Distribuciones discretas y continuas

Transcripción

1 1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que llegar cuando el semáforo está verde es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes..- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. 3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 0 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 0, cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución. 4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. 5.- Se supone que el n de bacterias por mm 3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm 3 de agua? 6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. 7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 0 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. 8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre 0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre 0 y 0 euros. 9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el P X x 0.95 error sea mayor que 0,5. b) El error x tal que U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 1

2 10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, ). a) Cuál es la duración total media del proceso? b) Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 15 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que. b) mayor que 1 y menor que. c) negativo. d) en valor absoluto menor que Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana 14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución de media 5 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea n inferior a 5 minutos? b) Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? 15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que b) Media del cuadrado de la distancia al origen Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 7 kg. b) más de 91kg. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística

3 c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo) Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Distribuidor Media Varianza A B Se pide: a) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. Qué porcentaje de los días obtendrían premio? 19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso. 0.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro 5. Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. 1.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 0 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 1 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año..- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(8,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 0 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 3

4 3.- La función de densidad de una n de Pearson es a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10. n 1 x n x - f(x) e si x 0 n 4.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,0) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. 5.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. 6.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X N(175,10). Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 00 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. 7.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 1h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. 8.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 4

5 9.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68? 30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. 3.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 5), calcular: a. Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b. Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c. Porcentaje de días que venderá 600 artículos X Dada una distribución 3 calcular el valor de la abscisa que corresponde al área sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 5

6 35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? 36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 0 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90% Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 0 minutos. Calcular la probabilidad de que: a) No llegue ningún coche en un periodo de 0 minutos. b) Llegue solo un coche en un periodo de 0 minutos. 4.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de parámetros P X. n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 6

7 43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas Un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 00 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues no es aceptable por los compradores. a) Calcular el espesor medio y la desviación típica de las láminas. b) Representar la función de densidad y la de distribución. c) Calcular la proporción de láminas producidas por esta máquina que se desechan El peso de un limón está distribuido según una distribución N(15, 10) en gramos. Cuál es la probabilidad de que una caja con 50 limones pese menos de 6 kg? Si llenamos bolsas de ocho limones, cuál es la probabilidad de que las bolsas pesen entre 975 y 105 gramos? 46.- El consumo diario de una determinada marca de frigoríficos medido en kw/h, es una variable aleatoria normal. El 5% de los días consume menos de.5 kw/h, y el 80% de los días consume menos de.7 kw/h. Cuál es la media y varianza del consumo diario del frigorífico? 47.- Al finalizar las pruebas de selectividad, uno de los tribunales comprobó que de 50 alumnos presentados, 00 obtuvieron una calificación inferior a 6. Supuesta normal la distribución de las calificaciones, con una desviación típica de.5, se pide: a) Calcular la media de las calificaciones. b) Si se considera suspenso a los que han obtenido una calificación inferior a 5, qué tanto por ciento de suspensos habrá habido. c) Cuántos alumnos obtuvieron una nota igual a 6? 48.- El etíope Bekele, posee la mejor marca mundial y puede correr la prueba de los 000 metros en un tiempo distribuido según una N(4:5.86, 0:03.00). Su contrincante el keniano S. Morir puede hacer esa misma distancia en un tiempo según una distribución N(4:55.7, 0:0.00). Bekele estableció la mejor marca mundial parando el crono en 4: a) Qué probabilidad tenía de establecer dicha marca? b) Cuál es la probabilidad de que Bekele ganase a S. Morir? c) Cuál es la probabilidad de que ganase en caso de perder 3 segundos por hacer una mala salida? 49.- Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuye normalmente con una media de 148 días y una desviación típica de 185 días. Si el fabricante desea garantizar sus baterías por 36 meses, qué porcentaje de baterías deberán ser cambiadas estando en vigor la garantía? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 7

8 50.- En una carrera de Fórmula 1, el consumo de combustible de un determinado vehículo sigue una distribución por vuelta. Cuando quedan 0 vueltas para el final de 3 la carrera, entra el vehículo a repostar. Cuál es la cantidad mínima de combustible que tiene que repostar para que la probabilidad de que acabe la carrera sea mayor de 0.95? 51.- Calcular las siguientes probabilidades P 13.4 P P P t8 6 P0.6 t ; P t8 t 0. 9; P 0.05 P 0. ; P t P 0. 6 t La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que: a) En una página existan exactamente dos errores. b) En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8. a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X= número de problemas resueltos bien. b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) Cuál será la moda? 54.- La longitud L en milímetros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide: a) P(9.5<L<10.5) b) El valor x tal que P(L<x)= En la fabricación de un cierto tipo de piezas se sabe que el % son defectuosas. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 piezas haya: a) defectuosas? b) ninguna defectuosa? c) menos de defectuosas? 56.- El coeficiente de inteligencia de los universitarios tiene de media 110 y la desviación típica 15. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de estudiantes con coeficiente mayor de 110 y menor de 10. b) El coeficiente mínimo, para que un estudiante sea superdotado. Se denomina superdotados a aquellos que poseen un cociente intelectual que se encuentran por encima del 98% de la población En cierto gimnasio se ha comprobado que de los matriculados días después de Navidades el 30% de ellos no vuelven pasado el mes de enero y el 70% restante U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 8

9 permanecen todo el año. Si suponemos que este año, se inscriben 100 alumnos días después de Navidades. Respecto de los inscritos después de Navidades a) Identificar la variable aleatoria del problema e indicar qué distribución sigue. b) Cuál es la probabilidad de que 5 o menos no vuelvan pasado enero? c) Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 alumnos no vuelvan pasado enero? d) Cuál es la probabilidad de que más de 35 alumnos no vuelvan pasado enero? Al hacer la inscripción realizan un único pago anual de 750 euros. Cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 10 euros (se considera que los alumnos que permanecen menos de un mes no generan gasto). e) Cuál es el beneficio anual esperado? 58.- Supongamos que el 5% de la población que ingresa en los hospitales de Madrid por urgencias tiene menos de 9 años. Supongamos, también, que el número de ingresos es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 16 enfermos ingresados por urgencias. Calcular: a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 9 años. b) La probabilidad de que 3 o menos ingresados tengan menos de 9 años. c) La probabilidad de que tengan menos de 9 años menos de 3 ingresados. d) La probabilidad de que tengan menos de 9 años más de ingresados. e) La probabilidad de que tengan menos de 9 años ingresados o más. f) La probabilidad de que el número de ingresados con menos de 9 años este comprendido entre y 5 ambos inclusive. g) El número medio de ingresados con menos de 9 años. h) La desviación típica de ingresados con menos de 9 años 59.- El tiempo en minutos de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan material hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos? b) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos? c) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente 65 minutos. d) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor que 55 minutos? e) Determinar el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de los viajes Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución N(4, 3). a) Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con menos de 0 horas de prácticas? b) Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permiso si el 68% de los conductores ha necesitado más horas que él? Si la autoescuela ingresa por alumno una parte fija en concepto de matrícula de 300 euros, más 5 euros por hora de práctica. c) Calcular el ingreso por alumno esperado. d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 9

10 61.- Para una distribución N(9, ), calcular: a) El valor del percentil 60. a) El valor del primer cuartil. b) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones. 6.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a una oposición, se distribuyen normalmente con media 6,5 y varianza 4. a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Calcular el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5? 63.- De una distribución normal se conoce: El percentil 70 es igual a 88 y 0.7 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. Hallar los parámetros que definen esta distribución normal Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P 4 p P 3 p P p a) 6 ; b) 6 ; c) 6 ; d) 7 P 4 p 65.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P x 0.90 P x 0.05 P x a) 5 ; b) 5 ; c) 5 ; d) 5 e) Px ; f) P6 x 0.95 ; g) P6 x 0.05 ; h) P 7 x ; i) P 7 x P x Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P t 0.3 p P t 1 p P t.5 p a) 9 ; b) 9 ; c) 15 ; d) 7 e) P p ; f ) Pt 3.75 p; t P t p g) P 1.75 t 1.5 p Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P t x P t x P t x a) 5 ; b) 5 ; c) 5 ; d) 5 e) Pxt5 x 0. 05; f) Pxt ; e) Pt6 x 0. 95; f) Pt x 0. 05; g) Pt x ; h) Pxt x P t x ; 68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 3 clientes estén a favor. b) Que más de 3 clientes estén a favor. c) Que menos de 3 clientes estén a favor. d) Que como máximo 3 clientes estén a favor. e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 10

11 f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor. g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes. h) Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85? 69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 3 cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl? b) Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? 70.- Solo 4 de los 00 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, cuál es la varianza en las estaturas? 71.-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. 7.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X N(10,8) e Y N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. e) Calcular la media y varianza El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl?. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 3 cl? 4. Entre 3 y 34 cl? b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 11

12 75.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: P 3 p P 3 p P 7 p; 1) 7 ; ) 7 ; 3) 7 4) Pt p; 5) Pt p ; 6) P 1 t 1 8 b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P x 0.95 P x ) 5 ; ) 5 3) P t6 x 01. ; 4) P 6 x. 8 t 01 p Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 1, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 1.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 5. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 5: a) Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el % de las notas más bajas? b) Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 0% de las notas más altas? c) Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 5 puntos exactamente? d) Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)? 77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos: a 1 ) Tengan una separación menor que 149. a ) Tengan una separación comprendida entre y a 3 ) Tengan una separación mayor que b) Cuartiles de la distribución El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 minutos? 79.- El Departamento de Transportes de un cierto país ha determinado que la licitación ganadora (baja) y en euros por contrato de reparación de carreteras, tiene una 3 k si x 3k distribución uniforme con función de densidad: f(x) 7k 3 0 en otro caso donde k es la estimación que hace el Departamento sobre el coste de la reparación. a) Calcular la media y la desviación típica. b) Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están por debajo de la estimación del Departamento de Transportes? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 1

13 c) Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están 1,5 veces por encima de la estimación del Departamento de Transportes? 80.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución de Poisson de media cuatro años. a) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria T. b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años. c) Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos? d) Calcular la probabilidad de un componente electrónico que ha funcionado ya más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años En un ascensor se permite subir 8 personas. Se sabe que el peso de una persona es una variable aleatoria N(65,17). Si el límite de seguridad del ascensor es de 650 kg, calcular la probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 13

14 1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que llegar cuando el semáforo está verde es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes. La probabilidad de éxito llegar será: 15 1 p En 4 pruebas tenemos una distribución B(4,1/5) P(X = k) = n k 4k k p k q n k = k P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = ) = P(X = 3) = P(X = 4) = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 14

15 .- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. Consideramos la variable aleatoria X= número de máquinas averiadas en un día Tenemos una distribución B(10,1/5) P(X = k) = n k p k. q n k= k 10k k 5 5 a) Cuya media es 1 E[X] np 10 Perdida igual a por 500= b) P(X = 0) = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 15

16 3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 0 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 0, cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución. Consideramos la variable aleatoria X= número de alumnos que terminan la carrera Tenemos una distribución B(0,0.8) P(X = k) = n k p k q n k 0 k. 0,8 1 0,8 k = 0 k 0 0,8 1 0, a) P(X = 16) = 016 0, b) Cuya media es E[X] np 00,8 16 c) Cuya varianza es V[X] npq 0 0,80, 3, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 16

17 4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. Consideramos la variable aleatoria X= número soldaduras defectuosas, donde la probabilidad de encontrar una soldadura defectuosa es p = 10/100 = 0,1 Tenemos una distribución B(5,0.1) P(X = k) = n k p k q n k. 5 = 0,1 k 1 0,1 5 k k 5 0 PX 1 1 PX 1 1 PX 0 1 0,1 1 0, , Cuya media es E[X] np 50,1 0,5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 17

18 5.- Se supone que el n de bacterias por mm 3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm 3 de agua? Llamamos X a la variable aleatoria " Número de bacterias en 1 mm 3 de agua", su función de k k 1 1 probabilidad es P(X k) e si >0. En nuestro caso: P(X k) e y para k! k! P(X 0) e = 0! e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 18

19 6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=000 y p=0,000 o bien una distribución de Poisson de media np=0,4; ya que se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros). b) Distribución de Poisson de parámetro λ=0,4, luego cuatro datos incorrectos c) Media: λ=np= 0,4 0, 4 P(X 4) e 4! 0, 4 P(X k) e k! 4 0,4 0, k 0,4 y exactamente U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 19

20 7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 0 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 0 segundos la k k frecuencia de paso de vehículos es : P(X k) e = e k! k! a) 5 k P(X5) 1P(X5) 1 e 0, k! k0 b) Para 10 segundos λ=1 1 P(X 0) e 0! 0 1 0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 0

21 8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre 0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre 0 y 0 euros. La distribución uniforme en el intervalo a,b tiene por función de densidad: 0 si x a 1 a b b a f (x) si a x b con media y varianza. b-a 1 0 si b<x En nuestro caso: 0 si x0.5 f(x) 1 si -0.5x0.5 0 si 0.5<x con media 0 y varianza 1 1 Si una variable es suma de n variables independientes, con medias i y varianzas i, su distribución tenderá a ser normal, con media igual a la suma de medias y varianza igual a la suma de las varianzas, cuando n, número de sumandos, tienda a infinito. Es decir, la variable se aproximará a N i, i. i i 1 La varianza de una distribución uniforme es: 1, luego en n según el teorema es n 1. Por tanto para n=1000, tenemos N 0, N 0, 1 3 P( 0 X 0) P(X 0) P(X 0) =F(0)-F(-0) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 1

22 9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. P X x 0.95 b) El error x tal que a) Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t x 1 0) x F(x) P(X x) e dt e dt 1.5 Así pues: PX 0,51P X 0,51F(0,5) b) P X x P( x X x) 0.95 F(x) P(X x) x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística

23 10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, ). a) Cuál es la duración total media del proceso? b) Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 15 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso. X1 N(50,5) ; X N(70,3) ; X3 N(80,4), luego Y X1X X3 N(, ) a) EYEX EX EX Con 1 3 VYVX VX VX b) P Y 15 F(15) c) P Yt F(t) 0.97 t = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 3

24 11.- Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que. b) mayor que 1 y menor que. c) negativo. d) en valor absoluto menor que 1. La variable aleatoria cierre de triángulo X N(1,) cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t 1) x x 1 1 F(x) P(X x) e dt e dt a) P(X ) 1P(X ) =1-F() b) P(1 X ) P(X ) P(X 1) =F()-F(1) c) P(X 0) =F(0) d) P( X 1) P( 1X 1) P(X 1) P(X 1) P(X 1) 1F(1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 4

25 1.- Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días. La variable aleatoria número de teodolitos fabricados en un día X N(70,3) cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t 70) x 3 x 1 1 F(x) P(X x) e dt e dt 3 a) P(X 60) 1P(X 60) 1F(60) b) P(X x) =0.95 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 5

26 13.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana X n3 a) Buscaremos el máximo en la función de densidad #1: CHI_SQUARE(x, 3) d #: CHI_SQUARE(x, 3) dx - x/ - x/ x e #3: e + - π π x π x - x/ d - x/ x e #4: e + - dx π π x π x - x/ - x/ e x e #5: - 4 π x 4 π Resolviendo la ecuación f (x)=0 #7: x = x = 1 F(M) P M 0.5 M b) n3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 6

27 14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución de media 5 minutos. n a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? a) P n b) n5 P x 0.5 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 7

28 15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que b) Media del cuadrado de la distancia al origen. Un punto P(X1,X,X3) donde Xi a) P n3 0,35 1 P n3 0,35 N(0,1) si calculamos d(o,p) X X X 1 3 n b) E n3 n 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 8

29 16.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil. X n6 a) P n P 4 5 P 5 P 4 = b) n6 n6 n6 P Q 0.5 Q c) n6 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 9

30 17.- El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 7 kg. b) más de 91kg. c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo). La variable aleatoria peso X N(68,10) cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t 68) x 10 x 1 1 F(x) P(X x) e dt e dt 10 a) P(48 X 7) P(X 7) P(X 48) F(7) F(48) 0, En una población de 500 estudiantes será: 500.(0, ) aproximadamente 316 b) P(X 91) 1P(X 91) 1F(91) 10, En una población de 500 estudiantes será: 500.( ) aproximadamente 5 c) P(X 68) 0 P(67,5 X 68,5) P(X 68,5) P(X 67,5) F(68,5) F(67,5) En una población de 500 estudiantes será: 500.( ) aproximadamente 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 30

31 18.- Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Distribuidor Media Varianza A B Se pide: a) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. Qué porcentaje de los días obtendrían premio? La variable aleatoria nº de productos distribuidor A X N(90,0) La variable aleatoria nº de productos distribuidor B Y N(300,10) a) P(X 30) 1P(X 30) 1F(30) , por tanto, el 6,68 por 100 de los días obtendrá premio el distribuidor A. b) P(Y 30) 1P(Y 30) 1F(30) , el,8 por 100 de los días obtiene premio el distribuidor B c) Si se asocian el número de productos vendidos al día tendrá de media 590, y desviación típica XY XY P(X Y 30) 1P(X Y 30) 1F(30) 1-0=1 Obtendrían premio el 100% de los días U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 31

32 19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso. Consideramos la variable aleatoria X= articulo defectuoso, donde la probabilidad es p = 4/1000 = 0,004 Tenemos una distribución B(5,0.004) P(X = k) = n k p k. q a) 5 1 PX 1 0, , , b) k = 5 k n k 5 0, ,004 k 5 PX 1 1 PX 1 1 PX 0 1 0, , , , U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 3

33 0.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro 5. Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. Llamamos X a la variable aleatoria " Número de individuos albinos", su función de k probabilidad es P(X k) e si >0. k! k 5 5 En nuestro caso: P(X k) e y para k! a) b) ! e 0 5 P(X 0) e = P(X ) P(X 0) P(X 1) e + e = 6e 0! 1! e 5 c) P(X3) 1P(X3) 1P(X0) P(X1) P(X) 1 e e - e = 1- e 0! 1!! 0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 33

34 1.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 0 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 1 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año. X15 La variable aleatoria nº de libros X N(15,.5) Y N(0,1).5 a) P(X 11) F(11) ,48% b) P(X 0) 1P(X 0) 1F(0) ,8% c) P(7 X 1) P(X 1) P(X 7) =F(1)-F(7) ,44% d) P(r X s) =0.5 Fs = F(r) 0, Los valores pedidos son: , e) P(X x) P(X x) 1 F x F x =0. x = libros U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 34

35 .- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(8,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 0 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40. Sea A la mortandad de las orugas con Actelic, N(8,4.5), cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t 8) x 4.5 x 1 1 F(x) A P(Ax) e dt e dt 4.5 Sea M la mortandad de las orugas con Metoxidoro, N(58,4.9), cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t x 1 58) x F M (x) P(Mx) e dt e dt 4.9 a) Así pues: PA 0F A(0) b) Ahora la distribución M A N 58 8, N 30, PMA401PMA40 1F(40) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 35

36 3.- La función de densidad de una n de Pearson es n 1 x n x - f(x) e si x 0 n a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10. a) Para calcular la moda debemos obtener el máximo de la función de densidad n/ x/ d x e #: dx n/ n Γ - (n + )/ - x/ (n - 4)/ e x (x - n + ) - #3: n n4 1-1! x (x n )x - f '(x) e =0 x n, si n> n n 1! para n> la moda es n- Para n=1, se obtiene: 1/ x/ x e #6: 1/ 1 Γ Para n=, se obtiene: - x/ e #7: Si n=1 ó n= no hay moda b) Para n=10 La mediana, x, es tal que F(x) f (t)dt 0,5 0 x 4 - x/ x e #10: dx = x #11: x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 36

37 4.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,0) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. T N 100,0 C N 140,10 y a) P(T 150) 1P(T 150) 1F T (150) b) P(r C s) =0,95 FC s =P(C<s) 0,05+0,95=0, , F C(r) P(C r) 0, 05 10, Los valores pedidos son: , c) Ahora la distribución T C N , 0 10 N 40, PT CPT C01PT C01F(0) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 37

38 5.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. Consideramos la variable aleatoria X= número de artículos con burbujas con p=0,001 y n=8000. Podemos considerar una distribución Binomial o una distribución de Poisson Para una distribución B(0.001,8000) n k 8000 k p 1p 0, , 001 k k 10 k 10 k P(X = k) = k k0 k 0, k a) P(X 7) 0, , F(M) P(XM) 0,001 10,001 0,5 M 10k k0 k M 8 k b) c) Varianza=np(1-p)=8000 0,001 0,991=7.99 Otra forma de resolver el problema, dado que n es grande y p pequeño es con una Distribución de Poisson de parámetro λ=np=8: k k 8 8 P(X k) e = e k! k! 6 k 8 8 a) P(X 7) e k! k0 b) 8 M 8 k! M k 8 F(M) P(X M) e 0,5 k0 c) La varianza coincide con la media λ=8. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 38

39 6.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X N(175,10). Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 00 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. La variable aleatoria altura X N(175,10) a) P(165 X 00) P(X 00) P(X 165) F(00) F(165) b) P(190 X 00) P(X 00) P(X 190) F(00) F(190) c) P(190 X 00) P(165 X 00) d) F(r) P(X r) 0.05 r = P( r X s) 0.95 F(s) P(X s) s = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 39

40 7.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 1h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. La variable aleatoria TIEMPO X a) P(X 60) F(60) N(100,10) cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t 100) x 10 x 1 1 F(x) P(X x) e dt e dt 10 b) P(X 90) 1P(X 90) 1F(90) c) P(X t) F(t) 0,90 t = minutos a partir de las 11:30 horas resulta que el examen debe acabar a las 13h 3m d) P(que acabe al menos uno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(que no acaben ninguno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(los 10 acaben depués de 90 minutos)= =1-(P(uno acabe depués de 90 minutos)) 10 = =1-P(X>90) 10 =1-(1-P(X<90)) 10 =1-(1-F(90)) 10 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 40

41 8.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas. Consideramos la variable aleatoria X= número de respuestas correctas Tenemos una distribución B(10,1/3) k 10k n k 10k P(X = k) = p 1p 1 k k 3 3 a) k 10k P(X 5) 1P(X 5) 1 1 k0 k b) P(X = 0) = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 41

42 9.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68? La variable aleatoria contenido de una lata X N(33,1) a) P(X 34) 1P(X 34) 1F(34) b) El contenido de las 3 latas: 3X X X X N 99, 3 P(3X 100) =F 3X(100) c) P(X x) 0,68 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 4

43 30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana. X n3 n3 F(M) P M 0.5 M U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 43

44 31.- La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. Consideramos la variable aleatoria X= número de problemas resueltos bien Tenemos una distribución B(7,0.8) n k nk 7 k p 1p k k P(X = k) = 7 3 7k k0 k k a) P(X 4) 1 P(X 4) b) P(X = 3) = k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 44

45 3.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución. k k 7 7 Distribución de Poisson de parámetro λ=7 en 1 minuto: P(X k) e = e k! k! a) b) 10 k 7 7 P(X 10) 1P(X 10) 1 e k! 7 P(X 7) e 7! k c) La varianza coincide con la media λ=7. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 45

46 33.- Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 5), calcular: a) Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b) Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c) Porcentaje de días que venderá 600 artículos X. a. P(X 550) F(550) 0, b. F(x) P(X x) 0,90 x = , luego se necesitan 633 artículos c. P(599,5 x 600,5) P(x 600,5) P(x 599,5) F(600,5) F(599,5) 0, Por tanto, el porcentaje de días que se vende 600 artículos será 1,6% U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 46

47 34.- Dada una distribución 3 calcular el valor de la abscisa que corresponde al área sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05: n3 n3 n3 P x 0,05F(x) P x 1P x 0,95 x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 47

48 35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? Consideramos la variable aleatoria X= número de alumnos que terminan la carrera Tenemos una distribución Binomial: B(10,0.7) P(X = k) = n k p k q n k. 10 0,7 1 0,7 k k = 10 k 10 0,7 1 0,7 7 7 a) P(X = 7) = b) Cuya media es E[X] np 100,7 7 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 48

49 36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución. Distribución de Poisson de parámetro λ=1 en 1 minuto: a) 1 P(X 0) e 0! k k 1 P(X k) e = e k! k! 1 b) 1 k P(X ) 1P(X ) 1 e =1- e k! k0 c) F(x) P(X x) 0,5 x 1 d) La varianza coincide con la media λ=1. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 49

50 37.- Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 0 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90%. Si X es el suceso número de piezas defectuosas, entonces X Bn 0, p Debemos calcular PXm 0.9. m Como en una distribución es binomial se verifica P X 1 0, P X 0, P Xm P X i 0.9, entonces Por tanto, podemos garantizar con una probabilidad mayor de 0.9 que hay como máximo piezas defectuosas en el lote de 0 piezas. Con una probabilidad de 0, garantizaríamos que existen como máximo 1 pieza defectuosa. Así pues, el número máximo que podemos garantizar con una probabilidad de 0.9 es de dos piezas. i0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 50

51 38.- Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña. Si X es la variable aleatoria número de hijos varones en una familia de cinco hijos X B n 5, p=0.49. Función de probabilidad n k k nk P Xk p (1p) 5 4 a) PX b) La probabilidad de tener al menos un niño es la probabilidad complementaria de no tener un niño PX 11P X c) Que tenga una niña, significa que tiene 4 niños PX d) Que tenga al menos una niña, significa que no tenga más de cuatro niños. 5 PX 4 1 PX 4 1 PX U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 51

52 Distribuciones discretas y continuas 39.- La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años. Sea A el suceso el vehículo con más de diez años supera la prueba de I.T.V., entonces 4 1 PA p q 1p y n=4. Tenemos que X es el suceso número de vehículos que pasan con éxito la ITV, entonces X Bn 4, p 5. Función de probabilidad n k k nk P X k p (1 p) a) Px b) Pasan la prueba al menos un vehículo si la pasan 1,,3 o 4, es decir PX11PX11PX U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 5

53 40.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto. Si X es el suceso número accesos en un minuto, entonces X P 3. k P Xk e k! Función de probabilidad a) 3 PX 0 e 0! b) PX 1P(X ) 1F() 1P(X 0) P(X 1) P(X ) e e e ! 1!! U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 53

54 41.- El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 0 minutos. Calcular la probabilidad de que: c) No llegue ningún coche en un periodo de 0 minutos. d) Llegue solo un coche en un periodo de 0 minutos. Si X es el suceso número coches en 0 minutos, entonces X P 5. k P Xk e k! Función de probabilidad a) 5 PX 0 e 0! b) 5 PX 1 e 1! U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 54

55 4.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de parámetros n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular P X Se trata de X Bn 15, p Para el cálculo de la media y varianza aplicamos las fórmulas estudiadas en la teoría np 6 npq Los valores de X comprendidos entre X son los valores 5,6 y 7. Por tanto, Función de probabilidad P X P X P n k PX k nk P X k p (1 p) X = PX 5 PX 6 PX = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 55

56 43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas. Sea X la variable aleatoria que representa el número de latas consumidas durante un día. X sigue una distribución uniforme de parámetros a=60 y b= La probabilidad de consumir k latas es PXk 41 a) La función de distribución: 0 si x<60 1 si 60 x<61 41 si 61 x<6 F(x) 41 3 si 6 x< si 100 x b) P74 X 95 PX PX P75X1PX c) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 56

57 44.- Un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 00 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues no es aceptable por los compradores. a) Calcular el espesor medio y la desviación típica de las láminas. b) Representar la función de densidad y la de distribución. c) Calcular la proporción de láminas producidas por esta máquina que se desechan. La función de densidad de la distribución Uniforme es: 0 si x a 1 fx ( ) b-a si a x b 0 si b< x Media: a b Varianza: b a 1 En nuestro caso: 0 si x f (x) si 150 x si 00<x a) Espesor medio a b mm. Desv. típica: b a b) Función de densidad y Función de distribución c) PX 160 dx , 0% U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 57

58 45.- El peso de un limón está distribuido según una distribución N(15, 10) en gramos. Cuál es la probabilidad de que una caja con 50 limones pese menos de 6 kg? Si llenamos bolsas de ocho limones, cuál es la probabilidad de que las bolsas pesen entre 975 y 105 gramos? X= peso de 50 limones N(, ) El peso de cada limón sigue una distribución Normal, luego 50 limones se corresponde con la suma de las 50 distribuciones normales, resultando: i i N, N 650,50 P X 6000 F(6000) Ahora será: X= peso de 8 limones N(, ) Para bolsas de 8 limones N i, i N 1000,0 P 975 X 105 F(105) F(975) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 58

59 46.- El consumo diario de una determinada marca de frigoríficos medido en kw/h, es una variable aleatoria normal. El 5% de los días consume menos de.5 kw/h, y el 80% de los días consume menos de.7 kw/h. Cuál es la media y varianza del consumo diario del frigorífico? X= consumo en kw/h N(, ) P(X<,5) = 0,5, puesto que son el 5% y P(X<,7) = 0,8, ya que representan el 80%. Tipificando, X,5,5,5 P P Z F 0,5 y observando que X Z N(0,1), se tiene que:, (1) Por otra parte, X,7,7,7 P PZ F 0,8 Y observando la normal tipificada, () Resolviendo el sistema (1) y () resulta: ; U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 59

60 47.- Al finalizar las pruebas de selectividad, uno de los tribunales comprobó que de 50 alumnos presentados, 00 obtuvieron una calificación inferior a 6. Supuesta normal la distribución de las calificaciones, con una desviación típica de.5, se pide: a) Calcular la media de las calificaciones. b) Si se considera suspenso a los que han obtenido una calificación inferior a 5, qué tanto por ciento de suspensos habrá habido. c) Cuántos alumnos obtuvieron una nota igual a 6? X X= aprobado en selectividad N(, ) N(,.5) Z N(0,1) a) La proporción de alumnos que obtuvieron una calificación inferior a 6 es: 00/50 y observado la distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: X x x x 00 P PZ F 50 Para una desviación típica de,5 x 00 6 F Media μ = b) Tenemos una distribución Normal de parámetros μ = y σ=.5 PX 5F En tanto por ciento, 67,06% c) Obviamente P(X=6)=0 Podemos considerar el intervalo (5.95, 6.05) puesto que la variable es continua y exactamente no se obtiene el valor 6. P 5.95 X 6.05 F6.05 F(5.95) Para 50 alumnos resulta: Aproximadamente 3 alumnos U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 60

61 48.- El etíope Bekele, posee la mejor marca mundial y puede correr la prueba de los 000 metros en un tiempo distribuido según una N(4:5.86, 0:03.00). Su contrincante el keniano S. Morir puede hacer esa misma distancia en un tiempo según una distribución N(4:55.7, 0:0.00). Bekele estableció la mejor marca mundial parando el crono en 4: a) Qué probabilidad tenía de establecer dicha marca? b) Cuál es la probabilidad de que Bekele ganase a S. Morir? c) Cuál es la probabilidad de que ganase en caso de perder 3 segundos por hacer una mala salida? Primeramente pondremos solamente segundos: N(, ) N 9.86, 3 X1= tiempo empleado por Bekele 1 1 X= tiempo empleado por S.Morir N(, ) N 95.7, a) PX F b) En una distribución de media la diferencia de medias y varianzas la suma de las varianzas: X1 - X N( 1, 1) N(, ) N( 1, 1 ) N.86, 13 P X X P X X 0 F c) PX 3 X PX X 3 F U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 61

62 49.- Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuye normalmente con una media de 148 días y una desviación típica de 185 días. Si el fabricante desea garantizar sus baterías por 36 meses, qué porcentaje de baterías deberán ser cambiadas estando en vigor la garantía? X= tiempo en días N(, ) N 148, 185 Para 36 meses obtenemos 1080 días Hay que cambiar la proporción de baterías que no lleguen a 1080 días. P X 1080 F % U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 6

63 50.- En una carrera de Fórmula 1, el consumo de combustible de un determinado vehículo sigue una distribución 3 por vuelta. Cuando quedan 0 vueltas para el final de la carrera, entra el vehículo a repostar. Cuál es la cantidad mínima de combustible que tiene que repostar para que la probabilidad de que acabe la carrera sea mayor de 0.95? El consumo en cada vuelta sigue una distribución 3 por tanto, el consumo en cada una de las 0 vueltas que faltan vendrá determinado por una distribución X i χ 3 con i = 1,,...,0. Así pues, la cantidad total de combustible consumido en las veinte vueltas será la suma de 0 distribuciones 3, independientes, por tanto, 0 0 Xi 3 60 i1 i1 Nos piden la cantidad mínima de combustible que debemos repostar para que, la probabilidad de cubrir el consumo de las 0 vueltas sea mayor de 0.95, n60 n60 P x 0,95 P x 0, 05 Aproximadamente 79 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 63

64 51.- Calcular las siguientes probabilidades 1 P P P P P 0.05 P t P0.6 t Con Excel: P P t t =DISTR.CHI(13, 4; 1) 0, P P P =1-DISTR.CHI(1,55;6) 0, P P 9.6 P 33.6 = =DISTR.CHI(9,6;1)-DISTR.CHI(33,6;1) 0, PRUEBA.CHI. P 0.6 t t 0.4 P 0.05 INV 0,05;9 16, ; P 0.10P 0.9 PRUEBA.CHI.INV 0,9 9 4, P 0.6 P 0.6 P 0.4 P P =PRUEBA.CHI.INV (DISTR.CHI(0,6;1)-0,4;1) 30, P t 0.6 P 0.6 t P t 0.6 =1-DISTR.T(0,6;8;) = 0, P 0.6 t P t 0.6 P t =DISTR.T(0,6;10;1)-DISTR.T(0,879;10;1) 0, P t8 t 0.9 P t8 t 0.1 =DISTR.T.INV(0,1;8) 1, P 0.6 t t P t 0.6 P t t 0.4 P t t P t =DISTR.T(0,6;10;1)-0,4 0, =DISTR.T.INV(*0, ;10) 5, Hay que tener en cuenta las dos colas 10 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 64

65 5.- La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que: a) En una página existan exactamente dos errores. b) En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores. Distribución de Poisson de parámetro λ=3 en 1 página: k k 3 P(X k) e = e k! k! 3 a) 3 P(X ) e! b) 1 k 3 3 P(X) 1P(X1) 1 e k! k0 c) Distribución de Poisson de parámetro λ=5x3=15: 15 P(Y 1) e 1! k k 15 P(Y k) e = e k! k! 15 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 65

66 53.- Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8. a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X= número de problemas resueltos bien. b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) Cuál será la moda? Tenemos una distribución B(4,0.8) a) n 4 k k k nk k P(X = k) = p 1p P(X = 0) = P(X = 1) = k P(X = ) = P(X = 3) = P(X = 4) = k k0 k k b) P(X ) 1 P(X 1) c) Resulta una distribución bimodal {3,4} U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 66

67 54.- La longitud L en milímetros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide: a) P(9.5<L<10.5) b) El valor x tal que P(L<x)=0.975 a) P9.5 L 10.5PL 10.5PL 9.5 F(10.5) F(9.5) b) F(x) P(L x) x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 67

68 55.- En la fabricación de un cierto tipo de piezas se sabe que el % son defectuosas. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 piezas haya: a) defectuosas? b) ninguna defectuosa? c) menos de defectuosas? Tenemos una distribución B(10,0.0) a) b) c) n 10 k k k nk k P(X = k) = p 1p P(X = ) = P(X = 0) = P(X ) F(1) k0 k 10k k 10k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 68

69 56.- El coeficiente de inteligencia de los universiarios tiene de media 110 y la desviación típica 15. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de estudiantes con coeficiente mayor de 110 y menor de 10. b) El coeficiente mínimo, para que un estudiante sea superdotado. Se denomina superdotados a aquellos que poseen un cociente intelectual que se encuentran por encima del 98% de la población. La variable aleatoria peso X N(110,15) cuya función de distribución es: 1(t ) 1(t 110) x 15 x 1 1 F(x) P(X x) e dt e dt 15 a) P(110 X 10) P(X 10) P(X 110) F(10) F(110) Aproximadamente 4,75% b) F(x) P(X x) 0.98 x = A partir de 141 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 69

70 57.- En cierto gimnasio se ha comprobado que de los matriculados días después de Navidades el 30% de ellos no vuelven pasado el mes de enero y el 70% restante permanecen todo el año. Si suponemos que este año, se inscriben 100 alumnos días después de Navidades. Respecto de los inscritos después de Navidades a) Identificar la variable aleatoria del problema e indicar qué distribución sigue. b) Cuál es la probabilidad de que 5 o menos no vuelvan pasado enero? c) Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 alumnos no vuelvan pasado enero? d) Cuál es la probabilidad de que más de 35 alumnos no vuelvan pasado enero? Al hacer la inscripción realizan un único pago anual de 750 euros. Cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 10 euros (se considera que los alumnos que permanecen menos de un mes no generan gasto). e) Cuál es el beneficio anual esperado? a) El experimento que asocia un valor A a cada matriculado que permanece durante todo el año; o un valor A c si el alumno no vuelve después de enero, es un experimento de Bernouilli de parámetro p = 0.3. De esta forma, X es la suma de 100 experimentos de Bernouilli independientes de igual p = 0.3, por tanto X sigue una distribución binomial de parámetros n= 100 y p = 0.3, esto es X B(100,0.3). b) Nos piden P( X 5 ) x 100x PX 5F(5) x0 x Aproximadamente, como mucho el 16% de los matriculados se dará de baja c) Nos piden calcular P( X = 30 ), esto es, el valor de la función de probabilidad en la distribución binomial PX d) Debemos calcular P( X > 35 ) x 100x P( X > 35 ) = 1 P( X 35)=1- F(35)= x0 x 0, e) Por cada alumno tenemos un ingreso de 750. Si se inscriben 100 alumnos tenemos un ingreso total I = = Cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 10 euros. Si X es el número de inscritos que no vuelven, entonces el número de matriculados que permanecen todo el año es 100 X. Por tanto, el gasto anual es G = 10(100 X) y el beneficio anual sobre los matriculados días después de Navidades es B = I G = ( 100 X) y el beneficio medio será: E[ X 1000] = E[ X ] = = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 70

71 58.- Supongamos que el 5% de la población que ingresa en los hospitales de Madrid por urgencias tiene menos de 9 años. Supongamos, también, que el número de ingresos es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 16 enfermos ingresados por urgencias. Calcular: a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 9 años. b) La probabilidad de que 3 o menos ingresados tengan menos de 9 años. c) La probabilidad de que tengan menos de 9 años menos de 3 ingresados. d) La probabilidad de que tengan menos de 9 años más de ingresados. e) La probabilidad de que tengan menos de 9 años ingresados o más. f) La probabilidad de que el número de ingresados con menos de 9 años este comprendido entre y 5 ambos inclusive. Solución g) El número medio de ingresados con menos de 9 años. h) La desviación típica de ingresados con menos de 9 años Sea X = número de ingresos por urgencias con menos de 9 años, entre los 16 elegidos al azar. Entonces X sigue una distribución de Poisson de parámetro np = 0.8. Teniendo k en cuenta que PXk e ; calculamos: k! a) P( X = 0 ) = e 0.8 0! b) P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) = F( 3 ) = c) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) = F( ) = d) P(X > ) = 1 F( ) = = e) P(X ) = 1 P(X < ) = 1 F(1) = f) P( X 5) = F( 5 ) F( 1 ) = 0, , = g) E[ X ] = = = 0.8 ingresados con menos de 9 años. h) V[ X ] = = 0.8; 0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 71

72 59.- El tiempo en minutos de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan material hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos? b) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos? c) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente 65 minutos. d) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor que 55 minutos? e) Determinar el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de los viajes. Solución La variable aleatoria X el tiempo en minutos de un viaje es una distribución uniforme de parámetros a= 50 y b= 70: U(50,70). La función de densidad es 0 si x 50 1 si 50 x 70 x 50 f x 0 F(x) si 50<x en el resto 1 si 70 x 70 1 P X 65 dx 65 0 a) P X 65 P X 65 F 65 dx 50 0 b) P X 65 dx 0. Por ser una variable aleatoria continua c) d) P X 65 P X 65X 55 1 P X 65 4 X 55 PX 55 PX e) Media: a b Desviación estándar: b a U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 7

73 60.- Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución N(4, 3). a) Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con menos de 0 horas de prácticas? b) Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permiso si el 68% de los conductores ha necesitado más horas que él? Si la autoescuela ingresa por alumno una parte fija en concepto de matrícula de 300 euros, más 5 euros por hora de práctica. c) Calcular el ingreso por alumno esperado. d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno. Solución Sea X la variable aleatoria X = número de horas de práctica necesarias para obtener el permiso de conducir, según el enunciado X N(4, 3) a) Calculamos P(X 0) = F(0) = 0,09111 b) Sea x0 el número de horas de prácticas que buscamos (percentil 3) Entonces calculamos el valor x0 de forma que P(X x0 ) = 0,68 F(x0) = 0,3 x0=,5969 c) Para un alumno cualquiera, si X es el número de horas necesarias para obtener el permiso de conducir, el ingreso de la autoescuela será 300 por matrícula más 5X por las horas de práctica, por tanto, el ingreso por alumno es I = X. El ingreso esperado es: E[ I ] = E[ X ] = E[ X ] = = 900 d) En primer lugar calculamos la varianza V[ I ] = V[ X] = 5 V[ X ] = 659 = 565 Por tanto, la desviación típica es la raíz de 565 = 75 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 73

74 61.- Para una distribución N(9, ), calcular: a) El valor del percentil 60. b) El valor del primer cuartil. c) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones. Solución a) P(X < x60 ) = F(x60) = 0.6 x60 = 9.5 b) P(X < x5 ) = F(x5) = 0.5 x5 = c) Los valores a y b tales que entre ellos queda el 40% de las observaciones son aquellos que P(X < a) = 0.3 y P(X < b) = 0.7, por tanto corresponden a los percentiles 30 y 70 respectivamente. P(X < a) = 0.3 a = P(X < b) = 0.7 b = P a Xb 0,4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 74

75 6.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a una oposición, se distribuyen normalmente con media 6,5 y varianza 4. a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Calcular el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5. Sea X la variable aleatoria X = calificaciones, según el enunciado X N(6.5, ) a) Se pide P(X > 8) = 1 F(8) = b) Se pide 100P(X < 5) = 100*F(5) =,667. c) Se pide 500P(5 < X < 7.5) = 500(0, ,667) = 500*0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 75

76 63.- De una distribución normal se conoce: El percentil 70 es igual a 88 y 0.7 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. Hallar los parámetros que definen esta distribución normal. X X N(µ, σ) Z N(0,1) P X P z F 0.7, por tanto, PX P z F 0.7, por tanto, Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 76

77 64.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: a) P6 4 p; b) P6 3 p; c) P p; d) 7 p P 4 F(4) a) 6 P 4 p p P 3 1F(3) b) 6 p P P 5.9 P 3.5 F(5.9) F(3.5) c) p P 4 F(4) 0.0 d) 7 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 77

78 65.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: a) P5 x 0.90 ; b) P5 x 0.05 ; c) P5 x ; d) 5 e) Px ; f) P6 x 0.95 ; g) 6 h) P7 x ; i) 7 a) 5 P x P x F(x) 0.90 x b) 5 P x 0.05 ; P x F(x) F(x) 0.95 x P x F(x) F(x) 0.05 x c) 5 P x 0.975F(x) x d) 5 e) P x P x F(5) F(x) P 5 P x F(x) P x F(5) x P x F(x) 0.95 x 1,5916 f) 6 P x F(x) F(x) 0.95 x 1,5916 g) 6 P x F(x) F(x) 0.05 x h) 7 P x 0.975F(x) x i) 7 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 78

79 66.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: a) Pt 0.3 p; b) Pt 1 p; c) Pt.5 p; d) P t p ; f ) Pt 3.75 p; e) P 0.75 t 1.5 p g) P 1.75 t 1.5 p 7 11 p P t 0.3 F(0.3) a) 9 p P t 1 F( 1) b) 9 p P t.5 1P t.5 1F(.5) 0.01 c) p P t P t F() d) 7 7 p P 0.75 t 1.5 P t 1.5 P t 0.75 F(1.5) F(0.75) e) p P t P(t 3.75) 1F(3.75) f) p P 1.75 t 1.5 P t 1.5 P t 1.75 F(1.5) F(1.75) g) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 79

80 67.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: a) Pt x 0.90; b) Pt x 0.05; c) Pt x ; d) 5 5 e) Px t5 x 0.05 ; f) Px t ; e) 6 f) Pt x 0.05; g) Pt x ; h) Pxt x P t x F(x) 0.90 x a) 5 P t x F(x) 0.05 x.0150 b) 5 c) P t x 0.975F(x) P t x 0.05 x.5706 P t x 0.975F(x) x.5706 d) 5 e) P t x 0.95; P x t x F(x) F( x) F(x) (1 F(x)) F(x) x f) Pxt P t 1.75 P t x F(1.75) F(x) F(x) P t x F(1.75) x P t x F(x) 0.95 x e) 6 P t x F(x) 0.05 x f) 6 P t x 1P(t x) 1F(x) x.4469 g) 6 6 P xt x 0.05 x h) 6 P t x ; 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 80

81 68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 3 clientes estén a favor. b) Que más de 3 clientes estén a favor. c) Que menos de 3 clientes estén a favor. d) Que como máximo 3 clientes estén a favor. e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor. f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor. g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes. h) Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85? X= nº de clientes a favor sigue una distribución binomial de parámetros n= 10 y p = 0.7, esto es X B(10,0.7). La función de probabilidad es: 10 k 10k PXk k 10 P X k 10k P X 3 1P(X 3) 1F(3) k0 k a) 3 7 b) 10 k0 k k 10k P X 3 P X F() c) 3 k 10k P X 3 F(3) d) 10 k0 k k 10k e) PX 61PX 61F(5) k0 k f) E[X]=np= k 10k PX 71PX 71F(6) k0 k g) En contra 4 o más se corresponde con a favor 3 o menos d). h) F(x)=0.85, entonces x=8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 81

82 69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 3 cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl? b) Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? Sea X la variable aleatoria X = contenido de un bote de cerveza en cl, X N(33, 3) a) P X 341 P(X 34) 1 F(34) 0,3694 b) P X 30 F(30) 0,1587 c) Consideramos la variable aleatoria Y=6X, que se distribuye según una Normal de media 6x33 y de varianza 6x9. Y 6X N(198,3 6) P(Y 175) F Y(175) 0,0009 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 8

83 70.- Solo 4 de los 00 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, cuál es la varianza en las estaturas? X 174 X N(174, ) Z N(0,1) PX 168 P Z F 0,1 00, por tanto, = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 83

84 71.- La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. Llamamos X a la variable aleatoria " Número de enfermos que se curan". Se trata de una variable aleatoria discreta con dos sucesos excluyentes: el enfermo se cura o no. Por tanto, corresponde con una distribución binomial y su función de probabilidad es: n k k nk P(X k) p (1 p) 10 k En nuestro caso: n=10 y p=0,65 P(X k) 0,65 (1 0,65) k a) 10 P(X 5) 0,65 (1 0,65) 5 5 n5 0, nk b) P(X ) 1P(X ) 1P(X 0) P(X 1) 1F(1) 0, x 10 k c) La función de distribución: F(x) P(X x) 0, 65 (1 0, 65) k0k La mediana, M, es tal que F(M)=0,5 k F(k) 0 0, , , , , , , , , , nk Dado que no hay un valor exacto de 0,5 se toma F(M)>0,5 y resulta M=7 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 84

85 7.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X N(10,8) e Y N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores. X= ventas mensuales en la tienda X N( 1, 1) N(10,8) Y= ventas mensuales en la tienda Y N(, ) N50,6 a) PX P(X 100) 1 F 100 0, b) PX 40 F 40 0, Y X c) X + Y N(, ) N(, ) N(, ) N170, P 150 X Y 180 F 180 F (150) 0, XY XY U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 85

86 73.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. e) Calcular la media y varianza. Se trata de una variable aleatoria binomial de parámetros n = 8; p =0.4, es decir, B(8, 0,4). La función de probabilidad es: 8 k 8k PXk k a) P(X ) = b) P(X 3) P(X ) F( ) c) P(X 3) F( 3) P(X 5) 1P X 5) 1F( 4) d) e) EX np 3. V X np( p) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 86

87 74.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl. a) Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl?. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 3 cl? 4. Entre 3 y 34 cl? b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? a) 33 f x dx 0 1. PX PX PX F PX 3 F P3 X 34 F34 F b) P X x 095. F x 095. x P P X x 005. F x 005. x P P X x 05. F x 05. x 33 Mediana c) Sea B=6X la variable aleatoria contenido de 6 botes. B N6033., 61 N 198., 6, por tanto, calculamos P B. F U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 87

88 75.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: 1) P 3 p; P 3 p 7 ) 7 ; 3) 7 P 7 p; 4) Pt p; 5) Pt p; 6) 8 b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica: P x 0.95 a) 1) 5 ; ) 5 3) P t6 x 0.1; 4) 6 1) p P 7 3 F(3) ) 7 7 3) p P 7 7 F(7) 8 8 5) p Pt8 F() 6) P 1t 1 p P x 0.05 P t x 0.1 p P 3 1P 3 1F(3) ) p P t 1P t 1F() p P 1 t 1 F(1) F( 1) F(1) (1 F(1)) F(1) b) 1) 5 ) 5 P x 0.95 F(x) x P x 0.05 F(x) x = ) P t x 1P t x 1P x t x 0.1 F(x) F(x) x ) P t x P( x t x) F(x) F( x) F(x) F(x) x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 88

89 76.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 1, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 1.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 5. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 5: a) Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el % de las notas más bajas? b) Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 0% de las notas más altas? c) Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 5 puntos exactamente? d) Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)? Solución La variable puntuación sigue una distribución N(30, 5) P X x 0. F x 0. x 6.14 a) P X x 0. P X x 08. F x 08. x 34. b) P 4. 5 X 5. 5 F 5. 5 F , por tanto, c) 4.84% P X 4. 5 F , por tanto, 13.56% d) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 89

90 77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos: a 1 ) Tengan una separación menor que 149. a ) Tengan una separación comprendida entre y a 3 ) Tengan una separación mayor que b) Cuartiles de la distribución. Si designamos con X a la variable aleatoria distancia entre dos aerogeneradores vecinos, se tiene: a1) P(X < 149) = F(149) a) P(149.5 < X <149.9) = F(149.9) F(149.5) a3) P(X>149.9 ) = 1-P(149.9 < X) = 1 F(149.9) b) Primer cuartil=q1 F(Q1)=P(X<Q1)=0.5, luego Q1 = Segundo cuartil es la mediana que coincide con la media 150 Tercer cuartil=q3 F(Q3)=P(X<Q3)=0.75, luego Q3 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 90

91 78.- El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 minutos? El tiempo empleado por los 4 corredores será la suma de los tiempos de cada corredor: X1XX3X4 N(, ) E X X X X V X X X X 0,5 0,5 0,5 0, X1XX3X4 N(40,1) P(X1XX3X4 37) F(37) 0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 91

92 79.-. El Departamento de Transportes de un cierto país ha determinado que la licitación ganadora (baja) y en euros por contrato de reparación de carreteras, tiene una 3 k si x 3k distribución uniforme con función de densidad: f(x) 7k 3 0 en otro caso donde k es la estimación que hace el Departamento sobre el coste de la reparación. a) Calcular la media y la desviación típica. b) Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están por debajo de la estimación del Departamento de Transportes? c) Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están 1,5 veces por encima de la estimación del Departamento de Transportes? Comprobemos en primer lugar que f(x) es una función de densidad: 3k 3 f(x)dx k dx 1 3 7k para cualquier valor de k. además f (x) 0, k > 0, por tanto, f(x) es una función de densidad a) 3 xf (x)dx x dx 7k 11 k 6 3k k 3 3k x f(x)dx k x k dx k 3 6 7k k 18 b) c) k 3 1 P( k X k) k dx 3 por tanto, el porcentaje de licitaciones ganadoras 3 7k 7 pedidas por debajo de k es14.8% 3k 3 9 P(1,5k X) dx por tanto, el porcentaje de licitaciones ganadoras 1,5k 7k 14 pedidas que superan 1.5 veces la estimación del Departamento de Transportes es 64.9% U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 9

93 80.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución de Poisson de media cuatro años. a) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria T. b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años. c) Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos? d) Calcular la probabilidad de un componente electrónico que ha funcionado ya más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años. a) La distribución de Poisson se caracteriza por tener un único parámetro λ que coincide con la media, por lo tanto, la función de probabilidad es: k k 4 4 P(X k) e e para k=0,1,,3, k! k! b) El componente electrónico fallará antes de tres años si su vida útil es menor que tres años. F(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=)= 0, c) La vida útil t pedida, es la solución de la ecuación F(x)=0,95 k 4 4 La función de distribución es: F(x) P(X x) e 0,95 kx k! Por ser una variable aleatoria discreta puede que no exista un número entero que satisfaga la ecuación. Obtenemos que F(7)= 0, y F(8)= 0, , luego la respuesta es 8 años d) P(X 7 X 4) P(X 7) 1F(7) 10, P(X 7 / X 4) P(X 4) P(X 4) 1F(4) 10, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 93

94 En un ascensor se permite subir 8 personas. Se sabe que el peso de una persona es una variable aleatoria N(65,17). Si el límite de seguridad del ascensor es de 650 kg, calcular la probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad. Sea Xi la variable aleatoria peso de una persona Xi N(65, 17). Por ser los pesos de las personas que suben al ascensor variables aleatorias independientes, la suma de los pesos de las ocho personas seguirá una distribución normal. Si llamamos X a la variable aleatoria peso de las ocho personas, la media de la variable X es: E [X] = E [8 65 ] = 50 siendo la varianza la suma de las varianzas V[X]=8 17 =31 Observe que sumar n variables aleatorias no es lo mismo que multiplicar por n una variable aleatoria. Al calcular el peso de las ocho personas, se está sumando ocho variables aleatorias independientes. Si multiplicamos el peso de una persona por ocho, se multiplica por ocho el peso de sólo una variable aleatoria. La probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad es: P(X > 650) = 1 P(X 650) = 1- F(650)= U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 94

95 Distribución Normal. Una variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribución normal o de 1(x ) 1 Laplace-Gauss de media y desviación típica : f(x) e es su función de densidad. es la llamada campana de Gauss. La función de distribución es: 1(x ) x 1 F(x) P(X x) e dx La esperanza matemática o media es y la varianza es. Se denota N(, ). La Normal tipificada o estándar X Z N(0,1) U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

96 Cuantiles Cuantil de orden es un valor de la variable estadística que deja a su izquierda una parte de la población y a la derecha una parte 1- de la población. El Cuantil de orden (0 1) es x tal que F(x )=. Siendo F la función de distribución o la frecuencia relativa acumulada. Los más utilizados son los cuartiles Q1, Q y Q3 que dejan a su izquierda 1/4, 1/ y 3/4 de la población respectivamente. Obsérvese que Q = M (Mediana). Los deciles D1, D,..., D9 dejan a su izquierda 1/10, /10,..., 9/10 de la población respectivamente. Los percentiles P1, P,..., P99 dejan a su izquierda 1/100, /100,... 99/100 de la población respectivamente. El cálculo de los mismos es similar al cálculo de la mediana. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

97 Moda Moda es el valor de la variable que se presenta con más frecuencia dentro de la distribución. En las distribuciones sin agrupar se observa directamente el valor de mayor frecuencia. En las agrupadas, definimos la clase modal como la que tiene mayor frecuencia. NOTA: Algunas distribuciones pueden presentar varias modas. Cada moda corresponde a un máximo absoluto del diagrama de barras o histograma. Para variables aleatorias La moda es el máximo de la función de densidad o de la función de probabilidad

98 Distribución de Poisson Es una distribución que se presenta cuando tenemos una población n grande y la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, tiene una probabilidad muy pequeña (ley de casos raros). Una variable aleatoria tiene distribución de Poisson de parámetro, si toma los valores enteros 0, 1,..., n, con probabilidad: P Esperanza matemática: E = V E E = Varianza: k ( k) k! e si > 0 U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

99 Distribución de Pearson Sean 1,,..., n, n variables aleatorias N(0,1) e independientes, entonces la expresión: n 1... n es una variable aleatoria que recibe el nombre de jidos chi-cuadrado de Pearson (1.857,1936). El número de variables normales sumadas recibe el nombre de grados de libertad, y la representamos por n. La función de densidad de la variable aleatoria n es: n 1 x n - x f (x) e si x 0 n La función de distribución de una variable aleatoria n viene dada por: F(x) P( n x ) f( x)dx x 0 La media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad son: n, n, n respectivamente. Corresponde a una distribución Gamma de parámetros 1/ y n/. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía