Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 3: Funciones elementales complejas: exponencial, logaritmo, trigonométricas e hiperbólicas

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1 Universia Antonio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 3: Funciones elementales complejas: exponencial, logaritmo, trigonométricas e hiperbólicas Grupo e Matemáticas Especiales Resumen Se presenta la efinición e las funciones elementales e variable compleja: exponencial, logaritmo, trigonométricas e hiperbólicas. Se estuian las similitues y iferencias entre estas funciones y sus análogas en variable real. A partir e la efinición el logaritmo y la exponencial complejas se efinen las potencias complejas y su corresponiente valor principal. 1. Función Exponencial Compleja Sea z = x + iy C. Se efine la exponencial e z como A partir e la conocia fórmula e Euler: es posible reescribir (1) como sigue e z = e x e iy. (1) e iθ = cos θ + i sen θ e z = e x (cos y + i sen y). () Nótese que si z = x+i0 es un número real, entonces e z se reuce a la función exponencial real e x. 1

2 Propieaes e la función exponencial Si z, z 1, z C entonces se puee verificar que: 1. e 0 = 1. e z 0 3. e z 1 e z = e z 1+z e z 1 e z = ez 1 z 1 e z = e z 6. e z es una función entera y aemás z ez = e z. 7. Si z = x + iy entonces a) e z = e x. b) arg (e z ) = y + nπ con n Z. 8. e z es perióica e perioo imaginario πi, es ecir, e z+πi = e z. 9. e z puee tomar valores negativos. 10. Se tienen las siguientes ientiaes útiles: a) e πi = 1 b) e πi = 1 c) e π i = i ) e π i = i Obsérvese que las propieaes 1 a 6 también se tienen para la función exponencial real, mientras que e la 7 a la 10 son características y propias e la función exponencial compleja. Si z = x + iy entonces e la efinición e e z se sigue que e z = u(x, y) + i v(x, y) one u(x, y) = e x cos y y v(x, y) = e x sen y son la parte real y la parte imaginaria e e z, respectivamente.

3 Ejemplo 1. A continuación se consieran algunas ecuaciones e ientiaes que involucran exponenciales. 1. Encuentre toos los valores e z tales que e z =. Como e πi = 1, entonces e x e iy = e πi e x = x = ln y = π + nπ y = (n + 1)π y e esta manera z = x + iy = ln + i(n + 1)π, n Z.. Encuentre toos los valores e z tales que e z = 1 + i. De la efinición e e z se sigue que entonces e x cos y + i e x sen y = 1 + i, e x cos y = 1 e x sen y =. (3) Después e elevar ambas ecuaciones al cuarao y sumarlas se obtiene e x cos y + e x sen y = = 5 e one e x = 5, es ecir, x = ln 5 = ln 5. Por otro lao, al hacer el cociente e las ecuaciones (3) se obtiene e x sen y e x cos y = 1 e one tan y =, esto es, y = arctan() + nπ. Por lo tanto 3. Muestre que e +3πi = e. Se tiene que z = x + iy = ln 5 + i (arctan() + nπ) e +3πi = e e 3πi = e (cos(3π) + i sen(3π)) = e ( 1 + i0) = 3

4 4. Verifique que e +πi e 4 = En efecto, (1 + i). [ e +πi 4 = e 1 π e 4 i = e 1 ( π ) cos 4 = ( 1 e + i 1 ) e = ( π )] + i sen 4 (1 + i) 5. Consiere la función f(z) = e z. Dóne es f analítica? Si z = x + iy entonces f(z) = e x e iy = e x [cos( y) + i sen( y)] = e x cos y i e x sen y luego u(x, y) = e x cos y u x = e x cos y u y = e x sen y v(x, y) = e x sen y v x = e x sen y v y = e x cos y. Veamos qué ocurre con las ECR, u x = v y e x cos y = e x cos y u y = v x e x sen y = e x sen y cos y = 0 sen y = 0 y = n + 1 π, n Z y = nπ, n Z lo que es contraictorio! pues ningún valor y verifica las os últimas ecuaciones simultáneamente. Por lo tanto f satisface las ECR en ninguna parte y así f = e z es analítica en ninguna parte.. Función Logaritmo Complejo Para efinir el logaritmo complejo se requiere resolver la ecuación e w = z, one w es la variable y z es un número complejo ao. 4

5 Sea z = re iθ, con π < θ < π, y sea w = u + iv. Entonces e la ecuación e w = z se sigue que e x e iy = r e iθ, e one e x = r y = θ + nπ, n Z x = ln r y e esta manera w = ln r + i(θ + nπ), n Z. Se efine el logaritmo e z = re iθ como log z = ln r + i(θ + nπ), (4) one θ = Arg(z). Nótese que para caa z esta función toma infinitos valores (epenieno el valor e n) y por esta razón se ice que el logaritmo complejo es una función multivaluaa. Cuano n = 0 en (4), el logaritmo resultante se enota por Log z Log z = ln r + iθ (5) y se conoce como el valor principal el logaritmo e z, o simplemente el logaritmo principal e z. Observe que para caa z, Log z toma un solo valor y aemás, log z = Log z + nπi, n Z Ejemplo. Para los números complejos aos eterminar log z y Log z. 1. z = i Como i = 1 e π i, entonces y Log i = π i. ( π ) log i = ln 1 + i + nπ = iπ. z = 1 Dao que 1 = 1 e iπ, entonces ( ) 1 + n, n Z log( 1) = ln 1 + i (π + nπ) = iπ (1 + n), n Z y Log ( 1) = iπ. 5

6 3. z = 1 + i 3 En este caso, 1 + i 3 = e π 3 i entonces ( log 1 + i ) ( ) ( ) π 1 3 = ln +i 3 + nπ = ln +πi 3 + n, n Z y Log ( 1 + i 3 ) = ln + π 3 i. 4. z = i Como i = 8 e 3π 4 i, entonces para n Z ( ) log ( i) = ln 8 + i ( 3π4 ) + nπ = 1 ( ln 8 + iπ 34 ) + n, y Log ( i) = 1 ln 8 3π 4 i..1. Propieaes el logaritmo A continuación se presentan algunas propieaes el logaritmo complejo. Sean z, z 1, z C, 1. Si z = x + i0 es un número real entonces log z se reuce al logaritmo natural real ln x.. log(z 1 z ) = log z 1 + log z. ( ) z1 3. log = log z 1 log z. z 4. Si z 0 y n Z entonces z n = e n log z. 5. log (e z ) = z + nπi, n Z 6. Para n = 1,,... fijo se tiene z 1 n θ+kπ = n r e i( n ), k = 0, 1,..., n 1 = e 1 n = e 1 n log z ln r+i θ+kπ n, k = 0, 1,..., n 1 6

7 7. Si D Log es el conjunto e puntos en el plano complejo que no están en el eje real negativo y istintos e cero, entonces Log z es una función analítica en D Log y aemás para z D Log z Log z = 1 z D Log Observación 1. Es necesario explicar el sentio e las igualaes en las propieaes y 3. Por ejemplo para emostrar, sean z 1 = r 1 e iθ 1 y z = r e iθ. Entonces ( ) log (z 1 z ) = log r 1 r e i(θ 1+θ ) = ln(r 1 r ) + i (θ 1 + θ + nπ) Observación. En general = ln r 1 + ln r + i(θ 1 + θ + nπ) = ln r 1 + i(θ 1 + nπ) + ln r }{{} + iθ }{{} un valor e log z 1 un valor e log z Log (z 1 z ) Log z 1 + Log z. Por ejemplo, si z 1 = z = 1 entonces e una parte y e otro lao Log z 1 = Log z = Log ( 1) = iπ Log (z 1 z ) = Log [( 1)( 1)] = Log (1) = 0, e one Log (z 1 z ) = 0 πi = Log z 1 + Log z. 7

8 3. Exponentes Complejos Sean z, c C con z 0. Se efine z c = e c log z, (6) la cual claramente es una función multivaluaa. Si se toma Log z en lugar e log z en (6) se obtiene el valor principal e z c, que se enota por v.p z c = e c Log z (7) Ejemplo 3. Calcule las siguientes potencias y etermine su valor principal. 1. i i Como log i = iπ ( 1 + n) entonces i i = e i log i = e i iπ( 1 +n) = e π( 1 +n), n Z y e esta manera v.p i i = e π, un número real!. (1 i) 4i Tenieno en cuenta que log(1 i) = 1 ln +iπ ( n) (verifíquelo!), entonces (1 i) 4i = e 4i log(1 i) = e 4i [ 1 ln +iπ( 1 4 +n)] = e i ln +π(1 8n) = e π(1 8n) e i ln 4, n Z y así, v.p (1 i) 4i = e π e i ln 4 = e π [cos(ln 4) + i sen(ln 4)]. 3. ( 1 + i 3 ) 1+i Dao que 1 + i 3 = e π 3 i, es inmeiato que ( log 1 + i ) ( π ) 3 = ln + i 3 + nπ. Por lo tanto, para n Z se tiene ( 1 + i 3) 1+i = e (1+i)[ln +i( π 3 +nπ)] = e ( π 3 +nπ) e i(ln + π 3 +nπ), y v.p ( 1 + i 1+i [ ( 3) = e π 3 cos ln + π ) ( + i sen ln + π )]

9 Propieaes e las potencias complejas Sea z, α, β C, con z 0. Las siguientes igualaes son válias en el sentio e valores principales e potencias complejas: 1. z α z β = z α+β.. z α z β == zα β. 3. z (zα ) = α z α 1 4. Funciones Trigonométricas Como es bien conocio, las funciones reales seno y coseno se pueen expresar en términos e la función exponencial, es ecir, sen x = eix e ix i, cos x = eix + e ix, para too x real Esto sugiere las siguientes efiniciones para los valores complejos z = x + iy: sen z = eiz e iz i, cos z = eiz + e iz. (8) En corresponencia con las efiniciones el cálculo real, se efinen tan z = sen z cos z, cos z cot z = sen z, (9) sec z = 1 cos z, csc z = 1 sen z. (10) Dao que la función e z es analítica para too z, e (8) se sigue que las funciones sen z y cos z también lo son. De las efiniciones en (9) y (10) se tiene que las funciones tan z y sec z son analíticas excepto en los puntos en los que cos z es cero, y las funciones cot z y csc z son analíticas excepto one sen z es cero. Las funciones cos z y sec z son pares, mientras que las emás son impares, esto es: sen( z) = sen z, cos( z) = cos z, tan( z) = tan z, cot( z) = cot z, 9 sec( z) = sec z, csc( z) = csc z. (11)

10 Como la función exponencial compleja e z es perióica entonces también lo son las funciones trigonométricas: sen(z ± nπ) = sen z, cos(z ± nπ) = cos z, con n = 0, 1,,... Aemás, tan(z ± nπ) = tan z, cot(z ± nπ) = cot z, (1) sen z = 0 si y sólo si z = nπ (n Z), cos z = 0 si y sólo si z = π + nπ (n Z). (13) A partir e las efiniciones (8), (9) y (10) es sencillo emostrar que las siguientes fórmulas, conocias para funciones trigonométricas reales, siguen sieno válias en el caso complejo: sen(z 1 ± z ) = sen z 1 cos z ± cos z 1 sen z, cos(z 1 ± z ) = cos z 1 cos z sen z 1 sen z, (14) al igual que las fórmulas e erivación, sen z + cos z = 1, (15) sen z = cos z, z cos z = sen z, z z tan z = sec z, z cot z = csc z, sec z = sec z tan z, z (16) z csc z = csc z cot z. A partir e (8) se sigue que la fórmula e Euler sigue sieno vália para valores complejos: e iz = cos z + i sen z. (17) Es posible representar sencillamente las funciones sen z y cos z en términos e funciones reales. En efecto, si se toma z = x + iy en las fórmulas (14) entonces sen z = sen(x + iy) = sen x cos(iy) + cos x sen(iy) cos z = cos(x + iy) = cos x cos(iy) sen x sen(iy), 10

11 y e (8) junto con la efinición e seno y coseno hiperbólicos se sigue que por lo tanto, sen(iy) = ei(iy) e i(iy) i cos(iy) = ei(iy) + e i(iy) = e y e y i = e y + e y sen z = sen x cosh y + i cos x senh y cos z = cos x cosh y i sen x senh y, = i senh y = cosh y, (18) las cuales son muy útiles para el cálculo numérico e sen z y e cos z al igual que para la solución e ecuaciones que involucren a ichas funciones. Aemás, es sencillo verificar a partir e éstas fórmulas que sen z = sen x + senh y cos z = cos x + senh y. (19) Dao que la función senh y tiene a infinito cuano y tiene a infinito, las ecuaciones (19) ejan ver que sen z y cos z no son acotaas en el plano complejo! Esta es una iferencia notable con el caso real, pues como es bien conocio, sen x, cos x 1 para too x real. 5. Funciones hiperbólicas Las funciones seno y coseno hiperbólicos e una variable compleja se efinen e manera análoga al caso real, es ecir senh z = ez e z, cosh z = ez + e z. (0) Como la función e z es analítica para too z entonces senh z y cosh z también lo son. A partir e (8) y (0) se pueen eucir las siguientes relaciones: senh z = i sen(iz), cosh z = cos(iz), sen z = i senh(iz), cos z = cosh(iz), (1) y e la perioicia e sen z y cos z, se sigue que senh z y cosh z son perióicas con perioo πi. Aemás, senh( z) = senh z, cosh( z) = cosh z. () 11

12 entonces, senh z = 0 si y sólo si z = nπi (n Z), ( π ) cos z = 0 si y sólo si z = + nπ i (n Z). (3) A continuación se establecen las ientiaes e uso más frecuente con respecto a las funciones senh z y cosh z: senh(z 1 + z ) = senh z 1 cosh z + cosh z 1 senh z cosh(z 1 + z ) = cosh z 1 cosh z + senh z 1 senh z, (4) cosh z senh z = 1, (5) senh z = senh x cos y + i cosh x sen y cosh z = cosh x cos y + i senh x sen y, (6) one z = x + iy. senh z = senh x + sen y cosh z = senh x + cos y, (7) Como en el caso real, efinimos: tanh z = senh z cosh z, sech z = 1 cosh z, coth z = cosh z senh z, csch z = 1 senh z. (8) Así, las funciones tanh z y sech z son analíticas excepto en aquellos puntos en los cuales cosh z sea cero, y las funciones coth z y csch z son analíticas salvo cuano senh z = 0. Aemás, se tienen las fórmulas e erivación (análogas a las conocias para las funciones hiperbólicas reales), senh z = cosh z, z cosh z = senh z, z z tanh z = sech z, z coth z = csch z, sech z = sech z tanh z, z csch z = csch z coth z. z (9) 1

13 5.1. Inversas e las funciones trigonométricas e hiperbólicas A manera e ejemplo, se ilustra el proceimiento para obtener la función inversa el seno complejo. Si w = sen 1 z entonces z = sen w y e esta manera z = eiw e iw i i z = e iw e iw i z = e iw 1 e iw i z ( e iw) = ( e iw) 1 0 = ( e iw) i z ( e iw ) 1. Resolvieno la última ecuación cuarática se obtiene: e iw = i z + ( i z) 4(1)( 1) = i z + 4z + 4 = i z + 1 z = iz + 1 z iw = log [iz + ] 1 z w = i log [iz + ] 1 z. Por lo tanto, sen 1 z = i log [iz + ] 1 z es una función multivaluaa, por la presencia el logaritmo complejo. (30) Bibliografía [1] R.V. Churchill, Variable compleja con aplicaciones, McGraw-Hill, New York [] Peter V. O Neil, Matemáticas avanzaas para ingeniería, International Thomson Eitores, S.A. Quinta Eición

14 [3] W. Allen Smith, Elementary Complex Variables, Charles E. Merrill Publishing Company,