ) p p = p = ( ) rulta qu p ζ ( ) = ( ). ζ p p.9 Probar la rlació tr la fucio Mӧbiu y zta Rcordmo qu µ ( ) la fució Mӧbiu qu i o ti algú factor cuadrado, ( ) r i producto d r primo ditito o, lo dmá cao. Si comparamo la uma d amba fucio, µ ( ) = = ζ ( ) = =. Probar la rlació tr la fucio Magoldt y zta p. S cooc como fució d Vo Magoldt a Λ ( ) qu dfi por Λ ( ) = l p i k = co p primo y k o por Λ ( ) = cao cotrario. Como ζ ( ) =, i ahora drivamo rpcto a la igualdad = Λ ( ) = l ( ) ( ) ζ Λ, l( ) = = obtmo ζ ( ) =, co lo quda dmotrada la rlació xitt tr amba fucio. ζ( ). Probar la rlació tr la fucio ( x) y ζ ( ) La fució ( x) rlacioa co la fució ζ ( ) porqu = El l ( ) ( x) ζ. dx x ( x) torma d lo úmro primo afirma qu para grad valor d x, ta fució tá x ( x) l( x) próxima a l( x ), lo qu quir dcir qu lim =. x. Dmotrar qu para todo tro, xit por lo mo u tro m difrt d tal qu ϕ( m) = ϕ( ), ido ϕ ( x) la fució Idicatriz d Eulr. x 7 S trata d la cojtura o hipóti d Robrt Dail Carmichal ( ). Auqu laborioo d cotrar, hay mucho, lo qu o ab i u cojuto fiito o ifiito. 7 7 Probmo co l 7 y l 4. Para ϕ(7) = 7( ) = 6 y ϕ(4) = 7( ) = 6. El primro primo, por tato ti tato primo co él como úmro compoga u itma complto d rto. El gudo computo 4= 7, lugo tomamo do úmro l darrollo y obtdrmo 6 úmro {,,5,9,, } qu o primo rpcto al úmro 4. Por t procdimito pud cotrar algua parja como 7 ϕ(5) = ϕ() = ϕ(6) = ϕ(77) = 6 ϕ() = ϕ(5) = 68 ϕ(4) = ϕ(55) = 4 ϕ(84) = ϕ(9) = 4 ϕ(488) = ϕ(496) = 4 8

19 Rafal Parra Machío. Dmotrar la utilidad d la fució λ ( ). La fució λ ( ) utiliza para la búquda d úmro d Carmichal. Si u úmro computo tal qu atifac la cogrucia a a( mód. ) y mcd( a, ) =, u úmro d Carmichal. Si la cogrucia d la forma b ( mód. ) o ( mód. ), coidra pudo-primo d ba b o pudo-primo cuadrático, rpctivamt. E d obrvar la imilitud qu xit co l torma d Frmat, qu xig qu a primo. Al tratar d módulo computo, u cálculo rduc coidrablmt aplicado l Sitma Chio d Rto. Como mutra, va la iguit tabla: a a( mód. ) 9 ( mód.9) 5 6 6( mód.5) 759 ( mód.759) 7 7( mód.) ( mód.4) b ( mód. ) ( mód. ) 4 ( mód.4) 4 ( mód.4) 56 ( mód.56) 56 ( mód.56) 8 ( mód.8) 645 ( mód.645) 9 ( mód.9) 79 ( mód.79) ( mód.745) ( mód.8) 5.4 Grupo Multiplicativo 4. Cocpto d grupo U cojuto o vacío G obr l cual ha dfiido ua opració biaria (adició o multiplicació) llama grupo co rpcto a ta opració i para cualquira a, b, c G vrifica qu: I. Para todo a, b G, a b G, G crrado mdiat. II. Para toda a, b, c G, ( a b) c = a ( b c) ua propidad aociativa. III. Exit u G tal qu a = a = a, para todo a G, como u lmto d idtidad o utro. IV. Para cada a G xit u lmto b G tal qu a b = b c =, xitcia d ivro. V. Para todo a G xit u a G tal qu a a = a a = u como lmto imétrico. VI. Si a, b, c G, como a b = b c tambié b a = c a, toc b = c la ly d caclació. VII. Para a, b G, cada ua d la cuacio a x = b y a = b ti ua olució úica. VIII. Si a G, l imétrico dl imétrico d a a dcir, ( a ) = a. IX. Para cualquira a, b,..., p, q G, ( a b... p q) = q p... b a. X. Si, dmá, a b = b a para todo a, b G, toc G u grupo comutativo o abliao. El adjtivo abliao hoor al matmático orugo Nil Hrik Abl (8-89). 9

20 Rafal Parra Machío Para cualquir a G y cualquir m Z +, dfi m a = a a a... a d m factor. a =, l lmto utro d G. m m a = ( a ) = a a a... a d m factor. Para todo a G, m m a a = a + y ( a m ) = a m, co m, Z. Co la uma ordiaria, Z,Q,R y C o cada uo u grupo abliao. Niguo d llo u grupo mdiat la multiplicació, pu o ti ivro multiplicativo. Si mbargo Q*, R * yc *, lo lmto o ulo d QR, yc, rpctivamt, o grupo abliao multiplicativo. Si ( R, +, ) u aillo, toc ( R, + ) u grupo abliao; lo lmto ditito d u curpo forma u grupo abliao multiplicativo. + Para Z, >, tmo qu ( Z, ) u grupo abliao. Si p primo, u grupo abliao. + * ( Z p, ) Para cualquir grupo G, l úmro d lmto d G l ord d G qu podmo dotar como G. Cuado l úmro d lmto d u grupo o fiito, dcimo qu G ti ord ifiito. S tid por ord d u grupo G l úmro d lmto dl cojuto y por ord d u lmto a G l mor tro poitivo, i xit, para l cual a =, l lmto utro d G. Si a u lmto dl grupo aditivo Z, toc, puto qu a para todo tro poitivo, l ord d a ifiito. = u grupo rpcto a. Cualquir ubcojuto o vacío G ' d G Sa G { a, b, c,... } llama ubgrupo d G i G ' él mimo u grupo co rpcto a. Evidtmt G ' =, dod l lmto utro d G y G mimo, o ubgrupo d cualquir grupo G. 4. Grupo cíclico y grador U grupo cíclico u grupo qu pud r grado por u olo lmto; dcir, hay u lmto g dl grupo G, llamado "grador" d G, tal qu todo lmto d G pud r xprado como ua potcia d g. Si la opració dl grupo dota aditivamt, dirá qu todo lmto d G pud xprar como g, para tro. E otra palabra, G cíclico, co u grador g, i G = { g Z}. Dado qu u grupo grado por u lmto d G, í mimo, u ubgrupo d G, bata co dmotrar qu l úico ubgrupo d G qu coti a g l mimo G para probar qu ét cíclico. Por jmplo, G = {, g, g, g, g 4 } cíclico. D hcho, G cialmt igual (to, iomorfo) al grupo {,,,4 } bajo la opració d uma módulo 5. El iomorfimo pud hallar fácilmt hacido. g Salvo iomorfimo, xit xactamt u grupo cíclico para cada catidad fiita d lmto, y xactamt u grupo cíclico ifiito. Por lo atrior, lo grupo cíclico o d

21 Rafal Parra Machío algú modo lo má impl, y ha ido compltamt claificado. Por to, lo grupo cíclico ormalmt dota implmt por l grupo "caóico" al qu o iomorfo: i l grupo d ord, para tro, dicho grupo l grupo Z d tro{,,, } bajo la adició módulo. Si ifiito, ét, como cab prar, Z. 4. Cla y órd Si la cogrucia x a( mód. m) ua rlació d quivalcia qu prmit claificar a lo úmro tro, y por tato lo atural, cla d quivalcia, cojuto formado por cada úmro tro y todo u cogrut. E t cao llama cla d rto o ridual, porqu cada cla pud rprtar por l rto qu rulta al dividir cualquir lmto tr l módulo m. La cla módulo m rprta por Z/ Z ó por Z.. Para = { } Z Z,, qu o lo do rto producido al dividir tr. El lmto. Para { } rprta a lo úmro par y l a lo úmro impar. Z 5Z =,,,,4, l qu, por jmplo l lmto rprta a lo úmro,8,,8,,, qu da rto al dividir por 5. La cla m Z Z coti xactamt m lmto: { m },,,4,5,6,,. A vc ua rto míimo, admitido úmro poitivo y gativo, mdiat la lcció tr a y a m dl úmro co mor valor aboluto. E lo itma algbraico la cla d rto ti tructura d aillo para la uma y l producto. El grupo aditivo d aillo cíclico, pu para cada lmto a dl mimo xit u h tal qu a h =. E úmro h ha d r divior dl módulo m. No todo lo lmto ti ivro. E cao afirmativo, llama ivribl, y u cojuto coicid co la cla rprtada por úmro primo co m, icluydo l. Por tato, u úmro coicid co ϕ ( m) = m( p ),,( p ), domiado Idicatriz d ϕ( m) Eulr. El ivro vdrá dtrmiado por a ª ( mód. m). Lo lmto ivribl forma u grupo multiplicativo, al qu rprtarmo como Z qu o la cla ridual rducida. Et caráctr d grupo da lugar a qu, i a *, m ivribl * r Z m, xit u úmro atural r tal, qu a =. El úmro r míimo qu cumpl la atrior igualdad llama, para todo lo grupo, í. E fácil vr qu i a ( mód. m), l xpot dbrá r múltiplo dl ord r. Otra x y cocucia qu, i a primo co m y cumpl qu a = a toc, ha d r x = y. Si m primo, rá ivribl todo lo lmto y cotituirá u curpo. m Si a, m o do tro poitivo mcd( a, m ) =, i ϕ ( m) =, toc a ª ( mód. m) y dota como ord = a. El ord multiplicativo d a módulo m l mor tro poitivo qu cumpl a ª ( mód. m). Por jmplo, para dtrmiar l ord multiplicativo d 4 módulo 7, 4 ( mód.7) ª y 4 ª ( mód.7), por lo qu ord 4 =. 7

22 Rafal Parra Machío Algua d la propidad d lo órd multiplicativo o:. Si ordma =, toc a ª ( mód. m) i, y ólo i.. Si p primo, toc ord a p. E particular ord a ϕ( m). m t. Si ord a =, toc a ª a ( mód. m) i, y ólo i ª t( mód. ). Como mcd( a, m ) =, m t to implica qu a ª ( mód. m). Rfrt al jmplo atrior, como 4 ( mód.7) ª y m 4 ª ( mód.7), 4 ( mód.7) ª4 quiva- lt a 4-4 ª ( mód.7). Por jmplo, comprobar la rlació tr ord 7. y ord 5. Como mcd (5,) = = mcd (7,), 4 calculamo 5,7 ª ( mód.), dod igual a 5,5,5, 5 ª ( mód.) = 5,,8,, por tato 4 5 ª ( mód.) y l ord multiplicativo ord 5 = 4. Ejmplo, cotrar todo lo lmto d ord 5. Como ϕ () = ϕ () ϕ (7) = 6 =, lo factor poitivo d, o {,,,4,6, } uficit para valorar ord Como 5,5,5, 5, 5 ª ( mód.) = 5, 4,,6,, lugo multiplicativo. 4.4 Raíc d la uidad y primitiva 6 5 ( mód.) ª y ord 5 6 = l ord Si z C y, z ua raíz -éima d la uidad í z =. Si tmo cuta qu forma polar z r iθ i =, toc, por la formula d Moivr z = r θ lugo, para qu z a raíz -éima d la uidad, db cumplir z = ( k Z ) θ = k. Como r u úmro ral, db tr cuta qu r =, y la codició obr θ k ( k Z ) θ =, lugo todo lo úmro compljo d la forma z = o raíc -éima d la uidad. r,,,..., tal qu k r, dcir qu k = r + t, co t Z, toc Si lgimo { } ik k i i( + t ) i it i i = = = = Ua raíz -éima d la uidad cualquira d lo úmro compljo z qu atifac a la cuació z =. La raíc d la uidad o lo úmro, dod k y o ik coprimo y rprta a la raíz y k umrado la corrpodit olucio para lo tro comprdido tr k = y k =, o lo qu lo mimo k k co + i, co ( k =,,,..., ) La raíc -éima d la uidad o ral aparc par d cojugado. Ua raíz primitiva d la uidad z primitiva i toda la dmá o potcia d z. Por jmplo, i ua raíz cuarta d la uidad primitiva, pro o lo, puto qu u potcia impar o y la par +.

23 Rafal Parra Machío El úmro d raíc primitiva difrt vi dtrmiado por la fució Eulr, ϕ ( ). Por jmplo, para z = ólo hay ua raíz primra d la uidad, igual a. Para z = hay do raíc: z = i = y z = i = Para / i = = y i/ + z /. i/ z = = i. z = hay tr raíc: z i / = =, La raíc d la uidad d la cuació cúbica corrpod a lo llamado tro d Eiti, hoor a Frdiad Gotthold Eiti (8-85), y rprta como ±, ± ω, ± ω. / La raíz primitiva i i/ o u cojugada dota a mudo como ω, pcialmt la traformacio dicrta d Fourir. Como lo cro dl poliomio p( z) = z o prciamt la raíc -éima d la uidad, cada uo co multiplicidad, l poliomio ciclotómico -éimo tá dfiido por l hcho d qu u cro o, prciamt, la raíc primitiva -éima d la uidad, cada ua co multiplicidad. ki/ Si, la uma d la raíc d la uidad val. Como, k =,,...,, la ik / uma rulta S / / =. Si tmo cuta qu ik = ( i ) k, toc rulta S k = i/ k = ( ). Como k = i/ y, obtmo i/ i/ ( ) ( ) S = = = i/ i/ 7 Por jmplo, para z =. Si tmo cuta qu la fórmula d Moivr, obtmo z = z =, utilizado ϕ (7) 6 z =co( k 6) + (k 6) i = z =co( k 6) + (k 6) i = + i z =co( k 6) + (k 6) i = + i z =co( k 6) + (k 6) i = z4 =co( k 6) + (k 6) i = i z5 =co( k 6) + (k 6) i = i Ahora, i 6 i i 4i 4i 6i 6i ik / = = , tmo k = S S = 6i 7 =

24 Rafal Parra Machío 4.5 Etructura d lo aillo El aillo d lo tro ( mód. m) dota como Z mz, dcir, l aillo d tro módulo, l idal mz = m qu cota d lo múltiplo d m o por Z m. El aillo d tro módulo lo domiamo ( Z mz )*. Vamo alguo jmplo d cla co xpot d. Para Módulo ti ólo ua cla d cogrucia co primo rlativo,, por lo qu ( Z Z)*, trivial. { } Para Módulo 4 ti do cla d cogrucia co primo rlativo, y, por lo qu ( Z 4 Z)* C, l grupo cíclico d do lmto. Para Módulo 8 ti cuatro cla d cogrucia co primo rlativo,,,5 y 7. El cuadrado d cada ua d lla, por lo qu ( Z 8 Z )* C C, l grupo cíclico d cuatro lmto. Para Módulo 6 ti ocho cla d cogrucia co primo rlativo ±, ± 7 C C, l ubgrupo -torió,,5,7,9,, y 5 qu rprtamo como { } dcir, l cuadrado d cada lmto, por lo qu ( Z 6 Z )* o cíclico. La potcia d, {,,9, } u ubgrupo d ord 4, al igual qu la potcia d { } 5,,5,9,. Aí ( Z 6 Z)* C C. 4 El modlo qu mutra para l 8 y l 6 válido para potcia uprior a k, k > : k l ubgrupo -torió, por lo qu ( Z Z ) * o cíclico y la potcia d o u ubgrupo d ord k, lugo k ( Z Z )* C. C k k E la potcia d lo úmro primo impar d la forma p, l grupo cíclico: ( k Z Z )* C k k C p ( p) ϕ ( ) k k k Por l torma chio dl rto i = p..., p p l aillo Z mz l producto dircto d lo aillo corrpodit a cada uo d u factor d xpot primario: Z mz Z p Z Z p Z Z p Z k k k... Dl mimo modo, l grupo d uidad ( Z mz )* l producto dircto d lo grupo corrpodit a cada uo d lo factor d xpot primario: ( Z mz)* ( Z p Z) * ( Z p Z)* ( Z p Z) *... k k k 4

25 Rafal Parra Machío El ord dl grupo vi dtrmiado por la fució Idicatriz d Eulr : ( Z mz)* = ϕ( m) t l producto d lo órd d lo grupo cíclico l producto dircto. El xpot vi dtrmiado por la fució d Carmichal λ ( m), qu l Míimo Comú Múltiplo d lo órd d lo grupo cíclico. Eto igifica qu, dado m a λ ( m) ( mód. m) para cualquir a rlativamt primo co m y dod λ ( m) l mor úmro. ( Z mz)* cíclico i y ólo i ϕ( m) = λ( m). Et l cao prciamt cuado m, 4, ua potcia d u primo impar, o do vc l xpot d u primo impar. E t cao, l grador ua raíz primitiva módulo m. Ya qu todo lo ( Z Z )* co m =,,,...,7 o cíclico, otra forma qu: Si m < 8 toc ( Z mz )* ua raíz primitiva. Si m 8 ua raíz primitiva i m diviibl por 4 o por do primo impar ditito. E gral, hay u grador para cada factor dircto cíclico. La fució d Carmichal (vr hoor a Robrt Dail Carmichal ( ), pud r dfiida como: k k p ( p ) i m = p, p, k k k λ( m) = i m =, k k k k t t ki mcm = [ λ( p ),( p ),...,( pt )] i m = p i= i Utilizado A o la fució CarmichalLambda[m] d Mathmatica, obtmo lo valor d lo primro úmro, qu o: m λ ( m) Por jmplo, para ( Z Z )* C6 C tmo Expot: ϕ () = ( )(7 ) = ϕ Grupo z () = z ( mód.) = {,,4,5,8,,,,6,7,9, } λ() 6 z = z ( mód.) = {,,4,5,8,,,,6,7,9, } Si tmo cuta qu ϕ () = ( )(7 ) = 6 =, dod lo factor poitivo d o,,,4,6 y úmro poibl para valorar ord 5, 5 = (4 + 6), y i 4 6 5,5,5,5,5 ( mód.) = 5,4,,6, 5

26 Rafal Parra Machío 6 dod 5 ( mód.), toc ord 5 = 6, qu igual a λ () = 6. Como 6 8,, ( mód.) ,,,,,,,,, ( mód.) podmo dcir qu t grupo multiplicativo ti do grador: g =,. Lo valor para 6 z = o  / i i z = ±, z= ( ) = + =-, z=- ( ) =- - =   / i / i z= ( ) =- + =, z=- ( ) = =-  /, ± i i y dado qu ( ± ( ) ) = ± ± ±, = = ± podmo agurar qu w = xp( i ). w = co La tabla iguit rcog algua caractrítica d lo grupo multiplicativo ( Z Z ) * ϕ ( ) λ ( ) g ( Z Z ) * ϕ ( ) λ ( ) g { } C C 4 5,7 C C 4 C 4 C C C C4 8 4,4 6 C 5 6 C C4 8 4,5 7 C C C C 4,7 8 C C C C C C4 8 4,9 C C C6 6, 5.5 Fució caráctr d Dirichlt 5. Fució Caráctr. Sa G u grupo abliao fiito, crito d forma aditiva. Caráctr d grupo u homomorfimo χ : G C*, dod G * l grupo multiplicativo d lo úmro compljo o ulo. Etoc χ () = y χ( g + g) = χ( g) χ( g) para todo g, g G. Si χ u caráctr dl grupo multiplicativo G, toc χ () = y χ( gg ) = χ( g) χ( g) para todo g, g G. S dfi l caráctr d χ () G por χ ( g) = para todo lo g G. Si G u grupo aditivo d ord y i g G ti ord d, toc 6

27 Rafal Parra Machío d χ( g) = χ( dg) = χ() = y por tato χ ( g) raíz d la uidad. S dfi l producto d caractr χ y χ como χ χ ( g) = χ ( g) χ ( g) para todo g G. E u producto aociativo y comutativo. El caráctr χ ua idtidad multiplicativa, tal qu χ χ( g) = χ ( g) χ( g) = χ( g) para cualquir caráctr χ, g G. El ivro dl caráctr χ l caráctr χ, qu podmo dfiir como χ ( g) = χ( g) El cojugado dl caráctr χ χ qu podmo dfiir como χ ( g) = χ ( g) El dual d u grupo cíclico d ord u grupo cíclico d ord. Prtamo la fucio xpocial ( x) ix = o bi ( x) = ( ) = x ix La raíc -éima d la uidad o lo úmro compljo ( a ) para todo a =,,...,. Si G u grupo fiito d ord co u grador. E toría d úmro, lo caractr d Dirichlt o u cirto tipo d fucio aritmética qu driva d caractr compltamt multiplicativo obr la uidad Z kz. Si χ u caráctr d Dirichlt, dfi u ri L d Dirichlt d la iguit forma: χ( ) L( χ, ) = = dod u úmro compljo co la part ral mayo qu. Por cotiuació aalítica, ta fució pud r xtdida a ua fució mromorfa todo l plao compljo. Lo caractr d Dirichlt o llamado aí hoor a Joha Ptr Gutav Lju Dirichlt. 7

28 Rafal Parra Machío Como dfiició axiomática, u caráctr d Dirichlt cualquir fució χ d úmro tro a úmro compljo, co la iguit propidad:. Exit u tro poitivo k tal qu χ( ) = χ( + k) para todo.. Si mcd (, k ) > toc χ ( ) = ; i mcd(, k ) =, toc χ( ).. χ( m) = χ( m) χ( ) para todo lo tro m y. 4. χ () =. 5. Si a b( mód. k), χ( a) = χ( b). 6. Para todo a primo rlativo co k, χ ( a) ua ϕ( ) éima raíz d la uidad complja. Eta propidad o importat: Por la propidad ), χ() = χ( ) = χ() χ(); puto qu l mcd (, k ) =, por la propidad ) tmo χ(), qu o llva a la propidad χ () =, qu la forma pricipal o trivial. La propidad ) y 4) o mutra qu cada caráctr compltamt multiplicativo, aí la propidad ) dic qu u caráctr priódico co priodo k ; dic qu χ u caráctr gú l mód. k. Si l mcd (, k ) =, por la fució Idicatriz d Eulr tmo a ϕ ( k ) ( k ) ( mód. k), por tato ( a ϕ ϕ ( k ) ϕ ( k ) χ ) χ() = y χ( a ) = χ( a). U caráctr llama ral i u valor o ral úicamt. Si l caráctr o ral, dic qu compljo. El igo d u caráctr χ dpd d u valor. Epcíficamt, dic qu χ impar i χ( ) = y par i χ( ) =, to χ( ) = i Par ( ) ( ) i Impar * Si Z u grupo multiplicativo dl ord ϕ ( ), y Z u ivro, dado u caráctr d Dirichlt χ Z *, poibl xtdrlo a N d mara qu a ua fució aritmética compltamt multiplicativa. E fcto, i χ : N C tmo χ( a) i (a,)= χ( a) = i (a,) > Sa χ : N C u caráctr d Dirichlt módulo, toc algua d u propidad o: I. χ( a) = χ( b), i a b( mód. ) II. χ( ab) = χ( a) χ( b), a, b N III. χ ( a) =, i ( a, ) > IV. χ ( a) =, i ( a, ) = 8

29 Rafal Parra Machío V. VI. a( mód. ) ϕ ( ) i a ( mód. ) χ( a) = i at( mód. ) ϕ( ) i χ = χ χ( a) = i χ χ χ ( mód. ) Si co mcd =, (, ) =, toc ( Z Z)* ( Z Z) * ( Z Z) * aí qu cada caráctr multiplicativo χ ( mód. ) producto χ χ d lo caractr multiplicativo χ ( mód. ) y χ ( mód. ), por lo qu quda tablcida la rlacio d ortogoalidad d lo grupo multiplicativo módulo. 5. Tabla A partir d lo coocimito qu tmo d lo grupo multiplicativo co módulo, vamo a procdr a calcular la fució χ dl caráctr d Dirichlt. Lo dato qu o rvirá d ba rá lo valor d: ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 5.. Tabla dl úmro ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G C { } E ϕ () = hay ϕ() caráctr( mód.). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () ya qu gra l grupo d uidad dl módulo. χ ( ) 5.. Tabla dl úmro ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G C {,} E ϕ () = hay ϕ() caráctr( mód.). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () ya qu gra l grupo d uidad módulo. χ ( ) χ ( ) - 9

30 Rafal Parra Machío 5.. Tabla dl úmro 4 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 4 C {,} E ϕ (4) = hay ϕ() caráctr( mód.4). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () ya qu gra l grupo d uidad módulo 4. χ ( ) χ ( ) Tabla dl úmro 5 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 5 4 C 4 4 {,,,4 } E ϕ (5) = 4 hay ϕ(5) 4 caráctr( mód.5). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () ya qu gra l grupo d uidad módulo 5. 4 χ ( ) χ ( ) i -i - χ ( ) - - χ ( ) 4 -i i Tabla dl úmro 6 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 6 C 5 {,5} E ϕ (6) = hay ϕ(6) caráctr( mód.6). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ (5) ya qu 5 gra l grupo d uidad módulo 6. 5 χ ( ) χ ( ) Tabla dl úmro 7 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 7 6 C 6 6 {,,, 4,5,6} E ϕ (7) = 6 hay ϕ(7) 6 caráctr( mód.7). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () ya qu gra l grupo d uidad módulo 7.

31 Rafal Parra Machío χ ( ) χ ( ) χ ( ) i i i i i i - i i χ ( ) χ ( ) 5 χ ( ) Tabla dl úmro 8 i i i i i i ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 8 C C 4,7 {,,5,7 } E ϕ (8) = 4 hay ϕ(8) 4 caráctr( mód.8). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () y χ (5) ya qu y 5 gra l grupo d uidad módulo χ ( ) χ ( ) - - χ ( ) - - χ ( ) Tabla dl úmro 9 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 9 6 i C 6 6 {,,4,5,7,8} E ϕ (9) = 6 hay ϕ(9) 6 caráctr( mód.9). Tga cuta qu χ dpd totalmt d χ () ya qu gra l grupo d uidad módulo χ ( ) χ ( ) i i i i i i i i - - i χ ( ) χ ( ) χ ( ) 5 i i χ ( ) 6 i i i i i i -

32 Rafal Parra Machío 5..9 Tabla dl úmro ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 4 C 4 4 {,,7,9 } 7 9 χ ( ) χ ( ) i -i - χ ( ) - - χ ( ) 4 -i i Tabla dl úmro ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G C C 4 5,7 {,5,7, } 5 7 χ ( ) χ ( ) - - χ ( ) - - χ ( ) Obrvar qu, ua d la propidad d ta tabla, qu la uma d fila y columa cro, alvo la primra fila corrpodit a χ ( ). 5.. Tabla dl úmro 4 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 4 6 C 6 6 {,,5,9,, } Lo valor d χ vi dtrmiado por i i i i / / / / ( ) {,( ), ( ),( ), ( ), } χ = =,,,,, 5 9 χ ( ) i χ ( ) i i i i i i - i χ ( ) χ ( ) χ ( ) 5 i i χ ( ) 6 i i i i i i -

33 Rafal Parra Machío 5.. Tabla dl úmro 8 ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 8 6 C {, 5, 7,,,7 } i i i i Si χ quivalt a {, ( ) /, ( ) /,( ) /,( ) /, },,,,,, i i + i + i,,,,,, cofccioar la tabla d caractr d Dirichlt. Si tmo cuta qu ua tructura como w = ( ) + i i / = =, w =, la tabla rqurida podría tr y χ ( ) χ ( ) w w w w - χ ( ) w w w w χ ( ) χ ( ) 5 w w w w χ ( ) 6 w w w w - Tambié podmo comprobar qu la uma d la raíc d la uidad val, lo qu o proporcioa ua comprobació fhacit d qu l valor d la tabla corrcto. 5.. Tabla dl úmro ( Z Z )* ϕ ( ) λ ( ) g G 6 Si l valor C C 6, {,, 4, 5,8,,,,6,7,9, } χ {,( ) /, ( ) /, ( ) /,,( ) /, ( ) /,,( ) /,( ) /, ( ) /, } i i i i i i i i quivalt a,,,,,,,,,,,, cofccioar la tabla d caractr d Dirichlt. i / + i Obrvar qu w = ( ) = =, ua tructura parcida a la dl apartado atrior. Por jmplo, para χ obtmo w =, por lo qu la tabla rqurida podría tr χ ( ) w w w w w - w w w - por lo qu ti iformació uficit para cofccioar la tabla rqurida.

34 Rafal Parra Machío BIBLIOGRAFÍA AIGNER y ZIEGLER, El Libro d la Dmotracio, ISBN: ALACA ad KENNETH, Itroductory Algbraic Numbr Thory, ISBN: ALEGRE ESPADA, Migul y otro, Problma obr fucio d variabl complja, ISBN: APOSTOL, Tom M., Itroducció a la Toría Aalítica d Númro, ISBN: AYRES, Frak Jr., Álgbra Modra, ISBN: CLAPHAM, Chritophr, Dictioary of Mathmatic Origially, ISBN: COHN, Harvy, Advacd Numbr Thory, ISBN: X COQUILLAT, Frado, Cálculo Itgral, ISBN: GALÁN,PADILLA y RODRÍGUEZ, Aálii Vctorial, ISBN: NATHANSON, Mlvy B., Elmtary Mthod i Numbr Thory, ISBN: SHIDLOVSKI,A.B., Aproximacio Diofática y Númro Tracdt, ISBN: SPIEGEL, Murray R., Variabl Complja, ISBN: X STOPPLE, Jffry, A Primr of Aalytic Numbr Thory, ISBN: ZALDÍVAR, Flip, Itroducció a la Toría d Grupo, ISBN: AYUDA INTERNET (Exclt trabajo d ivtigació obr la fució Gamma y u fucio grada dl profor Harold L. Marza) (Ord multiplicativo d u grupo) (Todo l abr obr Matmática ( iglé)) (Programa d Matmática grati, qu pud dcargar italar) (Trabajo dl profor Joé Darío Sáchz Hrádz, qu rcomdamo) (Grador d Caráctr d Dirichlt) (obr la fució Zta) (Programa toría d úmro) (Importat trabajo dl profor Frado Chamizo Lort). (Programa d matmática lía. Raliza todo tipo d opracio) 4