Inferencia Estadística

Transcripción

1 Ifereca Estadístca Poblacó y muestra Coceptos y defcoes

2 Muestra Aleatora Smple (MAS) Cosderemos ua poblacó, cuya fucó de dstrbucó esta dada por F(), la cual está costtuda por u úmero fto de posbles valores, de ua certa característca medble. Esta característca puede ser, por ejemplo: el tempo de espera para recbr u servco. el valor de las vetas de u determado producto. Etoces para seleccoar ua muestra aleatora de tamaño de esta poblacó, se dseña u epermeto. De tal maera que la prmera realzacó de ese epermeto os proporcoa la observacó, de la característca medble, reptedo sucesvamete el epermeto bajo las msmas codcoes, para todos los factores cotrolables, tedremos las observacoes:,,

3 Muestra Aleatora Smple Cada observacó correspodete a la repetcó -ésma del epermeto es ua varable aleatora cuya dstrbucó de probabldad es détca a la de la poblacó co característca, para todo =,,...,. (MAS) S la poblacó costa de u úmero fto de elemetos, por ejemplo, persoas, vvedas, establecmetos comercales, etc., y realzamos u muestreo aleatoro co reemplazameto, reterado el proceso veces tedríamos las observacoes: Varables aleatoras, depedetes y uformemete dstrbudas,, de la característca medble de la poblacó, que costtuye la muestra aleatora smple. Cada ua de estas observacoes,,,...,, també es ua varable aleatora cuya fucó de probabldad es détca a la de la poblacó, ya que cada seleccó de algú elemeto que da lugar a ua observacó procede de la poblacó orgal.

4 Muestra Aleatora Smple (MAS) S e la poblacó co u úmero fto de elemetos, se seleccoa aálogamete elemetos s reemplazameto, tedríamos ua muestra aleatora s reemplazameto de observacoes de la característca que estamos vestgado.,, Defcó de MAS Ua muestra aleatora smple de tamaño de ua poblacó está costtuda por u cojuto de varables aleatoras,,...,, depedetes y uformemete dstrbudas a la poblacó, es decr, está costtuda por u cojuto de observacoes muestrales depedetes e détcamete dstrbudas. Varables aleatoras, o depedetes y uformemete dstrbudas Cuado el epermeto se realza, a cada ua de las varables aleatoras se le asgará u valor umérco. Es decr, tedremos la realzacó de la muestra y dremos que ha sdo seleccoada ua muestra.

5 Ejemplo Cosderemos la poblacó formada por los 00 alumos de ua clase de la uversdad. Sus edades aparece e la sguete tabla. N edad N edad N edad N edad N edad N edad Hemos apreddo que la muestra debe ser aleatora, etoces obtedremos 6 úmeros aleatoros, para obteer ua muestra aleatora de 6 estudates, por lo que comezamos geerado estos úmeros.

6 Ejemplo Al utlzar Ecel los úmeros aleatoros se obtee escrbedo e la celda la sguete fórmula: = ALEATORIO() Esta fucó geerará u úmero de forma aleatora que se ecuetra etre 0 y. S el úmero que queremos geerar debe ecotrarse etre 0 y 00, lo úco que teemos que hacer es multplcar por el factor 00 = ALEATORIO()*00 S embargo, como la catdad que buscamos es u úmero etero, se puede dar també dar la struccó de etero para que el úmero que os proporcoe Ecel sea etero, etoces: = ENTERO(ALEATORIO()*00) Número aleatoro Al aplcar estas reglas para geerar lo ses úmeros teemos: Número de alumos

7 Ejemplo Que correspode a los ses estudates de la poblacó cuyas edades está dadas por: Número de alumos Tamaño de la muestra Poblacó de 00 estudates Número aleatoro Proceso aleatoro Muestra aleatora de tamaño ses Edad del alumo Epermeto, medcó de la propedad Valores observados de las varables aleatoras 9 0 6

8 Ejemplo Como estamos teresados e la edad del estudate, cosderamos la varable aleatora: p() 9 0 Se procede de maera aáloga para otras varables aleatoras como: estatura, peso, temperatura, calfcacó, etc. Para el ejemplo vsto, la dstrbucó de probabldades de la varable aleatora se obtee de la sguete maera: de la poblacó sabemos el úmero de estudates cuyas edades so gual a 9, 0, y años, etoces, al ser N=00 el úmero total de la poblacó, la probabldad de que algú estudate tega 9, 0, o años esta dada por: valores de la varable aleatora Probabldad P(=)

9 S seleccoamos ua muestra co reemplazameto, de ses estudates de la poblacó, para observar la edad de cada uo, etoces defremos ses varables aleatoras: : edad del prmer estudate seleccoado. : edad del segudo estudate seleccoado,. 6 : edad del seto estudate seleccoado Cada varable aleatora tedrá ua dstrbucó de probabldad asocada. Así pues, la dstrbucó de la varable aleatora, será eactamete la msma que la dstrbucó de la varable aleatora s reemplazameto ya que ambas varables aleatoras se refere a la edad de u estudate seleccoado al azar. Pero como el muestreo se ha realzado co reemplazameto, se puede ver lo sguete: La varable aleatora, tee la msma dstrbucó de probabldades que o que., y, so depedetes. De gual forma, las varables aleatoras 3, 4, 5, y 6, tee la msma dstrbucó que, y e cosecueca la sucesó de varables aleatoras,,..., 6, so depedetes e détcamete dstrbudas.

10 Defcó MAS Sea la varable aleatora correspodete a ua poblacó co fucó de dstrbucó F(). S las varables aleatoras,,...,, so depedetes y tee la msma fucó de dstrbucó, F(), que la de la dstrbucó de la poblacó, etoces las varables aleatoras,,...,, forma u cojuto de varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas que costtuye ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó F ( ) Al ser las varables aleatoras,,...,, depedetes, resulta que la fucó de dstrbucó cojuta será gual al producto de las fucoes de dstrbucó margales, es decr: F(,, ) S la poblacó de partda es de tpo dscreto y la fucó de probabldad de la poblacó es: p F P( ),,, Regla ( )

11 etoces la fucó de probabldad de la muestra será: p P P ),, ( S la muestra aleatora smple procede de ua poblacó de tpo cotuo co fucó de desdad f(), etoces la fucó de desdad de la muestra será: f f ),, (

12 Ejemplo Sea,, ua MAS de varables, de u a poblacó cuya dstrbucó de probabldad es epoecal co desdad dada por Cuado se observa se regstra la realzacó f f (, ) e ( 0, ) e 0 Se observa se regstra la realzacó. Pero dado que so estadístcamete depedetes y tee la msma desdad f ( ) f ( ) e 0 La fucó de desdad cojuta y es Y se deduce etoces la etesó a es: f (,, ) f (, ) e f (, ) 0

13 Estadístcos muéstrales

14 f Defcó ae ( ) 0 a 0 0 Los parámetros poblacoales so las característcas umércas de la poblacó. U parámetro es ua caracterzacó umérca de la dstrbucó de la poblacó. El coocmeto del parámetro permte descrbr parcal o totalmete la fucó de probabldad de la característca que estamos vestgado. Por ejemplo, s la característca a vestgar sabemos que sgue ua dstrbucó epoecal de parámetro a su fucó de desdad está determada. Dcha fucó de desdad o estará totalmete descrta hasta que o se dé el valor del parámetro a, y etoces será cuado podremos formular pregutas cocretas sobre esa dstrbucó, es decr, podremos calcular las dferetes probabldades. f ( ) e S la característca a vestgar sgue ua dstrbucó ormal, N(,), la fucó de desdad cotee dos parámetros, para descrbr totalmete la fucó de desdad tedremos que dar valores a y a, pues s damos valor sólo a u parámetro etoces dremos que está descrta parcalmete.

15 Compredo E la mayoría de los modelos probablístcos os ecotraremos parámetros cuyos valores tedremos que fjar para especfcar completamete el modelo y poder calcular las probabldades deseadas. Uo de los problemas cetrales e estadístca se preseta cuado deseamos estudar ua poblacó co fucó de dstrbucó F(, ), dode la forma de la fucó de dstrbucó es coocda, pero depede del parámetro descoocdo, ya que s fuese coocdo tedríamos totalmete especfcada la fucó de dstrbucó. S el parámetro o se cooce etoces se seleccoa ua muestra aleatora smple (,..., ) de tamaño de la poblacó, y se calcula para las observacoes de la muestra el valor de algua fucó g(,..., ), que represeta o estma el parámetro descoocdo. El problema es determar qué fucó será la mejor para estmar el parámetro.

16 Defcó Estadístco g g g 3 ), ( ), ( ), ( U estadístco es cualquer fucó real de las varables aleatoras que tegra la muestra, es decr, es ua fucó de las observacoes muestrales, la cual o cotee gú valor o parámetro descoocdo. Es posble defr alguos estadístcos o fucoes de esas varables aleatoras, como por ejemplo: Idetfcamos la poblacó co fucó de dstrbucó F(, ) Cosderamos ua MAS costtuda por varables (AIUD) (,..., ) Los estadístcos se determa sempre a partr de lobservacoes muestrales.

17 Defcó Estadístco De forma geeral al estadístco lo represetaremos por la letra T, es decr: T g(, ) La fucó g() será la fucó que descrba las observacoes muestrales, asmsmo será ua varable aleatora, ya que para cada muestra, el estadístco T tomará u valor dstto. Etoces para ua muestra de observacoes (,..., ))el estadístco tomará el valor T g(, ) W A R N I N G Se toma dsttas muestras y desde luego se obtee valores dferetes para el estadístco, resultado etoces que efectvamete el estadístco T, també es ua varable aleatora, Ahora be, s es ua varable aleatora, etoces també pose su fucó de dstrbucó, la cual se llama Fucó de Dstrbucó Muestral del Estadístco U parámetro y u estadístco so coceptos dferetes, pues el parámetro es ua costate Y el estadístco es ua varable aleatora.

18 Hemos estudado dferetes meddas umércas correspodetes a cojutos de datos, etre otras, estudamos la meda, la desvacó estádar etc. Ahora vamos a dstgur etre meddas umércas calculadas co cojutos de datos poblacoales y las calculadas co datos muestrales. S la medda umérca se calcula para el cojuto de datos poblacoales le llamaremos valor del parámetro poblacoal y s se calcula para el cojuto, de datos muestrales, le llamaremos valor del estadístco muestral.

19 E ua poblacó fta de tamaño N los parámetros poblacoales meda, varaza y proporcó poblacoal vee dados por: P ENP N p N N N N # # Parámetros Estadístcos Para ua muestra aleatora smple de tamaño, (,..., ) los estadístcos: meda, varaza y proporcó muestral se defe como: P EP p S N # #

20 S e vez de cosderar las varables aleatoras, depedetes e détcamete dstrbudas (,..., ) que costtuye la muestra aleatora smple, cosderamos ua muestra cocreta (,..., ) etoces los valores de estos estadístcos muestrales tomaría la sguete forma: # EP pˆ # P Veremos que efectvamete el estadístco es ua fucó de las observacoes muestrales, y e estos casos asga a cada muestra observada la meda de los valores, la varaza o la proporcó, respectvamete.