PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Siendo ln x el logaritmo neperiano de x, considera la unción :(, + ) deinida por ( x) = x lnx. Calcula: a) ( xdx ). b) Una primitiva de cuya gráica pase por el punto (,). MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Vamos a calcular la integral I = x lnx dx, que es una integral por partes. u = ln x; du = dx x x dv = x dx; v = x x x x 4 I = x lnxdx= lnx dx= lnx x + C b) Calculamos una primitiva que pase por el punto (,). = ln + C C = 4 4 Luego, la primitiva que nos piden es: x I = lnx x + 4 4

3 Halla el área del recinto rayado que aparece en la igura adjunta sabiendo que la parte curva x + tiene como ecuación y = x MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. x + 4 A = dx= + dx= [ x 4ln( x) ] = 4ln x x x A = ( x+ ) dx= + x = x A = ( x+ ) dx= x = El área pedida es: A= A+ A + A = 4ln + + = 4ln+

4 Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x y la recta y = regiones de igual área mediante una recta y = a. Hallar el valor de a. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. en dos Calculamos el área encerrada por la parábola y = x y la recta y =. x 4 Área = ( x ) dx = x u = = Calculamos los puntos de corte de la parábola y = x y la recta y a =. x = a x=± a a a x a a 4 = ( a x ) dx ax a a a a a = = = = 4

5 5x+ si x Sea : la unción deinida por: ( x) = x x+ si x> a) Esboza la gráica de. b) Calcula el área de la región limitada por la gráica de, el eje de abscisas y la recta x =. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) 5x x Área = (5x + ) dx + ( x x + ) dx = x x x u = + = 6

6 Sea : la unción dada por : a) Esboza la gráica de. b) Estudia la derivabilidad de. c) Calcula ( x) dx ( ) = x MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. x a) x si x< b) Abrimos la unción: ( x) = x + si x, la unción es continua en. x si x> x si x< Calculamos la unción derivada: '( x) = x si < x< x si x> '( ) = + '( ) '( ) + '( ) = ; '( ) = + '( ) '( ) + '( ) = Luego, la unción es derivable en {,}. c) x x 8 ( x) dx = ( x + ) dx + ( x ) dx = + x x + = =

7 a( x ) si < x Considera la unción : (, + ) deinida por: ( x) = x ln x si x > a) Determina el valor de a sabiendo que es derivable. b) Calcula ( x) dx MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO OPCIÓN B. a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego: lim a ( x ) = = = lim x ln x x + x lim lim Continua + = x x Calculamos la unción derivada: a si < x '( x) = ln x+ si x> '( ) = a a + = '( ) = b) x x ln x x 5 ( x) dx= ( x ) dx+ x lnxdx= x + ln ln 4 = + + = 4 4

8 Sea : la unción deinida por: ( x) = x 9x x. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. b) Determina los extremos relativos α y β de con α <β y calcula ( x) MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. β α dx a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. x = x x = x= x= '( ) 6 8 ; (, ) (, ) (, ) Signo y ' + Función D C D Máximo en (,5) ; mínimo en (, 4) b) 4 x 9x x 9 ( x 9x x) dx= = =

9 si x < Sea : la unción deinida por: ( x) = x a) Determina m sabiendo que es derivable. b) Calcula ( x) dx mx x si x MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO OPCIÓN A. a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego: lim = x lim = lim = lim x + x Continua + x x mx x = Calculamos la unción derivada: '( x) ( x) si x < = m x si x '( ) = m + = '( ) = m b) x x 7 ( x) dx = dx + ( + x x ) dx = [ ln( x) ] + x + = ln+ + = ln+ x 6

10 4x si x 6 Considera la unción :,4 [ ] deinida por: ( x) = si < x< ( x + ) 4 x si x 4 a) Esboza la gráica de. b) Halla el área del recinto limitado por la gráica de y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) x 4 (4 ) 4 4 ( x+ ) ( x ) + Área = x dx + dx + x dx = x + + x = + + = u

11 a) Dibuja el recinto limitado por la curva y = + cos x, los ejes de coordenadas y la recta x = π. b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) b) Vamos a calcular los puntos de corte de la unción y = + cos x y el eje de abscisas y = π + cos x= cos x= x= Por lo tanto, el área pedida será: π π π π x x cos π cos π A= + x dx+ x dx= + senx + senx = π π π π = + u = + 6 6

12 Calcula el área encerrada entre la curva y = x 4x y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular los puntos de corte de la unción Por lo tanto, el área pedida será: y x 4x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 4 = = ; = ; = = y el eje de abscisas y = 4 4 x x A= x 4x dx+ x + 4x dx= x x + + = 4 4 = = 8 u