LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

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1 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO Descúbrelos con GeoGebra Construye un triángulo cualquiera. Nombra sus vértices A, B y C. MEDIATRICES La mediatriz de un segmento es Llamaremos mediatrices en un triángulo a las mediatrices de sus lados. 1. Traza la mediatriz del lado a y del lado b. 2. Pinta las mediatrices construidas de color azul. 3. Determina la intersección de ambas mediatrices. 4. Nómbrala O. 5. Traza la mediatriz del lado c. 6. Píntala de color azul. 7. Qué observas? 8. Obtiene otros triángulos moviendo los vértices del triángulo que ya tienes. 9. Lo observado anteriormente, es válido para cualquier triángulo?

2 Las tres mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado CIRCUNCENTRO. 10. Continúa moviendo los vértices del triángulo, Cuáles son las posibles posiciones del circuncentro respecto al triángulo? TIPO DE TRIÁNGULO Acutángulo Rectángulo Obtusángulo POSICIÓN DEL CIRCUNCENTRO 11. Oculta las mediatrices del triángulo. 12. Traza la circunferencia de centro O y radio. 13. Qué observas? Los tres vértices de un triángulo pertenecen a una circunferencia denominada CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA al triángulo, cuyo centro es el circuncentro. 14. Oculta la circunferencia circunscrita.

3 BISECTRICES La bisectriz de un ángulo es Llamaremos bisectrices en un triángulo a las bisectrices de sus ángulos interiores. 1. Traza la bisectriz del ángulo y del ángulo. 2. Pinta las bisectrices construidas de color amarillo. 3. Determina la intersección de ambas bisectrices. 4. Nómbrala I. 5. Traza la bisectriz del ángulo. 6. Píntala de color amarillo. 7. Qué observas? 8. Obtiene otros triángulos moviendo los vértices del triángulo que ya tienes. 9. Lo observado anteriormente, es válido para cualquier triángulo?

4 Las tres bisectrices de un triángulo concurren en un punto llamado INCENTRO. 10. Continúa moviendo los vértices del triángulo, Cuáles son las posibles posiciones del incentro respecto al triángulo? TIPO DE TRIÁNGULO Acutángulo Rectángulo Obtusángulo POSICIÓN DEL INCENTRO 11. Oculta las bisectrices del triángulo. 12. Traza un segmento perpendicular uno de los lados del triángulo. 13. Traza la circunferencia de centro I y radio. 14. Qué observas? Los tres lados de un triángulo son tangentes a una circunferencia denominada CIRCUNFERENCIA INSCRITA al triángulo, cuyo centro es el incentro. 15. Oculta la circunferencia inscrita y el segmento.

5 ALTURAS Llamaremos alturas de un triángulo a los segmentos que tienen por extremos un vértice y un punto del lado opuesto y son perpendiculares a éste. 1. Traza la recta que contiene a la altura h A y la recta que contiene a la altura h B. 2. Pinta las rectas construidas de color rojo. 3. Determina la intersección de ambas rectas. 4. Nómbrala H. 5. Traza la recta que contiene a la altura h C. 6. Píntala de color rojo. 7. Qué observas? 8. Obtiene otros triángulos moviendo los vértices del triángulo que ya tienes. 9. Lo observado anteriormente, es válido para cualquier triángulo?

6 Las tres rectas que contienen a las alturas de un triángulo concurren en un punto llamado ORTOCENTRO. 10. Continúa moviendo los vértices del triángulo, Cuáles son las posibles posiciones del ortocentro respecto al triángulo? TIPO DE TRIÁNGULO Acutángulo Rectángulo Obtusángulo POSICIÓN DEL ORTOCENTRO 11. Oculta las rectas que contienen a las alturas del triángulo.

7 MEDIANAS Llamaremos medianas de un triángulo a los segmentos que tienen por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. 1. Traza la mediana A y la mediana B. 2. Pinta las medianas construidas de color verde. 3. Determina la intersección de ambas medianas. 4. Nómbrala G. 5. Traza la mediana C. 6. Píntala de color verde. 7. Qué observas? 8. Obtiene otros triángulos moviendo los vértices del triángulo que ya tienes. 9. Lo observado anteriormente, es válido para cualquier triángulo?

8 Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto llamado BARICENTRO. 10. Continúa moviendo los vértices del triángulo, Cuáles son las posibles posiciones del baricentro respecto al triángulo? TIPO DE TRIÁNGULO Acutángulo Rectángulo Obtusángulo POSICIÓN DEL BARICENTRO 11. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos. Mide la distancia del baricentro al vértice y luego al punto medio correspondiente. Distancia de G al vértice Distancia de G al punto medio = A = = B = = C = 12. Qué observas? Hay alguna relación entre estas medidas? 13. Comprueba esta relación en otros triángulos, moviendo los vértices del triángulo que ya tienes. 14. Cómo harías para determinar el baricentro de un triángulo cualquiera construyendo sólo una mediana? 15. Oculta las medianas del triángulo.

9 RECTA DE EULER El circuncentro, el baricentro y el ortocentro están siempre alineados. La recta a la cual pertenecen estos tres puntos se denomina RECTA DE EULER. 1. Traza la recta de Euler. 2. Píntala de color negro. 3. El baricentro se encuentra entre el circuncentro y el ortocentro. Mide la distancia del ortocentro al baricentro y la distancia del baricentro al circuncentro en distintos triángulos. Distancia de H a G Distancia de G a O TRIÁNGULO 1 = = TRIÁNGULO 2 = = TRIÁNGULO 3 = = 4. Hay alguna relación entre estas distancias? 5. Moviendo los vértices del triángulo, intenta conseguir que los cuatro puntos notables estén alineados. En qué triángulos ocurre esto?