ESTIMACIÓN DEL TOTAL DE HOGARES CON NECESIDADES BÁSICAS INSATISFECHAS EN LA CIUDAD DE ROSARIO UTILIZANDO MODELO DE SEMIVARIOGRAMA

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1 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de 013. Borra, Vrgna Laura Pagura, José Alberto Insttuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas de la Escuela de Estadístca ESTIMACIÓN DEL TOTAL DE HOGARES CON NECESIDADES BÁSICAS INSATISFECHAS EN LA CIUDAD DE ROSARIO UTILIZANDO MODELO DE SEMIVARIOGRAMA 1-INTRODUCCIÓN El enfoque basado en la predccón o en modelos ha resultado de suma utldad en el muestreo en poblacones fntas, proporconando un soporte metodológco que permte la ncorporacón de nformacón auxlar con el fn de mejorar la precsón de las estmacones. Bajo este enfoque, la poblacón fnta se consdera una muestra de una poblacón nfnta o superpoblacón que sgue un determnado modelo estadístco. Las nferencas en la poblacón fnta bajo este enfoque se realzan estmando los parámetros del modelo, con la nformacón proporconada por la muestra, para luego, empleando dcho modelo estmado, obtener una predccón del valor poblaconal de nterés en la poblacón fnta, consderado una cantdad aleatora. Este enfoque tene como nconvenente, frente al tradconal enfoque de dseño, la dependenca de la correcta especfcacón del modelo superpoblaconal, pero, a la vez, es muy útl a la hora de ncorporar nformacón auxlar. La mayor utldad de esta aproxmacón es el conjunto de posbldades que brnda en la ncorporacón de nformacón auxlar permtendo en algunos casos encontrar un predctor lneal nsesgado y óptmo (PLIO), para luego utlzarlo con el enfoque de dseño o bajo el enfoque de modelos y estmar sus errores con las herramentas brndadas por dcha aproxmacón. Cuando las undades de una poblacón a muestrear se encuentran ubcadas en el espaco, podría suceder que exstese un agrupamento de las msmas en cuanto a los valores de una varable de nterés, hecho que puede ser aprovechado con el uso de las herramentas dadas por la aproxmacón basada en la predccón. En este trabajo se presenta una aplcacón de dcho enfoque tenendo en cuenta la varabldad espacal reflejada en un modelo de semvarograma con la fnaldad de mostrar la mejora en la precsón de las estmacones del total de hogares con necesdades báscas nsatsfechas (NBI) en Rosaro. El estudo tene como objetvo mostrar la factbldad y buenos resultados que puede brndar esta metodología y se realza con una muestra de rados de una poblacón fnta conocda como lo es la de número de hogares con NBI en cada rado censal de la cudad de Rosaro según el Censo Naconal de Poblacón, Hogares y Vvendas de 001. En la seccón, se presentan los fundamentos de la metodología propuesta. Luego, en el sguente apartado se muestra la exstenca de varabldad espacal a través de un breve análss exploratoro utlzando los datos de toda la poblacón. Los resultados empleados para la comparacón de los métodos de estmacón provenen de una muestra aleatora smple. La seccón 4 contene la estmacón del semvarograma utlzado para modelar la varabldad espacal, a partr de la muestra selecconada. Por últmo, se compara la precsón estmada con las obtendas usando otros modelos correspondentes a algunos planes de muestreo usuales. La seccón 6 se ha destnado a la presentacón de los comentaros fnales.

2 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de APROXIMACIÓN BASADA EN LA PREDICCIÓN El enfoque que tradconalmente se emplea en el muestreo de poblacones fntas se conoce como basado en el dseño y consste en defnr un método probablístco de seleccón de la muestra y un procedmento para estmar un valor poblaconal. El análss del comportamento del estmador se realza en base a la dstrbucón del msmo obtenda a través de todas las muestras posbles y tene en cuenta muy pocos supuestos, lo que lo converte en un procedmento muy sóldo y útl para llevarlo a la práctca. Por otra parte, el desarrollo del enfoque de modelos ha contrbudo a la teoría del muestro en poblacones fntas de varas formas. Entre ellas pueden dstngurse la ncorporacón de nformacón auxlar ntegrándola en un modelo estadístco, la posbldad de reflejar en el modelo los dferentes métodos de seleccón, y la estmacón en pequeñas áreas. Bajo este enfoque, la poblacón fnta es una muestra de una poblacón nfnta llamada tambén superpoblacón. La muestra es a su vez una submuestra de la poblacón fnta Las nferencas se basan en el planteamento de un modelo superpoblaconal que tenga en cuenta o no la autocorrelacón de las undades para luego estmar sus parámetros con los datos de la muestra y obtener las predccones de los valores poblaconales de nterés. Las propedades de los predctores se estudan consderando el modelo postulado. Para formalzar el enfoque de modelos, a contnuacón se presentan las sguentes defncones: Sean Y n : vector de datos observados en la muestra YN n: vector de datos de la poblacón para undades no ncludas en la muestra X N,p : matrz de datos para la poblacón de p-1 varables auxlares El Predctor Lneal Insesgado y Óptmo (PLIO) del total es: Yˆ 1 Y 1 Yˆ n n Nn Nn donde Ŷ se predce por medo del modelo lneal y 0 1x 1,... p 1xp1, N n E( ) 0 s ; `) C(dst(s ;s )) C s ` ;`. El estmador lneal de los parámetros del modelo ( 0; 1;...; p 1) es: donde ˆ (X V X ) (X V Y ) n,p n,p n,p n Var( ˆ ) (X V X ) 1 1 n,p n,p V es la matrz de covarancas para las n undades en la muestra.

3 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de 013. El Predctor lneal nsesgado y óptmo (PLIO) es: ˆ 1 Ŷ ˆ Nn XNn,p VN V (Yn X n,p). Por lo tanto el PLIO de Ŷ es ˆ 1 Ŷ 1n Yn 1 ˆ Nn XNn,p VN V (Yn X n,p). El error cuadrátco medo de la predccón es: ˆ 1 ECM(Y) ˆ E Y Y 1 X X V W 1 Nn Nn,p Nn,p p,p Nn,p Nn,p Nn,Nn Nn,Nn Nn donde VN es la matrz de covarancas entre los n elementos ncludos en la muestra y los N-n elementos no ncludos en la muestra, V V X 1 Nn,p N n,p X V X 1 p,p n,p n,p W V V V 1 Nn,Nn N N,,. A contnuacón se presentan algunos casos partculares en los que se trabaja con una únca varable aleatora. a) Modelo sn varable auxlar: Homocedástco y sn autocorrelacón Modelo: y 0 E( ) 0 s ; `) 0 s b) Modelo de regresón: Homocedástco y sn autocorrelacón Modelo: y 0 1x E( ) 0 s ; `) 0 s c) Modelo de regresón: Heterocedástco y sn autocorrelacón Modelo: y 1x E( ) 0 s ; `) 0 s Suponendo que la matrz de varancas y covarancas es de la forma es una matrz defnda postva y conocda. V, donde

4 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de 013. d) Modelo de regresón con autocorrelacón: Varograma y correlograma Modelo: y 0 1x E( ) 0 ; ) s `, s donde, es el valor del semvarograma para las undades e `. Las estmacones de y de, se obtenen a partr del modelo de semvarograma ajustado a los datos. 3-ANÁLISIS EXPLORATORIO A contnuacón, se presenta un mapa de coropletas construdo a partr de los datos poblaconales, que permte aprecar la dstrbucón espacal de la varable proporcón de hogares con NBI de acuerdo a rados censales en la cudad de Rosaro. En el Gráfco 1 se observa que las proporcones más bajas de hogares con NBI se encuentran en la zona centro de la cudad mentras que en la perfera se detectan los valores más altos de hogares con dcha característca. El índce de Moran global resulta gual a 0,47 (p<0,001), mostrando la exstenca de autocorrelacón espacal moderada y postva Gráfco 1: Proporcón de hogares con NBI según rado censal Por lo tanto se observar la exstenca de correlacón espacal, conclusón que fundamenta la búsqueda de un modelo para su explcacón. Para ello, se recurre a los modelos de semvarograma.

5 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de MODELO DE SEMIVARIOGRAMAESTIMADO PARA LA MUESTRA Para la estmacón del semvarograma se consderan dos aproxmacones: () la aproxmacón de un modelo teórco de varograma y estmacón de los parámetros del modelo por máxma varosmltud restrngda y () el cálculo del varograma empírco y ajuste por mínmos cuadrados ponderados de un modelo teórco de varograma al empírco, que fue el procedmento utlzado recurrendo a SAS 9.3. Para el proceso estaconaro del º orden, el modelo elegdo es el exponencal y los parámetros estmados son guales a c n =54,89, c 0 =476,59, a 0 =4367,17, resultando: h ˆ exp (h) 54,89 476,59 1 exp h ,17 Gráfco : Semvarograma estmado para el número de hogares con NBI 5-ANÁLSIS COMPARATIVO Con la fnaldad de comparar los resultados que se obtenen empleando un modelo que tene en cuenta la varabldad espacal, con otros que pueden dentfcarse con estmadores empleados habtualmente, se calculan las predccones del total y de los errores cuadrátcos medos del predctor en una muestra de 148 rados censales. Se obtenen además, las estmacones de las efcencas relatvas de los métodos, tomando como referenca el modelo más smple. Los resultados se presentan en la Tabla 1 y los modelos consderados fueron: a) modelo sn varable auxlar homocedástco y sn autocorrelacón que se dentfca con el estmador de smple expansón, b) modelo de regresón homocedástco y sn autocorrelacón dentfcado con el estmador de regresón c) modelo de regresón heterocedástco, sn autocorrelacón y sn ordenada al orgen que se dentfca con el estmador de razón d) modelo de regresón homocedástco y con autocorrelacón espacal. Cabe menconar que el total de hogares con NBI en la cudad, según el Censo consderado es 96 y que la varable auxlar a consderar es el total de hogares por rado censal.

6 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de 013. Tabla1: Estmacones de total de NBI en la cudad de Rosaro, del Error cuadrátco medo y de la efcenca, para cada modelo empleado. Método Ŷ ˆ ˆ ECM(Y) ÊR Modelo sn varable auxlar y 0 Homocedástco y sn autocorrelacón Modelo de regresón y 0 1x Homocedástco y sn autocorrelacón Modelo de regresón y 1x Heterocedástco y sn autocorrelacón Modelo de regresón y 0 1x Homocedástco y con autocorrelacón , , , ,3 6-CONSIDERACIONES FINALES De acuerdo a los resultados obtendos con una sola muestra y presentados en la Tabla 1, se apreca que: El uso de la nformacón brndada por varables auxlares correlaconadas con la varable en estudo ha mostrado una mejora mportante en la precsón de las estmacones. La ncorporacón del semvarograma en el modelo superpoblaconal provocó una mportante reduccón en el error cuadrátco medo estmado presentando para este caso partcular una efcenca estmada de aproxmadamente 9 con respecto al modelo más sencllo. Esto era esperable debdo a la exstenca de autocorrelacón espacal. Por otra parte, dado que los resultados obtendos para las comparacones corresponden solo a una muestra, convendrá llevar a cabo un estudo comparatvo en el que se evalúe la caldad de los estmadores propuestos por los modelos, pero tenendo en cuenta la dstrbucón obtenda con las muestras posbles de la poblacón fnta. Esto es factble debdo a que se dspone de los datos de toda la poblacón, pero seguramente requerrá una mportante cantdad de tempo de computacón para la obtencón de resultados. 7-REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ambroso Flores, L. (1999). Muestreo. Monografías de Escuela Técnca Superor de Ingeneros Agrónomo, 156, Unversdad Poltécnca de Madrd. España. - Ambroso Flores, L. (000). Estadístca Espacal. Monografías de Escuela Técnca Superor de Ingeneros Agrónomo, 157, Unversdad Poltécnca de Madrd. España. - Ambroso Flores, L.; Marín, C.; Iglesas, L.; Pascual, V.; Fuertes, A.; Mena, M.A. (009). Agrcultural and envronmental nformaton systems: the ntegratng role of área samples. Spansh Journal of Agrcultural Research, pp Cochran, W. G. (1998). Técncas de Muestreo. Wley. Méxco.

7 Decmoctavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca. Novembre de Cresse, N. A. C. (1993). Statstcs for Spatal Data. Wley. New York. - Iglesas Martínez, L. (000). Tess Doctoral: Muestreo de áreas: Dseño de muestras y estmacón en pequeñas áreas. Escuela Técnca Superor de Ingeneros Agrónomos. Unversdad Poltécnca de Madrd. España. - Wang, J-F.; Sten, A.; Gao, B-B; Ge, Y. (01). A revew of Spatal Samplng. Spatal Statstcs

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