Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 7 de abril de 08 hora y 5 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a, x + ay x + ( + a)y ay 7z (a + 6)z 6z a 3a + } 3a a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a. (,5 puntos) b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones. (0,75 puntos). Dada la ecuación matricial A X B + X. Se pide: a) Despeja correctamente X en la ecuación. (0.75 puntos) b) Si A ( a a a + a ) calcula todos los valores de a para que la matriz sea inversible. (0.75 puntos) c) Si a calcula A. (0,5 puntos) d) Calcula la matriz X, siendo A la matriz para a y B ( 6 ). (,5 puntos) 0 3. Si empleo todas las monedas que tengo de 50, de 0 y de 0 céntimos de euro, respectivamente, puedo comprar un objeto cuyo precio es.80 euros. El número total de monedas de 50 y de 0 triplica al número de monedas de 0. Además, se sabe que el número total de monedas de 50 y de 0 excede en unidades al número de monedas de 0. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (0,75 puntos) b) Cuántas monedas tengo de cada una de las clases señaladas? Resuelva por el método de Cramer o por el método de Gauss. (0,75 puntos)

2 5 6. Sea A y B puntos tales que OA ( ) y OB ( 0 ). 3 a) Calcule AB (0,5 puntos) b) Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por E ( por A y B. 0 ) y es paralela a la recta que pasa (0,5 puntos) c) Sean C y D puntos tales que ABCD, en ese orden, sea un rectángulo. Sabiendo que AD ( p ), calcule p. (0,5 puntos) d) Halle las coordenadas de C. (0,5 puntos) e) Halle el área del rectángulo ABCD. (0,5 puntos) f) Calcule el ángulo que forma AB con AC en grados, minutos y segundos. (0,5 puntos) 5. Sea u 3i + j+k y v mj + nk donde m, n R. Sabiendo que v es un vector unitario perpendicular a u, halle los posibles valores de m y n. (0,75 puntos)

3 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 9 DE º MATEMÁTICAS NM. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a, x + ay x + ( + a)y ay 7z (a + 6)z 6z a 3a + } 3a a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a. (,5 puntos) b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones. (0,75 puntos) c) Resuélvase el sistema en el caso a 3. (0,75 puntos) Solución. a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a. (,5 puntos) La matriz de coeficientes del sistema es: A ( a 7 ( + a) (a + 6) ) 0 a 6 Estudiamos su rango. Para ello calculamos su determinante: A 6 ( + a) 7a a (a + 6) + 6a 6 6a 7a + a + 6a + 6a a a 6 Igualamos a cero el determinante y resolvemos la ecuación para ver qué valores anulan al determinante. Para ello, aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: a a 6 0 a () ± () (+) (6) (+) + ± + + ± 5 + ± 5 { a a Por lo tanto, hacemos las siguientes consideraciones: Si a 3 y a entonces A 0. Entonces Rg(A) 3. Como Rg(A) Rg(A ) 3 entonces también ocurre que Rg(A ) 3. Por lo tanto, Rg(A) Rg(A ) 3 nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es Compatible Determinado y tiene una sola solución.

4 Si a 3, el sistema queda de la forma, x + 3y x + y 3y 7z 9z 6z 0 } 7 donde se observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3 y estudiando su matriz de coeficientes A ( ) Tenemos al menos un menor de orden con determinante no nulo, Mientras, en la matriz ampliada Por tanto, Rg(A). 3 7 A ( ) 7 Estudiamos el rango de la matriz a través los determinantes de orden tres que podríamos formar, Al encontrar un menor de orden tres con determinante distinto de cero, Rg(A ) 3. Como Rg(A) Rg(A ) 3 entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el Sistema es Incompatible y no tiene soluciones. Si a, el sistema queda de la forma, x y x y y 7z z 6z 9 5 } 8 donde se observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3 y estudiando su matriz de coeficientes A ( 7 ) 0 6 Tenemos al menos un menor de orden con determinante no nulo, + 0. Por tanto, Rg(A).

5 Sea ahora la matriz ampliada, 7 A ( ) 8 Estudiamos el rango de la matriz. Se observa que la cuarta columna es la suma de las columnas segunda y tercera. Por ello, el rango de la matriz depende exclusivamente del determinante de la matriz A. En ese caso, Rg(A ) Rg(A) Como Rg(A) Rg(A ) < nº incógnitas entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el Sistema es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones. En resumen: Si a +3 y a entonces el Sistema es Compatible Determinado y tiene una única solución. Si a +3 el sistema es Incompatible y no tiene soluciones. Si a el sistema es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones. b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones. (0,75 puntos) Por el apartado a) conocemos que el sistema es compatible indeterminado para a. x y x y y 7z z 6z 9 5 } 8 Como el determinante 0 podemos eliminar la tercera ecuación y convertir en parámetro a la incógnita z de tal modo que el nuevo sistema lineal a resolver es de la forma: x y 9 + 7z x y 5 + z } Aplicando el método de Cramer sobre el nuevo sistema, x y 9 + 7z 5 + z 9 + 7z 5 + z +9 7z 0 + 8z 5 + z + 9 7z + z 3z Por tanto, las soluciones quedan determinadas por las paramétricas: x + z y 3z z z con z R

6 . Dada la ecuación matricial A X B + X. Se pide: a) Despeja correctamente X en la ecuación. (0.75 puntos) b) Si A ( a a a + a ) calcula todos los valores de a para que la matriz sea inversible. (0.75 puntos) c) Si a calcula A. (0,5 puntos) 6 d) Calcula la matriz X, siendo A la matriz para a y B ( 0 ). (,5 puntos) Solución. a) Despeja correctamente X en la ecuación. (0.75 puntos) A X B + X A X X B (A I) X B (A I) (A I) X (A I) B I X (A I) B X (A I) B b) Si A ( a a a + a ) calcula todos los valores de a para que la matriz sea inversible. Una matriz cuadrada no es inversible cuando su determinante es nulo. Calculamos el determinante de A, Igualamos a cero y resolvemos, a a a + a a a a a a a 0 a ( + a) 0 { a 0 + a 0 a Por lo tanto, la matriz A es inversible cuando a R {, 0}. (0.75 puntos) c) Si a calcula A. (0,5 puntos) A ( 0 ) ( ) ( 0 0 ) 0 0

7 6 d) Calcula la matriz X, siendo A la matriz para a y B ( 0 ). (,5 puntos) Por el apartado a) sabemos que, X (A I) B Calculamos (A I). Para ello, ( A I ( ) ( ) ( 0 0 ) ) ( ) 0 0 Como(A I) adj(a I) t, calculamos el determinante de A I, A I La matriz traspuesta de A I será, La adjunta de la traspuesta será, (A I) t ( Adj(A I) t ( Y por lo tanto, la matriz inversa (A I) será, ) 0 0 ) 0 0 (A I) adj(a I) t A I 0 ( 0 ) 0 0 ( 0 / / / 0 ) 0 0 Por lo que la matriz X será, X (A I) B ( 0 / / 6 / 0 ) ( ) ( )

8 3. Si empleo todas las monedas que tengo de 50, de 0 y de 0 céntimos de euro, respectivamente, puedo comprar un objeto cuyo precio es.30 euros. El número total de monedas de 50 y de 0 triplica al número de monedas de 0. Además, se sabe que el número total de monedas de 50 y de 0 excede en unidades al número de monedas de 0. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (0,75 puntos) b) Cuántas monedas tengo de cada una de las clases señaladas? Resuelva por el método de Cramer o por el método de Gauss. (0,75 puntos) Solución. a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (0,75 puntos) Llamamos, x Número de monedas de 50 céntimos. y Número de monedas de 0 céntimos. z Número de monedas de 0 céntimos. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones: Si empleo todas las monedas que tengo de 50, de 0 y de 0 céntimos de euro, respectivamente, puedo comprar un objeto cuyo precio es.30 euros 50x + 0y + 0z 30 El número total de monedas de 50 y de 0 triplica al número de monedas de 0 x + y 3z Además, se sabe que el número total de monedas de 50 y de 0 excede en unidades al número de monedas de 0 x + z y + Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por: 50x + 0y x + y x y + 0z 3z + z 30 0 } 5x + y x + y x y + z 3z + z 3 0 } b) Cuántas monedas tengo de cada una de las clases señaladas? (0,75 puntos) Resolvemos el sistema por el método de Cramer, x

9 y 5 3 z Luego hay 3 monedas de 50 céntimos, 3 monedas de 0 céntimos y monedas de 0 céntimos Sea A y B puntos tales que OA ( ) y OB ( 0 ). 3 a) Calcule AB (0,5 puntos) b) Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por E ( por A y B. 0 ) y es paralela a la recta que pasa (0,5 puntos) c) Sean C y D puntos tales que ABCD en ese orden sea un rectángulo. Sabiendo que AD ( p ), calcule p. (0,5 puntos) d) Halle las coordenadas de C. (0,5 puntos) e) Halle el área del rectángulo ABCD. (0,5 puntos) f) Calcule el ángulo que forma AB con AC en grados, minutos y segundos. (0,5 puntos) Solución. a) Calcule AB (0,5 puntos) Utilizamos al punto O ( 0 0 ) para el cálculo, 0 5 AB AO + OB ( ) + ( 6 0 ) ( 3 )

10 b) Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por E ( 0 ) y es paralela a la recta que pasa por A y B. (0,5 puntos) Si es paralela a la recta que pasa por A y B entonces podemos utilizar a AB como vector director. En ese caso la ecuación vectorial pedida será, ( x y ) ( z 0 ) + t ( ) t R c) Sean C y D puntos tales que ABCD, en ese orden, sea un rectángulo. Sabiendo que AD ( p ), calcule p. (0,5 puntos) En tal caso, La disposición de los vértices del rectángulo debe ser tal y como muestra la figura ya que si C y D estuvieran intercambiados, habría infinitas soluciones. Los vectores AB y AD deben ser perpendiculares, y por lo tanto, su producto escalar debe ser cero. AB AD 0 + () p + 0 p p 6 p 3 p d) Halle las coordenadas de C. (0,5 puntos) Se tendrá que, En tal caso, AC AD + DC AD + AB ( 5 5 AC C A ( ) C ( ) ( 3 3 ) + ( 5 ) ( ) ) + ( ) C ( ) C e) Halle el área del rectángulo ABCD. (0,5 puntos) El área del rectángulo será, S base altura AB AD + () ,3 u

11 f) Calcule el ángulo que forma AB con AC en grados, minutos y segundos. (0,5 puntos) Utilizando el producto escalar, cosα AB AC AB AC cosα 5 + () () cosα 3 35 cosα 3 35 α arcos ( 3 ) , Sea u 3i + j+k y v mj + nk donde m, n R. Sabiendo que v es un vector unitario perpendicular a u, halle los posibles valores de m y n. (0,75 puntos) Solución. Dados los vectores u 3i + j+k (3,, ) v mj + nk (0, m, n) Al ser perpendiculares, su producto escalar es 0. Por lo tanto, u v m + n 0 m + n 0 Por otra parte, si el vector v es unitario, entonces su módulo es. En ese caso, Por lo tanto, resolvemos el sistema, v m + n m + n 0 m n m n m n m + n } (n) + n } n + n } n } m n n } m n m n n } n } m n n ± } m n ± } Por lo tanto, Si n + entonces m (+ ) Si n entonces m ( ) +

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