PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A

2 Sea I d. a) Epresa I aplicando el cambio de variables t. b) Calcula el valor de I. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos los nuevos límites de integración: Si t Si t 5 t ; t dt ( t ) d 5 5 dt I ( t t ) dt dt d ; d t b) 5 5 t t ( ) 5 I t t dt

3 El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y e y a, con a, vale. a Calcula el valor de a. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. ) Calculamos los puntos de corte de las dos funciones y y 4 4 a a a a a a a a ) Vamos a ver en el intervalo (,a), que función va por encima y cuál por debajo a a 4 a Si y Debajo a a 4 a a a Si y a Encima ) Calculamos el área a a a ( a ) d a a a a a 9 a Como el enunciado nos dice que a, entonces a =.

4 e si Sea f la función definida por f( ) e si a) Estudia la derivabilidad de f en y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Estudiamos primero la continuidad e es continua y derivable en todo por ser suma de funciones continuas. e es continua y derivable en todo por ser producto de funciones continuas. Nos falta ver la continuidad en = lim e lim lim e e, luego, es continua en = lim e e si Calculamos f '( ) e ( ) si Veamos si eiste f '(),es decir, si f '( ) f '( ) f f '( ) '( ) Como f '( ) f '( ), eiste f '() b) Como nos piden el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta = solo interviene la rama función e puesto que f() = y para > la función e sube a. La e solo corta al eje OX en =, y para < está siempre debajo del eje OX, luego: Área e d Hacemos el cambio t d dt Para t Para t t t e Área e d e dt e u e

5 Sea f : la función definida por f( ) a si a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas y. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. si a) Como f es continua se tiene que cumplir que los limites laterales en sean iguales. a lim f ( ) lim a a lim f ( ) lim b) es una hipérbola (función de proporcionalidad inversa) que se dibuja en el II y IV cuadrante. Como sabemos tiene de asíntota horizontal y =, y de vertical =. es una parábola eactamente igual que OY. Un esbozo de su gráfica sería: pero desplazada una unidad hacia arriba en el eje c) El área limitada por OX y las rectas y es: A d ( ) d ln 6 ln u

6 a) Sea f : la función dada por 6 f ( ) a b. Halla los valores de a y b sabiendo f ( ) d 6 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa vale. b) Sea f : la función dada por f ( ) p q. Calcula los valores de p y q sabiendo que la función f tiene un etremo en 6 y su valor en él es. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) a 6a f ( ) d 6 ( a b) d b 6b 6 a b Si la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa vale, sabemos que f () = f '( ) a f '() 6a a Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos: a b 4 b b 5 Luego, la función pedida es: f ( ) 5 b) Etremo en 6 f '(6) p p Pasa por ( 6, ) f ( 6) 6 6 p q 6 7 q q 4 La función pedida es f ( ) 4

7 Calcula ( ) e d MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos por partes la integral que nos piden. e d e e d e e e d e C ( ) ( ) ( ) ( ) u ; du d dv e d; v e u ; du d dv e d; v e

8 Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f ( ) sen y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos R E S de O abscisas L U C I = Ó y N. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. La recta tangente en es y f () f '() ( ) f ( ) sen f () f '( ) cos f '() La recta tangente en es y ( ) y, que es la bisectriz del I y III cuadrante. La recta tangente en es y f ( ) f '( ) ( ) f ( ) sen f ( ) f '( ) cos f '( ) La recta tangente en es y ( ) y, que es la bisectriz del II y IV cuadrante, pero desplazada unidades hacia arriba en el eje OY. Un esbozo de la gráfica es: El área pedida es 8 ( sen ) d ( sen ) d cos cos u 4

9 Sea f :[,4] una función tal que su función derivada viene dada por si f '( ) 8 si 4 6 a) Determina la epresión de f sabiendo que f () b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Como es derivable en (,4) es continua en [,4] en particular es continua y derivable en =. C si Calculamos f ( ) 8 D si 4 Como 6 6 f () C C 5 Como es continua en =, tenemos: lim C C C 5 D 8 5 D D 7 lim 8 D 5 D Luego, la función es: 5 si f ( ) 8 7 si 4 b) La ecuación de la recta tangente en = es y f () f '() ( ) 6 f () 5 f '() Luego la recta tangente en = es 6 y ( ) y 4

10 Sean las funciones f y g : [, ], dadas por f ( ) y g( ), donde es un número real positivo fijo. Calcula R el E valor S O de L U C sabiendo I Ó N que el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Si igualamos las dos funciones, vemos que los puntos de corte son: ; 4 Tenemos que ver cuál de las dos funciones va por encima y cuál va por debajo. Para ello sustituimos un valor comprendido entre y, y vemos cuál tiene mayor valor. Para f ( ) 4 Para g( ) Por lo tanto, la función que va por encima es g( ). Luego el área vendrá dada por: A = d Como es un número positivo, entonces

11 Ln si Sea f : (,) la función definida por f ( ) Ln( ) si siendo Ln la función logaritmo neperiano. a) Estudia la derivabilidad de f en el punto =. b) Calcula '5 f ( ) d MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Vamos a estudiar primero la continuidad en =. ) f () ln ) ) lim f ( ) lim ln lim f( ) lim f ( ) lim ln( ) f () lim f ( ) Luego, la función es continua en =. Vamos a estudiar ahora la derivabilidad, para ello calculamos f '( ) si f '( ) si La función es derivable en = si f '( ) f '( ) b) f '( ) f '( ) f '( ) No derivable f '( ) '5 '5 ln ( ) d ln ( ) d ln ( ) ln ( ) ln '5 u ln( ); du d dv d; v

12 5 a) Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y e y. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. 5 a) La función y siempre es positiva (está por encima del eje de abscisas OX), tiene una asíntota horizontal que es la recta y y, además, f () 5. La función y es una parábola. Teniendo en cuenta lo anterior un esbozo de las gráficas es b) A d arc tg arc tg u

13 Calcula 5 6 a) d. 5 b) tg d, siendo tg la función tangente. ( ) ( ) MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Como el polinomio del numerador y del denominador tienen igual grado, lo primero que hacemos es dividir d 5d d 5 I 5 5 Calculamos las raíces del denominador: 5 5; 5 Descomponemos en fracciones simples: 5 A B A( 5) B( 5) ( 5)( 5) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores = 5 4 A; A 4 5 B ; B Con lo cual: 5 4 I d d d 4ln ln 5 Por lo tanto la solución es: d 5 4ln 5 ln 5 C b) Hacemos el cambio de variable t, con lo cual ( ) d dt. Sustituyendo, tenemos: ( ) ( ) ln cos ln cos( ) tg d tg t dt t C