Tema 6: Introducción al muestreo. Estimadores

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1 Facultad de Ecoomía y Empresa Práctcas ema 6.- Itroduccó al muestreo. Estmadores ema 6: Itroduccó al muestreo. Estmadores VARIABLE Certa varable aleatora X se dstrbuye segú la fucó de desdad: sedo E(X) y Var(X)-. f ( x, ) ; 0 x x, Para estmar el parámetro, se ha tomado ua muestra aleatora smple de tamaño propoédose el estmador: X+3. a) Obteer e terpretar el sesgo del estmador b) Cuál es la varaza del estmador? c) Además se propoe otro estmador, sesgado y co varaza -. Cuál de los dos estmadores es más efcete para estmar? d) Cuál es la estmacó obteda s e ua muestra aleatora se ha observado ua meda de 3,5? a) B () 3 b) Var() c) Es más efcete el estmador d) ˆ 6,5 ESIMADORES DE LA MEDIA Para estmar el parámetro µ de ua poblacó se toma ua muestra aleatora smple de tamaño, propoédose los dos estmadores sguetes: X Cuál de los dos estmadores es más efcete? ( µ ) σ X + X + X 3

2 Facultad de Ecoomía y Empresa Práctcas ema 6.- Itroduccó al muestreo. Estmadores ( µ ) 3σ 8 El estmador es más efcete para estmar µ que el estmador. UNIVERSIARIOS Se desea coocer la proporcó de uverstaros etre la poblacó meor de 5 años de determado país (p). Alguos estudos señala que dcha proporcó es del 5% metras otros asegura que es del 30%. Seleccoados aleatoramete 0 jóvees del colectvo estudado, mafestaro ser uverstaros. Co esta formacó, justfcar cuál es la estmacó más verosíml del parámetro p. p0,5 es la estmacó más verosíml. SALOS El úmero de saltos ulos realzados por u atleta de alta competcó e u mes es aleatoro, y su fucó de probabldad vee dada por la sguete expresó: λ e λ x! ( x), x 0,,,... P X x a) Obteer la fucó de verosmltud para ua muestra aleatora smple de tamaño. b) Deducr el estmador máxmo verosíml de λ. S e ua muestra cocreta se ha observado ua meda de,75 saltos ulos por mes, cuál es la estmacó máxmo verosíml de λ? c) Obteer u estmador de λ por el método de los mometos. a) L λ x λ x! ( x,...,x,λ) P( x, λ) e λ e λ x x! b) λˆ x λˆ x,75

3 Facultad de Ecoomía y Empresa 3 Práctcas ema 6.- Itroduccó al muestreo. Estmadores c) λˆ x AYUNAMIENO U ayutameto está estudado la duracó de las bombllas staladas e las farolas de su alumbrado públco, que es ua varable aleatora X co: ( x 0) f ( x) e x > 0; > 0 E(X) +0 ; Var(X) Para estmar el parámetro se decde observar la duracó de ua muestra aleatora de 0 bombllas. a) Deducr la expresó del estmador de máxma verosmltud de. b) Aalzar s el estmador obtedo es sesgado y calcular su error cuadrátco medo. a) ˆ X 0 b) El estmador es sesgado. ( ) ˆ ESIMADORES Co el objetvo de aproxmar el parámetro, ( > 0), se ha seleccoado ua m.a.s. de tamaño y se cosdera dos estmadores sobre los que se dspoe de la sguete formacó: Estmador Esperaza Varaza A E [ A ] Var[ A ] 5 5 B E[ B ] Var[ B ] 6 a) Obteer e terpretar el sesgo de los dos estmadores propuestos. b) Cuál de las dos expresoes es más efcete para estmar? a) ( ) 0 B A ( ) B B b) A ( )

4 Facultad de Ecoomía y Empresa Práctcas ema 6.- Itroduccó al muestreo. Estmadores B 5 ( ) El estmador A es más efcete para estmar. BECAS U orgasmo que ha covocado becas juveles se platea estudar el gasto mesual de sus potecales beefcaros. Gracas a ua ecuesta se ha acceddo a formacó relatva a los gastos de jóvees represetatvos del colectvo estudado. Justfcar cuál de las sguetes expresoes es más efcete para estmar el gasto mesual esperado: a b X X + 0,5X 0,5X X ( µ ) a σ b µ ( µ ) 3 0,5σ + 9 El estmador a es más efcete para estmar el gasto mesual esperado. RESAURANELos tempos de espera (e mutos) de los cletes de u restaurate hasta ocupar ua mesa se dstrbuye uformemete e el tervalo [0,]. a) Estudar el sesgo de la meda muestral como estmador del parámetro. b) Obteer u estmador de por el método de los mometos. c) Comparar la efceca de los dos estmadores aterores de. [Extraído de Aálss de Datos Ecoómcos II. Métodos Iferecales, problema 5.5, pág. 99] a) ( ) B X b) ˆ X

5 Facultad de Ecoomía y Empresa 5 Práctcas ema 6.- Itroduccó al muestreo. Estmadores c) X X ( ) ( ) ( 3 + ) El estmador X es más efcete que X para estmar. SUPERMERCADOU supermercado va a realzar u estudo sobre la proporcó de cletes teresados e la amplacó de su horaro comercal, para lo cual se vestgará ua m.a.s. de cletes. a) Justfcar cómo se defrá las varables muestrales, estudado su dstrbucó de probabldad. b) Deducr la expresó de la fucó de verosmltud muestral. Qué sgfcado tee? c) Supogamos que la muestra es de tamaño 5 y cosderemos el estadístco defdo como: X + X X + X 5 + X Comprobar s es u estmador sesgado de la proporcó de cletes teresados e la amplacó de horaro y calcular su error cuadrátco medo. a) X B(p) b) L (x c) E() p x x x,p) p ( p) p ( p,x,...x ) pq (p) + 5 x 0 LLAMADASLa duracó e mutos de las llamadas telefócas realzadas e ua empresa es ua varable aleatora X co: x f(x) e para x > 0; > 0 sedo E(X) a) Obteer el estmador máxmo verosíml del parámetro. b) Aalzar el sesgo del estmador obtedo. c) Obteer u estmador de por el método de los mometos.

6 Facultad de Ecoomía y Empresa 6 Práctcas ema 6.- Itroduccó al muestreo. Estmadores a) ˆ X b) B ˆ ( ) 0 c) ˆ X