PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN

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1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instrucciones: a)duración: 1 hora y 3 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permite el usode calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Opción A Ejercicio 1.[2,5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula el valor de b y el valor de dicho límite. Resolución.- El límite nos daría la indeterminación cero dividido entre cero y teniendo en cuenta que tanto el numerador como el denominador son funciones continuas y derivables en un entorno de cero, podemos aplicar la regla de L Hôpitaly nos daría: lim lim 3 1 Para que el anterior límite sea finito la única posibilidad es que b=-1. Si 1 en el límite anterior podríamos aplicar la Regla del L Hôpital y el límite podría dar finito, en el caso contrario el límite daría infinito. Por tanto si 1 aplicamos la Regla del L Hôpital y el límite daría: lim lim 6 6 Aplicamos la Regla del L Hôpital nuevamente y el límite daría: lim Ejercicio 2. Sea : : las funcionesdefinidasmediante 2 y g(x)=x+4.

2 Matemáticas II (a) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. (b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. a) Estudiemos pues las inecuaciones 2 2 ; 2,,2 2, x =3> 1-2=-1< 9-6=3> 2 2 Entonces una tabla de valores para hacer la gráfica podría ser: 2 2 x y Los puntos de corte con el eje X son (,) y (2,). Por otro lado el punto (1,1) es el vértice de la parábola 2 Para dibujar la recta g(x)=x+4 tengamos en cuenta que corta al eje X en el punto (-4,) y al eje Y en el punto (,4). Para hallar los puntos de corte de las gráficas resolvemos el siguiente sistema: gx x En conclusión las funciones se cortan en el punto (4, f(4))=(4,8) y en el (-1,f(-1))=(-1,3)

3 b) Á Ejercicio 3. Sea (a) [,75 puntos] determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes. (b) [1 punto]estudia el Rango de M según los valores de m. (c) [,75 puntos]para m=1, calcula la inversa de M. (a) Para que los vectores sean independientes el determinante de M debe ser distinto de por tanto si 1 los vectores serían linealmente independientes. b) Si 1 entonces y por tanto Rango(M)= Si entonces ya que la 3ª fila es una combinación lineal de las dos primeras y Si 1 entonces ya que la 2ª fila es nula y (c) Para entonces existe la inversa.

4 Ejercicio 4.Sean r la recta que pasa por el punto (1,,) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s la rectas dadas por: 2 2 (a) [1 punto] Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. (b) [1,5 puntos] Calcula, para a=1, la distancia entre r y s. a) v(a,2a,1) r P(1,,) s w(1,2,a) Q(,-2,) 2 2 (a) 2 2, 2, 1,2, b),,

5 Matemáticas II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instrucciones: a)duración: 1 hora y 3 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permite el usode calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Opción B Ejercicio 1.. Sea:, 1 la función definida por 2 1 (a) [1 5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. (b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de fen el punto de abscisa x=. (a) Como f es derivable en todo su dominio será continua en x=. Por tanto: lim lim lim lim Entonces 2 Como f es derivable en todo su dominio será derivable en x=. Por tanto: entonces Luego 1; 2 2 Para determinar a y b resolvemos el sistema: (c) La recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x= será: : y sin más que sustituir obtendremos 2 1, es decir 2 La recta normal a f(x) en el punto de abscisa x= será: y sin más que sustituir obtendremos 2, es decir 2 Ejercicio 2. Sea: la función definida por 1(donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

6 2 1 Aplicamos partes, llamando entonces: Como G()= entonces Luego: Ejercicio 3. Sea (a) [1,5 puntos] Comprueba que 2 y calcula. (b) [1 punto] Calcula y su inversa. (a) Como 2 (b) Ejercicio 4.Considera los puntos P(2,3,1) y Q(,1,1). a) [1,75 puntos] Halla la ecuación del plano respecto del cual P y Q son simétricos. b) [,75 puntos] Calcula la distancia de P a. P(2,3,1) M Q(,1,1)

7 a) M es el punto medio del segmento PQ por tanto,, 1,2,1. El vector 2 1,3 2,1 1 1,1, es un vector perpendicular a, entonces: Por otro lado M es un punto del plano, por tanto: 1+2+d=, es decir d=-3. Luego b), 2 u. 3

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN. Opción A

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