Tema 3 - Introducción. Tema 2. Distribuciones en el muestreo Estadísticos y distribución muestral. Ejemplos: X y S 2.

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1 Tema 3 - Introducción 1 Tema 2. Distribuciones en el muestreo Estadísticos y distribución muestral. Ejemplos: X y S 2. Tema 3. Estimación puntual Criterios de comparación de estimadores: Insesgadez. Estimadores de mínima varianza. Error cuadrático medio.

2 Distribución temporal del temario Tema 1 T T T P Tema 2 T T T P T T T P P Tema 3 T T T P T T T P P Tema 4 T T T P T T T P P Tema 5 T T T P T T T P P Tema 6 T T T P T T T P P Tema 7 T T T P T T T P P T denota una hora de clase de teoría P denota una hora de clase práctica

3 3 Tema 3. Estimación puntual Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Planteamiento del problema. Criterios de comparación de estimadores: Insesgadez. Estimadores de mínima varianza. Error cuadrático medio. Criterios en muestras grandes: Insesgadez asintótica. Consistencia. Lecturas recomendadas: Secciones 7.3 y 7.5 del libro de Peña (2005) y el capítulo 7 de Newbold (2001).

4 4 Definición 1. Sea (X 1, X 2,..., X n ) una muestra aleatoria de una población X con función de distribución F X. Sea θ un parámetro o una característica de F X. Un estimador puntual de g(θ) es una función T que a cada posible muestra (x 1, x 2,..., x n ) le hace corresponder una estimación T (x 1, x 2,..., x n ) de g(θ). Observación 1: Generalmente lo que estimaremos es θ, esto es, g(θ) = θ. Observación 2: Notar que T (X 1, X 2,..., X n ) T (x 1, x 2,..., x n ). Observación 3: Un estimador puntual es simplemente un estadístico cuya función es aproximarse (estimar) al valor verdadero de g(θ). Observación 4: Para un mismo parámetro g(θ) podemos definir tantos estimadores como queramos. Algunos serán mejores que otros Cuál utilizar?

5 5 Ejemplo 1. Tomando una muestra de tamaño 5 queremos estimar cuántos individuos de esta comunidad están de acuerdo con la nueva L.O.U.: En este ejemplo ideal, sabemos a priori que la respuesta es θ = 10.

6 Ejemplo 1. Podemos utilizar el estadístico suma: S = n i=1 X i y un estimador del total, es T = N n n i=1 X i donde n = 5 y N = 20. 6

7 7 Ejemplo 1. Supongamos que hemos tomado una muestra aleatoria simple, por tanto, X i es una v.a. que se distribuye Bernoulli(p). Entonces: La distribución muestral del estimador total, T = 4S, podemos obtenerla a partir de la de S que es Binomial(n = 5,p): ( ) 5 Pr(T = t) = Pr(S = t/4) = p t/4 t/4 (1 p) 5 t/4, donde t toma valores en {0, 4, 8, 12, 16, 20}. Notemos que T solo toma valores en {0, 4, 8, 12, 16, 20}, se os ocurre algún otro estadístico? Observación 4: Para un mismo parámetro g(θ) podemos definir tantos estimadores como queramos. Algunos serán mejores que otros Cuál utilizar? Excel

8 8 Utilizando un total ponderado que tiene en cuenta las repeticiones en la muestra:

9 9 Ejemplo 2. Sea X el gasto de un estudiante universitario en la compra de libros de texto. Supongamos que deseamos estimar el gasto medio µ = E[X]. Para ello planificamos la obtención de una m.a.s. de tamaño n: (X 1, X 2,..., X n ). Una vez obtenida la muestra tenemos n valores: (x 1, x 2,..., x n ). (a) Proponga cuatro estimadores del parámetro poblacional µ. T 1 (x 1, x 2,..., x n ) = µ 1 = 1 n n i=1 x i. T 2 (x 1, x 2,..., x n ) = µ 2 = 1 n 1 n i=1 x i. T 3 (x 1, x 2,..., x n ) = µ 3 = x 1+x n 2. T 4 (x 1, x 2,..., x n ) = µ 4 = x 2 x 1. Pueden haber estimadores absurdos.

10 10 Ejemplo 2. (b) Suponga que n = 3 y que la muestra es: 30, 20 y 10. Calcule las estimaciones con cada uno de los estimadores propuestos en (a). T 1 = 1 3 ( ) = 20. T 2 = 1 n 1 ( ) = 30. T 3 = = 20. T 4 = = 10. Cuál estimación utilizo? Una respuesta es utilizar aquella estimación cuyo estimador tenga mejores propiedades.

11 Propiedades de los estimadores Definición 2. Un estimador T de θ es insesgado si verifica que: E[T ] = θ. Ejemplo 2. (c) Cuáles de los estimadores propuestos son insesgados? E[T 1 ] = E[ 1 n n i=1 X i] = 1 n n i=1 E[X i] = 1 n n i=1 µ = µ. E[T 2 ] = E[ 1 n 1 n i=1 X i] = 1 n 1 n i=1 E[X i] = n n 1 µ. E[T 3 ] = E[ X 1+X n 2 ] = E[X 1]+E[X n ] 2 = µ+µ 2 = µ. E[T 4 ] = E[X 2 X 1 ] = E[X 2 ] E[X 1 ] = 0. Definición 3. El sesgo de estimador T de θ es: b T (θ) = E[T ] θ.

12 Propiedades de los estimadores T 1 y T 3 son insesgados, cuál utilizo? Definición 4. Sean θ 1 y θ 2 dos estimadores insesgados de θ. Diremos que θ 1 es más eficiente que θ 2 si se verifica que: Var( θ 1 ) < Var( θ 2 ). Definición 5. Sean θ 1 y θ 2 dos estimadores insesgados de θ. La eficiencia relativa de θ 1 respecto a θ 2 es: E.R. = Var( θ 2 ). Var( θ 1 ) Ejemplo 2. eficiente. (d) Calcule la eficiencia relativa de T 1 y T 3 y decida cuál es más Var(T 1 ) = σ2 n Por qué? Var(T 2 ) = 1 4 (Var(X 1) + Var(X 1 )) = σ2 2 y E.R. = σ 2 2 σ 2 n = n 2.

13 Propiedades de los estimadores T 3 es insesgado y T 2 no lo es. Puedo compararlos? Definición 6. Sea θ un estimador de θ. El error cuadrático medio de θ es: ECM = E [ ( θ θ) 2]. Proposición 1. ECM = E Sea θ un estimador de θ. Se cumple que: [ ( θ θ) 2] = Var( θ) + (E[ θ] θ) 2 = Var( θ) + b θ(θ) 2.

14 14 Ejemplo 2. (d) Calcule el ECM de T 2 y T 3, y compárelos. ECM(T 3 ) = Var(T 3 ) + Sesgo(T 3 ) 2 = σ2 2. ECM(T 2 ) = Var(T 2 ) + Sesgo(T 2 ) 2 = nσ2 + (n 1) 2 ( ) 2. n n 1 µ µ 250 Supuestos: µ = 1 y σ = 10 ECM de T 3 ECM de T

15 Propiedades de los estimadores Definición 7. Sea T un estimador de θ. Diremos que T es un estimador consistente de θ si se verifica que: { límn F T (t) = 0 para t < θ, lím n F T (t) = 1 para t > θ donde F T es la distribución de T (X 1, X 2,..., X n ). Ejemplo 3. Sean X 1, X 2,..., X n v.a. i.i.d. N (µ, σ 2 ). Sabemos que X N (µ, σ2 n ). Si t < µ: lím n F T (t) = lím n Pr { = lím n Pr { X µ σ 2 /n < t µ σ 2 /n } N (0, 1) < t µ σ 2 /n = Pr {N (0, 1) < } = 0. }

16 16 Ejemplo 3. Si t > µ: lím n F T (t) = lím n Pr { = lím n Pr { X µ σ 2 /n < t µ σ 2 /n } N (0, 1) < t µ σ 2 /n = Pr {N (0, 1) < + } = 1. } n = 10 n = 25 n = 50 n = 75 n = 100 Límite

17 17 Qué hacer si conozco F T? Una posible solución es: Proposición 2. Sea T un estimador de θ. Si se verifica que: ( i) lím n E[T ] = θ. Insesgadez asintótica ( ii) lím n Var(T ) = 0. Entonces T es un estimador consistente de θ. Ejemplo 3. Demuestre utilizando la proposición anterior que X y S 2 son estimadores consistentes de µ y σ 2, respectivamente. Ayuda: Recordar el Lema de Fisher.

18 18 Ejemplo 4. El consumo de un cierto producto en una familia de cuatro miembros durante los meses de verano, es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (α, α + 1). Sea (X 1,..., X n ) una muestra aleatoria de consumos de distintas familias. a) Demostrar que la media muestral es un estimador sesgado de α y que sus sesgo es 1 2. b) Calcular el error cuadrático medio de X. c) Obtener un estimador insesgado de α (a partir de X).

19 19 a) f(x) = { 1 x (α, α + 1) 0 resto E( X) = α+1 α sesgo = d 1 2 x dx = α α b) ECM( X) = V ( X) + sesgo 2 ( X) = 1 12n = 3n n c) E(ˆα) = α = ˆα = X = 1 2

20 20 Ejemplo 5. Supongamos que los rendimientos de las acciones de la empresa SEGURA.SL siguen una distribución normal de media µ euros y varianza σ 2. Se toma una m.a.s. de 20 rendimientos y se tiene: 5,29 3,66 5,71 6,62 4,30 5,85 6,25 3,40 3,55 5,57 4,60 5,69 5,81 5,71 6,29 5,66 6,19 3,79 4,98 4,84 (a) Calcular los valores de los estimadores X y S 2 en esa muestra. s 2 = 1 19 x = 1 (5,29 + 3, ,84) = 5,188, 20 ( (5,29 5,188) 2 + (3,66 5,188) (4,84 5,188) 2) = 0,9929. µ = 5,188 y σ 2 = 0,9929? X = 5,188 y S 2 = 0,9929?

21 21 Ejemplo 5. (b) El VaR (value at risk) es una medida de la máxima pérdida esperada en una cartera, durante período de tiempo específico con una probabilidad dada, α. Una manera de calcular el VaR es suponiendo que los beneficios diarios de un valor se distribuyen de acuerdo a la distribución normal. Esta simplificación permitió un importante avance de la teoría de carteras, y es frecuentemente empleada en cálculos estadísticos financieros. La empresa SEGURA.SL considera como pérdidas todos los rendimientos inferiores a 5 euros por acción. Es decir, los beneficios siguen una distribución N (µ 5, σ 2 ). En ese caso, las pérdidas máximas esperadas para un nivel α son: V ar = µ 5 z α σ. Suponiendo conocida σ. Calcule la media y la varianza del siguiente estimador del VaR Ṽ ar = X 5 z α σ.

22 22 Ejemplo 5. (c) Es Ṽ ar un estimador insesgado del V ar? N(0,1) (d) Es Ṽ ar un estimador consistente del V ar? z α α El supuesto de σ conocida es poco realista pero simplifica mucho los cálculos. (d) Es V ar un estimador insesgado del V ar? V ar = X 5 z α S. (e) Es V ar un estimador consistente del V ar? χ 2 n α

23 Recapitulación 23 Tema 12. Estimación puntual Estimadores y estimaciones. Conceptos clave en inferencia. Criterios de comparación de estimadores: Insesgadez. Estimadores de mínima varianza. Error cuadrático medio. Cómo elegir un estimador? Criterios en muestras grandes: Insesgadez asintótica. Consistencia. Cómo elegir un estimador? Asintótica.

24 24 Tema 3. Estimación puntual Criterios de comparación de estimadores: Insesgadez. Estimadores de mínima varianza. Error cuadrático medio. Consistencia. Cómo obtener estimadores? Tema 4. Estimadores de máxima verosimilitud Métodos de cálculo. Propiedades.