Unidad 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA

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1 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Unidd CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA Copetencis desrrollr: Descriir situciones del lenguje coún, edinte el lenguje del Alger. Relizr operciones entre polinoios. Fctorizr un polinoio ddo. Relizr operciones entre frcciones lgerics.

2 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Unidd Conceptos fundentles del Alger Epresiones lgerics: están fords por vriles, constntes por operciones de sus, rests, ultiplicciones, divisiones, potencis o ríces. Por ejeplo: r s z Un epresión lgeric, que contiene solente ls operciones: su, rest ultiplicción, sore ls constntes o vriles, coo por ejeplo, se denoin polinoio. Definición de polinoio: Un polinoio en es un su lgeric de l n n n for n n n... 0, donde los coeficientes 0,,..., n, son núeros reles n es un entero no negtivo. El grdo del polinoio es el vlor de l potenci ás lt de l vrile. En un polinoio, cd un de ls prtes seprds por un signo ás o por un signo enos se denoin térinos del polinoio; en un térino se precin tres eleentos fundentles: el signo, el coeficiente l prte vrile. Ejeplo Coeficientes Grdo 7,, 7,,,, 7 7, 0 Térinos seejntes Se dice que dos o ás térinos son seejntes si difieren únicente en su coeficiente. Por ejeplo son térinos seejntes pero 7 no son térinos seejntes que ; Reducción de térinos seejntes Reducir signific reunir en uno solo vrios térinos. Pr reducir térinos seejntes se sun lgericente los coeficientes se coloc l is prte vrile. Ejeplo Reducir:

3 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0. En este cso es el resultdo de sur En este cso es el resultdo de sur El signo enos (-) proviene del signo enos (-) de cd uno de los térinos. c. En este cso, es el resultdo de sur + + es el resultdo de sur + ; el signo enos por l is rzón del ejeplo nterior. es el resultdo de. El signo enos (-) prece por ser el signo del coeficiente or. Operciones con Polinoios: Adición: Pr sur o restr polinoios se puede proceder de l siguiente ner: i). Se suprien los signos de grupción. ii). Se reducen los térinos seejntes. Ejeplo: Ejecutr ls operciones indicds. c c. = c c = c c = c r s r s r s rs 0r s rs. = r s r s r s rs 0r s rs = r s r s rs 7 0 c. = 7 0 = Multiplicción Pr ultiplicr dos polinoios, ultiplicos cd térino del priero por cd uno de los térinos del segundo luego se procede reducir térinos seejntes, si los h. En l ultiplicción lo que se hce relente, es plicr repetids veces l propiedd distriutiv de l ultiplicción con respecto l su. Ejeplo: Efectur los siguientes productos.

4 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0. i). ii). iii). Luego. c c Aplicndo l le distriutiv, se tiene: = c c Y siguiendo el procediiento pr ultiplicr, se otiene = c c c.. L le distriutiv nos perite escriir Un nuev plicción de l le distriutiv nos d Productos Notles = 0 Eisten lgunos productos cuos resultdos se pueden deterinr fácilente siguiendo cierts regls. Estudireos los siguientes: ) Cudrdo de l su de dos térinos El cudrdo de l su de dos térinos es igul l cudrdo del priero, ás el dole producto del priero por el segundo, ás el cudrdo del segundo. Ejeplo:

5 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Clcule = ) Cudrdo de l diferenci de dos térinos El cudrdo de l diferenci de dos térinos es igul l cudrdo del priero, enos el dole del priero por el segundo ás el cudrdo del segundo. Ejeplo: n Clcule n n n n Los dos productos nteriores se pueden resuir sí: n c) Cuo de un su o un diferenci de dos térinos: El cuo de un su (o diferenci) de dos térinos es igul l cuo del priero ás (o enos) el triple producto del cudrdo del priero por el segundo, ás el triple producto del priero por el cudrdo del segundo, ás (o enos) el cuo del segundo. Ls potencis n, se otienen plicndo el teore del inoio o el triángulo de Pscl. (Investig los étodos Binoio de Newton Triángulo de Pscl, pr el desrrollo de potencis de un inoio, n

6 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 d) Producto de un su por un diferenci: El producto de un su de dos térinos por su diferenci es igul l cudrdo del prier térino enos el cudrdo del segundo térino (o se un diferenci de cudrdos). Ejeplo: = E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S. (7 ) ( ). ( ) ( ). ( )( 7). ( )( ). ( u )( u ) u( u ). ( u )( u ) 7u( u ) 7. ( )( ). 7. u v u v ( u v ) 0. u v z z 0.. z Ejercicios l. Resuelve directente:. ( )( ). ( )( ). ( - ). ( ) 7. ( )( ). ( ).. ( ) 0. )( ) ( ( ). 7

7 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 División de Polinoios: ) División de un onoio entre un onoio Pr resolver est operción se deen relizr los siguientes psos: i. Cociente de los signos, coo en el producto. ii. Coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. iii. Cociente de ls prtes vriles, que se efectú plicndo l le de los eponentes pr l división, que dice: Pr dividir dos potencis que tengn l is se, se escrie l is se se restn el eponente del dividendo el eponente del divisor. Ejeplos: Divid z entre z = z z z z 0 p n p n n k k p n k Oserve que k n es equivlente 0 p n k ) División de un polinoio entre un onoio Se divide cd uno de los térinos del polinoio entre el onoio, siguiendo el procediiento nterior sí: Ejeplo:

8 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 c) División de polinoios: Pr dividir dos polinoios, se deen relizr los siguientes psos: i. Se ordenn en for decreciente, con respecto l eponente, os polinoios. ii. Dividios el prier térino del dividendo entre el prier térino del divisor oteneos el prier térino del cociente. iii. Se ultiplic este prier térino del cociente por todos los térinos del divisor. El producto sí otenido se rest decudente del dividendo. iv. L diferenci otenid se consider coo el nuevo dividendo se continú con el procediiento coo en los psos nteriores, hst que el grdo del dividendo se estrictente enor que el grdo del divisor. Al proceso nterior se le conoce coo división lrg de polinoios. Ejeplo: ) Divid: 7 0 entre Teneos coo cociente coo residuo ) Divid: entre 0 0 Teneos coo cociente coo residuo

9 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Encuentr el cociente residuo si f se divide entre p.. 7 f ; p ( ). f ; p ( ). f ; p ( ). f ; p( ). f ; p ( ). 7 f 0 ; p 0 d) División Sintétic: L División sintétic es un étodo resuido de l división lrg de polinoio pero sólo es plicle, cundo se trt de dividir un polinoio P entre r, siendo r un núero rel culquier n n n P en l for n n n... 0 si flt lgún térino nótelo con coeficiente cero,. Escri los coeficientes Pordendos en un fil horizontl.. Bje el prier coeficiente de n de P l últi fil.. Multiplique n por r, escri el producto en l segund líne dejo del coeficiente n ; sue el producto n, escri l su en l fil. Escri inferior.. Multiplique est su por r escri el producto en l segund líne dejo del coeficiente n ; sue el producto n, escri l su en l últi fil.. Repit el proceso de los psos hst que se posile. 7. El últio núero del renglón inferior es el residuo, los núeros precedentes son los coeficientes de los térinos sucesivos del cociente, el cul es un polinoio cuo grdo es enor que el de P en. 0

10 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Ejeplo: Eple l división sintétic pr dividir 7 entre. Los coeficientes del dividendo son, -7,, r Ls flechs indicn el orden en el cul los núeros son deterindos Deido que el últio renglón está fordo por los núeros, -, -, el cociente es, el residuo es. Por tnto, 7 Ejeplo: Eple l división sintétic pr dividir 7 entre. Los coeficientes de P() son:, 0, 0,, 0, 7 deás coo el divisor es, entonces r, luego: Deido que el últio renglón está fordo por, -,, -, -, el Cociente es el residuo es -. E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Encuentr el cociente residuo si división sintétic f se divide entre p, eplendo l. f ; p ( ). f. 7 ; p ( ) f ; p ( ). 0 f ; p ( ).. f ; p ( ) f = 7 ; p ( )

11 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Fctorizción: Fctorizr un epresión lgeric signific escriirl coo un producto de dos o ás fctores. L epresión está fctorizd porque se encuentr epresd coo un producto, en este cso de dos fctores; por el contrrio l epresión no está fctorizd que, unque prece un producto, l epresión se encuentr escrit coo un su. Descoponer en fctores, o fctorizr, es prticulrente iportnte cundo tengos que siplificr frcciones lgerics o resolver cierts clses de ecuciones. A continución se uestrn ciertos étodos de fctorizción eleentles directos. ) Fctor coún: c c Ejeplos: es el fctor coún de los térinos c. (Esto es coo si plicáros l le distriutiv hci trás ). 0. c. d. c c d d c c d d c d c d e. ) Trinoio cudrdo perfecto Un epresión lgeric es un cudrdo perfecto cundo es el cudrdo otr epresión; esto es, cundo es el producto de dos fctores igules. Ejeplos:. es un cudrdo perfecto

12 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0. c. 0 es un cudrdo perfecto 0 es un cudrdo perfecto Oserve lo siguiente: Luego pr reconocer cuándo un epresión es un trinoio cudrdo perfecto, deeos verificr que en dich epresión dos de los térinos sen cudrdos perfectos (os positivos o os negtivos) el otro térino se el dole producto de ls ríces de los dos nteriores. Pr fctorizr un trinoio cudrdo perfecto se escrie dicho trinoio coo el cudrdo de l su o diferenci de ls ríces de sus cudrdos perfectos. Ejeplo:. 0 Luego 0. c.

13 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 c) Diferenci de dos cudrdos Considereos epresiones de l for Por un producto notle visto nteriorente (producto de un su por un diferenci) podeos firr lo siguiente: Ejeplos:.. Fctorizdo totlente c. d. d) Copleentción del cudrdo perfecto No todos los trinoios son cudrdos perfectos, por ejeplo: no es un cudrdo perfecto, que, unque eisten dos cudrdos perfectos ( ), el tercer térino no corresponde l dole producto de ls ríces de los cudrdos. Pr trnsforr l epresión inicil en cudrdo perfecto, copletos con el térino que hce flt, sí: Oserve que l epresión dentro del préntesis es hor un trinoio cudrdo perfecto, por lo tnto luego, por diferenci de cudrdos

14 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Ejeplo; Fctorice Luego No siepre l copletr un cudrdo perfecto oteneos un diferenci de cudrdos por consiguiente no se puede hcer l fctorizción; sin ergo, el copletr el cudrdo es un etodologí de uchs utiliddes en teátics e) Fctorizción de un epresión de l for n Alguns epresiones de est for son: z z Si ls epresiones nteriores se pueden escriir de lgun de ls siguientes fors: Se fctorizn sí, respectivente:

15 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 Ejeplo: Fctorice:. 7 Coo l epresión nterior se puede escriir de l for (), Entonces: 7. 0 c. d Oserve que no se puede escriir de ningun de ls cutro fors nteriores; por tnto, no es fctorizle utilizndo este étodo. f) Su o diferenci de Cuos: Su de cuos: ( )( ) Diferenci de Cuos: ( )( ) Ls dos igulddes nteriores son fácilente verificles si desrrollos los productos indicdos: Ejeplos: Fctorizr 7 7 son cuos perfectos, sus ríces cúics son: fctorizción es :, luego su 7 ( )( )

16 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S. rs st r s 77r s r s ( ) ( ) z 0z. 0. z w

17 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 FRACCIONES ALGEBRAICAS El cociente de dos epresiones lgerics se ll epresión frccionri o frcción lgeric. Un tipo especil de frcción lgeric es el cociente de dos polinoios, l que se le denoin epresión rcionl. Ddo que no está definid l división entre cero, el doinio de l epresión rcionl, estrá fordo por todos los núeros reles, ecepto los que hcen que el denoindor se cero. Ejeplos: Epresión Rcionl 7 Doinio Tod Tod Tods e tles que SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Puesto que ls vriles de epresiones rcionles representn núeros reles, podeos usr sus propieddes, en prticulr utilizreos con frecuenci l siguiente propiedd de los cocientes c = (si, c 0 ) c Se dice que un epresión rcionl está siplificd si el nuerdor el denoindor no tienen ningún fctor en coún. Pr siplificr un epresión rcionl, se fctorizn nuerdor denoindor entonces, suponiendo que los fctores del denoindor no son cero, se cnceln los fctores counes coo en los siguientes ejeplos

18 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Se sun (o restn) epresiones rcionles escriiéndols de ner que tengn el iso denoindor después se sun (o restn) los nuevos nuerdores. Supóngse que se usc sur El coún denoindor propido es. Recuérdese que se puede ultiplicr el nuerdor el denoindor de un frcción por un is cos. De cuerdo con esto El iso procediiento se utiliz en l rest. Otro ejeplo: Sur

19 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 0 Se fctorizn denoindores se deduce que el coún denoindor propido es, entonces MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Se ultiplicn epresiones rcionles de l is ner que se hce con núeros rcionles; esto es, se ultiplicn los nuerdores se ultiplicn los denoindores. Por ejeplo, 0 Alguns veces es necesrio reducir el producto, si dese l respuest ás sencill posile. Se ilustr esto continución. Este ejeplo uestr que es un uen ide fctorizr priero todo lo que pued. Esto hce posile l cncelción.

20 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0 DIVISION DE FRACCIONES L división de frcciones se puede considerr un cso especil de l ultiplicción, si se nos pide, por ejeplo, hcer l siguiente operción:, lo hreos cindo ultiplicción, sí: ) ( ) ( ) ( E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Siplific ls siguientes frcciones:... ( ).. ) ( ) (. h h ) ( ) ( z z z ) ( 7 Reliz ls operciones indicds siplific l áio ls siguientes epresiones rcionles:... ) ( 7. 0

21 Mteátic I. Ciclo técnico profesionl. ITSA Atlántico Profesor: Bls Torres Suárez. Versión.0. h h ) (.