PROPUESTA A. 1 + x2 c) Demuestra que la función f(x) anterior y g(x) = 2x 1 se cortan al menos en un punto. (1 punto)

Transcripción

1 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos) b) Se puede aplicar dicho teorema a la función f(x) = 1 en algún intervalo? (1 punto) 1 + x2 c) Demuestra que la función f(x) anterior y g(x) = 2x 1 se cortan al menos en un punto. (1 punto) 2A. a) Representa gráficamente las parábolas f(x) = x 2 3x 1 y g(x) = x 2 + x + 5. (0,5 puntos) b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas. (2 puntos) 3A. a) Clasifica en función del parámetro k R el sistema de ecuaciones kx + y + z = k x + ky + z = k x + y + kz = k b) Resuélvelo, si es posible, para k = 1. (1 punto) (1,5 puntos) 4A. a) Estudia la posición relativa de la recta r general π 2x y + 3z = 6. (1,5 puntos) x = λ y = 0 z = 1 + λ, λ R, y el plano de ecuación b) Encuentra la ecuación general de un plano π perpendicular a π que contenga a r. (1 punto) (sigue a la vuelta)

2 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. PROPUESTA B 1B. La velocidad de una partícula, medida en m/sg, está determinada en función del tiempo t 0, medido en segundos, por la expresión v(t) = (t 2 + 2t)e t. Se pide: a) En qué instante de tiempo del intervalo [0, 3] se alcanza la velocidad máxima? (1,25 puntos) b) Calcula lím t v(t), e interpreta el resultado obtenido. (1,25 puntos) 2B. Calcula la integral indefinida: cos x 1 + sen 2 x dx. (Nota: Puedes probar el cambio de variable y = sen x) (2,5 puntos) ( ) ( ) a 3 3B. Consideremos las matrices A = y B =. Determina los valores 0 1 b + 2 c a, b, c R de forma que se cumpla que el determinante de la matriz B sea igual a 8, y además se verifique que A B = B A. (2,5 puntos) 4B. Dado el plano π x + z = 4 y el punto P (1, 1, 0), se pide: a) Encuentra la ecuación general del plano π paralelo a π que pasa por P. (1,25 puntos) b) Halla unas ecuaciones paramétricas de la recta r perpendicular a π que pasa por P. (1,25 puntos)

3 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. a) Definición de derivada de una función en un punto. (0,5 puntos) ax + sen x si x < 0 2x x 2 b) Dada la función f(x) = bx + c si 0 x < 1, determina los parámetros a, b, c R 1 si x x para que f(x) sea una función continua en x = 0, y además sea continua y derivable en x = 1. (2 puntos) 2A. a) Determina el dominio de la función f(x) = 2x + 1. (1 punto) b) Calcula la integral definida: f(x) dx. (1,5 puntos) 3A. Dadas las matrices M = λ λ λ y F = , se pide: a) Para qué valores λ R existe la matriz inversa de M? (1 punto) b) Para λ = 0 resuelve, si es posible, la ecuación X M = 2F, donde X es una matriz cuadrada de orden 3. (1,5 puntos) 4A. Dado el punto P (0, 0, 1) y la recta r { x + y + z = 3 x y = 0, se pide: a) Calcula la distancia desde el punto P a la recta r. (1,25 puntos) b) Halla unas ecuaciones paramétricas de una recta s que pase por el punto P y corte perpendicularmente a la recta r. (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)

4 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. PROPUESTA B 1B. Dada la función definida por f(x) = 3x x x 6, se pide: a) Halla su expresión polinómica simplificada calculando el determinante. (0,5 puntos) b) Calcula las coordenadas de su punto de inflexión y los intervalos en donde sea cóncava hacia arriba ( ) y cóncava hacia abajo ( ). (2 puntos) 2B. a) Enuncia la fórmula de integración por partes. (0,5 puntos) b) Calcula la integral indefinida: x Ln x dx. Nota: Ln x representa el logaritmo neperiano de x. (2 puntos) 3B. a) Clasifica en función del parámetro λ R el sistema de ecuaciones 2x + y + λz = 0 x 2y + z = 0 x + 3y + z = 10 b) Resuélvelo, si es posible, para λ = 3. (1 punto) (1,5 puntos) 4B. Consideremos los planos π ax + by + 3z = c, π 2x y + z = 3 y la recta { 2x + 3z = 0 r y + 2z = 4 a) Determina los parámetros a, b R para que los planos π y π sean paralelos. (1 punto) b) Para los valores a y b obtenidos, estudia la posición relativa del plano π y la recta r en función de c R. (1,5 puntos)

5 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. Dada la función f(x) = 3x 3 36x + 2, se pide: a) Determina las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. (1 punto) b) Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange. Analiza si es posible aplicarlo a la función f(x) en el intervalo [ 2, 2] y, en caso afirmativo, calcula en qué puntos se verifica la tesis del teorema en dicho intervalo. (1,5 puntos) 2A. a) Dado un número real a > 0, calcula el área del recinto encerrado entre la gráfica de la función f(x) = 1, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = a + 1. (1,5 puntos) x2 b) Explica razonadamente que cuando a tiende a, dicho área tiende a cero. (1 punto) 3A. a) Clasifica en función del parámetro k R el sistema de ecuaciones x + 100y z = 100 x 100y + 2z = 0 x + 300y + kz = 200 (1,5 puntos) b) Resuélvelo en el caso en que sea compatible indeterminado. (1 punto) { 4A. a) Comprueba que las direcciones de las rectas r λ R, son perpendiculares. (1 punto) x = 0 y + z = 1 y r x = 1 + 2λ y = 2 + λ z = λ, b) Halla la ecuación general de un plano π que contenga a la recta r y sea paralelo a r. (1,5 puntos) (sigue a la vuelta)

6 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. PROPUESTA B 1B. El espacio recorrido por una partícula, medido en metros, está determinado en función del tiempo t 0, medido en segundos, por la expresión e(t) = A t 2 + B Ln(t + 1) + C. Se pide: a) Determina los coeficientes A, B, C R sabiendo que en el instante t = 0 la partícula ha recorrido 6 m, la velocidad inicial para t = 0 es de 8 m/sg y que la aceleración cuando t = 1 segundo es de 2 m/sg 2. (1,5 puntos) e(t) b) Para los valores obtenidos de A, B y C, calcula lím. (1 punto) t t 2 (Nota: Ln(t + 1) representa el logaritmo neperiano de t + 1. Recuerda además que la velocidad es la derivada primera del espacio respecto del tiempo y la aceleración la derivada segunda. ) 2B. Calcula la integral indefinida: 1 dx. (2,5 puntos) x 3 + x2 3B. a) Despeja X en la ecuación matricial X A = B 2X, donde A, B y X son matrices cuadradas de orden 3. (1,25 puntos) b) Calcula la matriz X siendo A = y B = (1,25 puntos) 4B. Calcula los parámetros a, b, c R de la ecuación del plano π ax + y + bz = c, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, es perpendicular al plano de ecuación π x+2y = 3 y que contiene a la recta de ecuaciones x = 1 + λ r y = 1 + λ, λ R. z = 1 + λ (2,5 puntos)

7 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A ( x ) 1A. Dada la función f(x) = arctg 1 definida para x 1, se pide: a) Calcula y simplifica f (x). (1,5 puntos) b) Explica razonadamente por qué en ningún punto de la gráfica de la función f(x) la recta tangente es horizontal. (1 punto) 2A. Calcula a R, siendo a > 0, para que el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = 6x 2, el eje de abscisas y la recta x = a sea igual a 2000 u 2. (2,5 puntos) 3A. Dadas las matrices M = y N = , se pide: a) Estudia para qué valores de λ R el rango de la matriz M λn es igual a 3. (1,25 puntos) b) Resuelve el sistema de ecuaciones: de orden 3. (1,25 puntos) { 3X + Y = M X + Y = N, donde X e Y son matrices cuadradas 4A. Dado el plano de ecuación general π 2x + ay z = 4, se pide: a) Determina, si es posible, un valor del parámetro a R de modo que el plano π sea paralelo al plano de ecuación π x + y + z = 2. (1,25 puntos) b) Determina, si es posible, un valor del parámetro a R de modo que el plano π sea paralelo a la x = 1 λ recta r y = 2λ, λ R. (1,25 puntos) z = 2 + λ (sigue a la vuelta)

8 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. G. S. E. PROPUESTA B 1B. Determina los valores de los parámetros a, b, c R de forma que la función f(x) = ax 2 + bx + c cumpla que pasa por el punto de coordenadas (3, 10) y tiene un extremo relativo en el punto de coordenadas (1, 2). (2,5 puntos) 2B. Calcula la integral indefinida: x + 2 x + 1 dx. (Nota: Puedes probar el cambio de variable y = x + 1) (2,5 puntos) 3B. Sabiendo que a) 3x 3y 3z x y z = 10, obtén el valor de los siguientes determinantes: b) y x z c) x + 1 y + 1 z (0,75 puntos el apartado a), 0,75 puntos el apartado b) y 1 punto el apartado c)). x = 2 λ 4B. Dadas las rectas r y = 2 λ z = 2 + λ λ R y r x = 2 + µ y = 2 µ z = 4 + µ µ R, se pide: a) Comprueba que las dos rectas se cortan en un punto calculando dicho punto de corte. (1,5 puntos) b) Determina el ángulo de corte entre ambas rectas. (1 punto)

9 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. Dada la función f(x) = 4x2 + 3x + 4, se pide: 2x a) Calcula las asíntotas verticales y oblícuas de f(x). (1,25 puntos) b) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x). (1,25 puntos) 2A. Calcula las siguientes integrales: a) (cos(2x) + sen x cos x) dx. (1,25 puntos) b) x 3 1 dx. (1,25 puntos) x + 2 ( ) ( ) A. Dadas las matrices A = y B =, se pide: { 2X + 3Y = A a) Resuelve el sistema matricial. (1,25 puntos) X + Y = B b) Encuentra una fórmula general para B n, donde n N. (Indicación: Calcula las primeras potencias de la matriz B) (1,25 puntos) x = 1 + at 4A. Consideremos el plano π x z = 0 y la recta r y = 1 t z = 2t, t R. a) Determina el parámetro a R para que la recta r y el plano π sean paralelos. (1,25 puntos) b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r paralela al plano π y que corte perpendicularmente a r en el punto P (1, 1, 0). (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)

10 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. PROPUESTA B 1B. En cierto experimento la cantidad de agua en estado líquido C(t), medida en litros, está determinada en función del tiempo t, medido en horas, por la expresión: C(t) = t + 3 t + 240, t [1, 10] t3 Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre t = 1 hora y t = 10 horas. (2,5 puntos) 2B. a) Representa gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de las funciones f(x) = 1 x y g(x) = 1, y la recta x = 2. (0,5 puntos) x2 b) Calcula el área de dicha región. (2 puntos) 3B. a) Clasifica, en función del parámetro λ R, el sistema de ecuaciones λx + 2y z = λ 3x y z = 1 5x + y 2z = 3 (1,5 puntos) b) Resuélvelo, si es posible, para λ = 2. (1 punto) 4B. Dados los puntos de coordenadas A(0, 1, 0), B(1, 2, 3), C(0, 2, 1) y D(k, 1, 1), donde k R: a) Determina el área del triángulo de vértices A, B y C. (1 punto) b) Para qué valores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D tiene un volumen de 5 u 3? (1,5 puntos)

11 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. a) Determina el valor del parámetro a R, para que la función f(x) = (x a)e x tenga un mínimo relativo en x = 0. Razona que, de hecho, es un mínimo absoluto. (1,25 puntos) b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). (1,25 puntos) 2A. Calcula la integral x 2 3x + 1 dx. (2,5 puntos) x 3 5x 2 + 8x 4 3A. Dadas las matrices A = k 1 4 k 0 5k 1, X = x y z y O = se pide: a) Calcula en función del parámetro k R el rango de la matriz A. (1 punto) b) Existe algún valor de k R para el cual el sistema A X = O sea incompatible? (0,75 puntos) c) Para qué valores de k R el sistema A X = O es compatible indeterminado? (0,75 puntos) 4A. Dadas las rectas r { x y = 1 y + z = 1 y s a) Determina su posición relativa. (1,25 puntos) x = t y = 1 t z = t, t R, se pide: b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección. (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)

12 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. PROPUESTA B 1B. a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra que la ecuación e x + x 7 = 0 tiene al menos una solución real. (0,75 puntos) c) Demuestra que, de hecho, dicha solución es única. (0,75 puntos) 2B. Sean las funciones f(x) = x 2 y g(x) = a, con a R, a > 0. Calcula el valor del parámetro a para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) y g(x) sea (2,5 puntos) 3B. a) Clasifica, en función del parámetro m R, el sistema de ecuaciones x y + z = 1 2x 3y = 1 x + 2y + mz = m + 3 b) Resuélvelo, si es posible, para m = 7. (1 punto) (1,5 puntos) 4B. Consideremos el plano π x ky = 0, y la recta r { x + y z = 3 x y = 1 a) Halla el valor del parámetro k R para que el plano π y la recta r sean paralelos. (1,5 puntos) b) Para el valor de k obtenido, calcula la distancia desde la recta r al plano π. (1 punto)

13 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. a) Definición de función continua en un punto. (0,5 puntos) b) Determina el valor del parámetro a R para que la función ax 2 si x 3 f(x) = x si x > 3 x 3 sea continua en x = 3. (2 puntos) 2A. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) b) 1 + 8x dx. (1,25 puntos) 1 + x2 (x 2 + x) cos x dx. (1,25 puntos) 3A. He pensado en tres números, de manera que la suma de los dos primeros es igual al tercero. Si al triple del primer número le resto el doble del segundo vuelvo a obtener el tercero. Si al doble del primero le resto la mitad del segundo también obtengo el tercero. Por último, si al doble del primero le resto el segundo y sumo uno, de nuevo vuelvo a obtener el tercer número. a) Plantea un sistema de ecuaciones que recoja la información anterior y clasifícalo. (1,5 puntos) b) Determina, si el problema tiene solución, los tres números que he pensado. (1 punto) x = 1 at 4A. Consideremos las rectas r y = b + t z = 2t, con t R, y s x 2 = y 2 1 = z a) Determina los parámetros a, b R para que las dos rectas se corten perpendicularmente en un punto. (1,5 puntos) b) Calcula, para los valores de los parámetros obtenidos en el apartado anterior, las coordenadas del punto de corte. (1 punto) (sigue a la vuelta)

14 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. PROPUESTA B 1B. Calcula los siguientes límites a) lím x 1 + ( 2x + 1 x + 2 ) 1 x 1 b) lím x 0 sen x x cos x 2x 3 (1,25 puntos) (1,25 puntos) 2B. a) Representa gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x 2, g(x) = 1 x, el eje de abscisas y la recta x = e. (0,5 puntos) b) Calcula el área de dicha región. (2 puntos) ( ) 1 0 k 3B. Consideremos la matriz A =, con k R. Demuestra que el rango de la matriz 0 k 1 A A t es siempre igual al rango de la matriz A t A, cualquiera que sea el valor de k. (Recuerda que A t representa la matriz transpuesta de la matriz A) (2,5 puntos) { x + y + z = 0 4B. a) Dada la recta r y el punto P (0, 1, 0), obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r que pase por el punto P y corte perpendicularmente a r. (1,25 puntos) 2y z = 1 b) Encuentra las coordenadas del punto P simétrico de P respecto de la recta r. (1,25 puntos)

15 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. PROPUESTA A 1A. Determina el valor del parámetro a R, a > 1, de forma que el área del triángulo de vértices a A(0, 0), B(0, a) y C(, 0) sea mínima. (2,5 puntos) a 1 2A. Calcula las siguientes integrales: a) x ln(x) dx. (Indicación: ln(x) representa el logaritmo neperiano de x). (1,25 puntos) x b) 1 + dx. (1,25 puntos) x 3A. a) Despeja X de la ecuación matricial X B I = X A + A, donde X, B, A e I son matrices de tipo 3 3. (1,25 puntos) b) Calcula la matriz X de tamaño 3 3, solución de la ecuación, siendo A = B = e I = (1,25 puntos) , 4A. a) Analiza, en función del parámetro m R, la posición relativa de los planos π 1 2x y+z = 0, π 2 y + z = m y π 3 mx + y z = 8. (1,25 puntos) b) Razona que, independientemente del valor del parámetro m, los planos π 2 y π 3 son perpendiculares. (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)

16 ... Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E. PROPUESTA B 1B. Dada la función f(x) = x2, se pide: 2 x a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1,25 puntos) b) Asíntotas verticales y oblícuas. (1,25 puntos) 2B. a) Representa gráficamente la región encerrada por las gráficas de las funciones f(x) = x 2 2x 2 y g(x) = x 2 + 2x 2. (0,5 puntos) b) Calcula el área de dicha región. (2 puntos) 3B. a) Enuncia el teorema de Rouché-Fröbenius. (0,5 puntos) b) Considera el sistema A X = B, donde A es una matriz 3 4, X = con una sola columna. De qué dimensiones es la matriz B? (0,50 puntos) c) Puede el sistema ser compatible determinado? (0,75 puntos) x y z t y B es una matriz d) Si el sistema es incompatible y el rango de la matriz A es dos, cuál es el rango de la matriz ampliada (A B)? (0,75 puntos) 4B. Dados los puntos P (1, 1, 2) y Q(1, 1, 0), y la recta r { x + 2y = 1 y + z = 0, se pide: a) Ecuación general del plano π que contiene al punto P y a la recta r. (1,25 punto) b) Halla la distancia desde el punto medio de los puntos P y Q al plano π calculado en el apartado anterior. (1,25 puntos)

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