ANÁLISIS (Selectividad 2016) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2016

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1 ANÁLISIS (Selectividad 6) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 6 Aragón, junio 6 a) (, puntos) Considere la función: f 8 a) (, puntos) Determine las asíntotas, si eisten, de la función f( ) a) (,7 puntos) Determine los etremos relativos, si eisten, de la función f( ) b) (, puntos) Determine: ( + lim ln( )) + + c) (, puntos) Calcule el área de la región encerrada entre las curvas f y g a) La función f no está definida en los puntos y 8, valores en los que 8 se anula el denominador a) En esos puntos tiene asíntotas verticales, pues: lim 8 y lim 8 8 Las asíntotas son las rectas de ecuación y 8 También tiene una asíntota horizontal, pues lim La asíntota es la recta y ± 8 a) Derivando: 8+ f Se anula cuando 8+ 8 f ( 8 ) ( 8 + ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) f 6 8+ ( 8 ) Como f () >, en se tiene un mínimo relativo (También puede llegarse a esa conclusión estudiando el signo de las derivadas laterales en ) b) lim ( ln( + ln( ) ln )) + + [ ] lim lim + + (Aplicando L Hôpital) lim + lim el numerador tiene menor grado que ( + ) el denominador También puede reiterarse L Hôpital dos veces más c) Las curvas f y g se cortan cuando + + y

2 ANÁLISIS (Selectividad 6) Por tanto, el área encerrada entre ellas viene dada por: ( + ) d + + u La situación gráfica (que en este caso no se pide) es la representada en la figura Aragón, junio a) (, puntos) Determine el límite: lim + b) (, puntos) Usando el cambio de variable t cos (), calcule: π π sincos d cos c) ( puntos) Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece debajo, es decir rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo) Sabiendo que el perímetro total de la ventana son metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máima a) lim lim + + Puede hacerse aplicando logaritmos y la regla de L Hôpital + + ln lim lim ln lim ln ln ( )( ) lim ( ) lim + LH + lim + + ( ) ( ) ( + + )( + ) lim Por tanto, lim e + Observación: Aplicando la fórmula 7/ g ( f ) [ ] lím ( f ) g lím e se tiene: lim lim lím lím lím / e e e e [ ]

3 ANÁLISIS (Selectividad 6) b) Si t cos dt sin d Por tanto: sincos cos (sin d) t( dt) d cos cos t Deshaciendo el cambio queda: sin( )cos( ) d cos + ln ( cos ) cos Luego: ln dt t + ( t) π cos ln ( cos ) π sincos d cos π / + π/ t cos π ln cos π cos π ln cos π + + ln ln + + ln + + Se han agrupado los ln y se ha racionalizado c) Si el ancho de la ventana es y la altura y, la suma de las áreas del semicírculo y del rectángulo será: S π + y El perímetro es la suma: ancho + altura de los lados + longitud del arco Si vale m + y+π Despejando la incógnita y y sustituyendo en la función de área se tiene: π y π π Luego: S + ( π ) El máimo de S se obtiene en la solución de S que hace negativa a S ( 8 + π) S, 7 m 8+ π 8+ π Como S <, para ese valor de se tiene el máimo buscado El ancho de la ventana será de, m;, 7 π, 7 la altura de las paredes laterales y,7 m; y su altura máima será también de, m

4 ANÁLISIS (Selectividad 6) Asturias, junio 6 b a) Calcule los valores de a y b para que la función f a tenga como asíntota vertical la recta, y como asíntota horizontal la recta y (, puntos) b) Dados a y b distintos de cero, razone si la función tiene algún etremo relativo ( punto) b a) Para que f a tenga como asíntota vertical la recta es necesario que a y b, pues así: b b lim b Tendrá como asíntota horizontal la recta y cuando lim b b) Derivando: b( a) b ab f ( a) ( a) Si a y b son distintos de cero, la derivada no se anula en ningún punto Por tanto no tendrá ni máimo ni mínimo Asturias, junio 6 a) Dibuje un esquema del recinto cerrado plano finito limitado por las gráficas de las funciones f e, g e y h e ( punto) b) Halle el área de dicho recinto (, puntos) a) Ambas funciones son muy conocidas: pueden representarse dando algunos valores El recinto es el representado en la figura adjunta Las funciones f y h se cortan cuando ; g y h, cuando b) Dada la simetría del recinto, el área, S, puede calcularse como sigue: ( e e) ( e e ) S e e d e + u Asturias, junio 6 En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido Calcule razonadamente la cuantía del máimo premio que se puede obtener en este concurso Se pide construir un rectángulo de perímetro m con superficie máima Si es la base e y la altura, se tiene que + y + y Se desea que la superficie, S y, sea máima

5 ANÁLISIS (Selectividad 6) Como y, sustituyendo en S y S ( ) El máimo de S se obtiene en la solución de S que hace negativa a S Derivando: S Como S <, para ese valor se obtiene el máimo buscado Se trata de un cuadrado de lado, m y superficie, m dm El precio máimo que se puede obtener es de 6 Asturias, junio 6 Determine la función f : (, + ) R sabiendo que es dos veces derivable, que f() e+, que f () e+ y que f e (, puntos) Si f e f e d e c + + Como f () e+ y f () e + + c c Por tanto, f e + + En consecuencia, f e + + d e + ln + + c Por último, como f() e+ y f() e + ln + + c c Por tanto, f e + ln Castilla y León, junio 6 a) Calcular a, b y c para que la función f + a + b + c tenga pendiente nula en el punto (, ) de su gráfica y, sin embargo, no tenga un etremo relativo en dicho punto (, puntos) b) Probar que la ecuación + + tiene una única solución real positiva (, puntos) a) La función y sus dos primeras derivadas son: f + a + b + c f + a + b f 6+ a Por pasar por el punto (, ), f () + a+ b+ c Por tener pendiente nula en (, ), f () + a+ b Si no tiene etremo relativo en (, ), pero f (), en ese punto debe darse una infleión Por tanto, f () 6+ a De 6+ a a Sustituyendo en las otras dos ecuaciones se tiene que b y c Por tanto, la función será f + Nota: Para que el lector entienda mejor el resultado se adjunta la gráfica de esta función

6 ANÁLISIS (Selectividad 6) 6 b) Si se considera la función g + + que, por ser un polinomio, es continua y derivable para todo, se tiene: ) Cumple el teorema de Bolzano Así, como g( ) < y g () > la función corta al eje OX al menos una vez en el intervalo (, ) ) Como g + es mayor que para todo, se deduce que la función es creciente siempre Por tanto, la función solo corta una vez al eje OX; lo que significa que solo tiene una raíz 8 Castilla y León, junio 6 a) Calcular lim+ ( punto) e b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa y y (, puntos) b) lim+ [ ] Haciendo la resta indicada se tiene: e e lim + lim+ e e e (L H) lim + e + e (L H) e lim lim + e e e + b) La tangente a y f y f f En este caso, para f f ( ± ), y como f, se tiene: En : y ( ) y + y + y + En : en el punto de abscisa es El recinto limitado por la curva y las dos tangentes es el sombreado en la figura adjunta (Para dibujarlo basta con dar algunos valores) El área pedida vale: A ( + ( )) d ( + + )) d u Se ha tenido en cuenta la simetría del recinto 9 Castilla La Mancha, junio 6 Dada la función f + + a 6, a R, se pide: a) Determinar el valor del parámetro a R para que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f( ) en su punto de infleión sea (, puntos) b) Para el valor del parámetro encontrado, calcular los etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f( ) (, puntos)

7 ANÁLISIS (Selectividad 6) 7 a) Cálculo del punto de infleión f + + a 6 f + 6+ a f 6+ 6 (Que efectivamente es un punto de infleión, pues f ( ) 6 ) En ese punto la pendiente de la tangente debe valer : f ( ) 6+ a a b) Luego, la función es f + 6; siendo f + 6 y f 6+ 6 f + 6 ; Como f ( ) 6 <, en se tiene un máimo relativo Como f () 6 >, en se tiene un mínimo relativo Castilla La Mancha, junio 6 π cos Calcula la integral definida d (, puntos) Nota: Puede ayudarte hacer el cambio de variable t por partes Si t dt d dt d tdt d Por tanto: cos cos t d tdt ( t cos t) dt La última integral puede hacerse por el método de partes Tomando: u t y dv costdt du dt y v sin t Luego, t costdt tsin t sin t d t sin t+ cost+ c Deshaciendo el cambio: cos d sin + cos π cos d sin + cos π y a continuación aplicar integración π π π π sin + cos cos Castilla La Mancha, junio 6 a) Enuncia los Teoremas de Bolzano y de Rolle ( punto) b) Razona que la ecuación e + tiene al menos una solución real (,7 puntos) c) Razona que, de hecho, dicha solución es única (,7 puntos) a) Teorema de Bolzano Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en sus etremos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) Esto significa que si f ( a) < y f ( b) >, entonces la gráfica de f () corta al eje OX en

8 ANÁLISIS (Selectividad 6) 8 un punto, al menos (Análogamente si f ( a) > y f(b) <) Desde el punto de vista algebraico, este teorema asegura que si f ( a) < y f ( b) >, entonces la ecuación f tiene una solución (una raíz) entre a y b Esa solución será el punto c cuya eistencia afirma el teorema Teorema de Rolle Si f () es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), y además f (a) f (b), entonces eiste al menos, un punto c (a, b) tal que f ( c) b) Si se considera la función f e +, que cumple las condiciones del teorema de Bolzano, como f e < y f() e >, se deduce que la función corta al eje OX en el intervalo (, ) Esto es, eiste un valor c (, ) tal que f ( c) ; dicho valor es una solución de la ecuación e + c) Como f e f ( ) >, se deduce que la función es siempre creciente Por tanto, solo puede cortar una vez al eje OX; lo que significa que la ecuación e + solo puede tener una solución + siempre toma valores positivos, Castilla La Mancha, junio 6 a) Calcula el área de la región acotada por las gráficas de las parábolas f + y g + + (, puntos) b) Calcula c R para que las rectas tangentes a las gráficas de f( ) y g() en el punto de abscisa c tengan la misma pendiente ( punto) a) Las gráficas se cortan en los puntos solución de la ecuación f g : ; Las funciones pueden representarse dando algunos valores, siendo el recinto el sombreado en la figura adjunta Como la función g() va por encima de f( ) en el intervalo considerado, el área pedida es: ( + + ( + ) ) d ( ) d u b) La pendiente a una curva viene dada por el valor de la derivada en la abscisa del punto en cuestión: f ( c ) y g ( c ) Como se desea que sean iguales, el valor c será la solución de f g : + 6

9 ANÁLISIS (Selectividad 6) 9 Cataluña, junio 6 Sea la función f e a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa [ punto] b) Determine en qué intervalos la función f es creciente y en qué intervalos es decreciente [ punto] a) La ecuación de la tangente en el punto de abscisa es y f() f () De f e f e + e Se tiene: f() e ; f () e + e La recta tangente es: y y e + e + e Si <, f ( ) < f( ) es decreciente Si >, f ( ) > f( ) es creciente Es evidente que en el punto se tiene un mínimo b) La derivada se anula cuando Aunque no se pide, la gráfica de la función es la adjunta Cataluña, junio 6 Sean las parábolas f + k y g + 9k a) Calcule las abscisas, en función de k, de los puntos de intersección entre las dos parábolas [ punto] b) Calcule el valor del parámetro k para que el área comprendida entre las parábolas sea de 76 unidades cuadradas [ punto] a) Las parábolas se cortan en las soluciones de f g : + k + 9k 8k k ; k b) El área pedida viene dada por: k k k ( 9 ) ( + 8k ) d k ( + 8 ) k S + k + k d k 6 6 k k + 8k 6k + Como se desea que u k k 78 k 7 k k d Comunidad Valenciana, junio 6 Se da la función f definida por f + 6 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Dominio y asíntotas de la función f ( puntos) b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f ( puntos)

10 ANÁLISIS (Selectividad 6) c) La integral f d ( puntos) d) El valor de a > para el que el área de la superficie limitada por la curva y f () y las rectas y, y a es ln(/) ( puntos) a) La función f no está definida en los valores anulan al denominador: y En esos puntos tiene asíntotas verticales, pues: lim + 6 y lim + 6 Las asíntotas son las rectas de ecuación y También tiene una asíntota horizontal ya que lim + 6 La asíntota es la recta y b) Derivando: f + ( + 6) Se anula en Si <, f ( ) > f( ) es creciente Si < <, f ( ) > f( ) es creciente Si < <, f ( ) < f( ) es decreciente En Si >, f ( ) > f( ) es decreciente la función tendrá un máimo c) + 6 d puede hacerse por descomposición en fracciones simples A B A( ) + B A+ B + A ; B A B Por tanto: d ln + d ( ) + ln ( ) + c ln + c + 6 d) Para > la función es positiva; por tanto el área pedida es: a a a ( a ) d ln ln ln ln 6 + a a Si se quiere que su valor sea ln, se tendrá que ( a ) ( a ) ln ln a a6 a 6 a a

11 ANÁLISIS (Selectividad 6) 6 Comunidad Valenciana, junio 6 Cada día, una planta productora de acero vende toneladas de acero de baja calidad e y toneladas de acero de alta calidad Por restricciones del sistema de producción debe suceder que y, siendo < < El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 9 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de euros Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los ingresos obtenidos en un día en función de ( puntos) b) Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máimos ( puntos) c) El ingreso máimo que se puede obtener por las ventas de acero en un día ( puntos) a) Los ingresos vienen dados por la función I + 9y 9 ( ) Como y I + b) Los ingresos son máimos en las soluciones de I ( ) que hacen negativa a I ( ) Derivando: ( ) 9 ( ) I + (Operando) I + ( ) ( ) ; 9 ( ) 86 La derivada segunda es: I ( ) Como I () > e I (9) <, el máimo se da cuando 9 toneladas c) El ingreso máimo será ( ) 9 9 I(9) Islas Canarias, junio 6 si Dada la función f ( ) ln si < a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f () en b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y f en el punto de abscisa / a) Continuidad: deben coincidir los límites laterales en lim f ( ) lim ; lim f lim ( ) ln Por tanto, es continua + + Derivabilidad: deben coincidir las derivadas laterales en si < < Salvo en, f ln + ( ) ln si < <

12 ANÁLISIS (Selectividad 6) Derivada por la izquierda: f ( ) lim lim ; Por la derecha: lim f lim ln + ( ) ln Como no coinciden, la función no es derivable en b) La ecuación de la tangente a la curva y f en el punto de abscisa / es: y f f 9 Como f 6 y 6 f, la ecuación de la recta tangente es: y 6 9 y y Islas Canarias, junio 6 Calcular las siguientes integrales a) ( 6 + ) + d ( ) b) d a) Si se hace 6 + t 6d dt d dt 6 Por tanto: ( 6 + ) + d dt dt dt t + 6 6t + 6 t + dt arctan t 6 + arctan t + c c + + b) Si se opera resulta casi inmediata Bastaría con ajustar constantes ( ) + 9 / / / d d + d / / / 8 / 8 / / + + c c / / / 9 La Rioja, junio 6 ( puntos) lim + i) Calcule, si eiste, ( ) /sin ii) Halle el área de la región delimitada por las gráficas de las parábolas /sin i) lim + y, y

13 ANÁLISIS (Selectividad 6) Puede hacerse aplicando logaritmos y la regla de L Hôpital /sin /sin ln lim lim ln + + lim ln + sin 8 ln ( + ) lim ( LH ) lim + sin sin cos [ ] ( LH) ( + ) 8 lim cos cos sin sin Por tanto, lim( ) /sin + e ii) Las parábolas y valores) Se cortan en los puntos y, soluciones de la ecuación, La curva que va por encima es y Luego: / S ( ) d u y se representan en la figura adjunta (Puede hacerse dando La Rioja, junio 6 + ( puntos) Sea g i) Determine el dominio y la continuidad de g ii) Halle las asíntotas de la gráfica de g iii) Determine los etremos relativos y estudie la monotonía de g iv) Dibuje la gráfica de g destacando los elementos hallados anteriormente i) La función no está definida cuando ± Por tanto, Dom(g) R {, } En y en la función no es continua, por no estar definida ii) La función puede tener asíntotas verticales en los puntos y En : + lim (L H) + lim En no hay asíntota vertical: la discontinuidad en ese punto es evitable En : + 6 lim La recta es una asíntota vertical La función tiene también una asíntota oblicua: las funciones racionales tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador supera en al grado del denominador Esta asíntota puede hallarse aplicando límites o dividiendo la epresión

14 ANÁLISIS (Selectividad 6) Mediante límites: g + m lim lim ; + + n lim ( g m) lim lim La asíntota es la recta y + + Si se hace la división se obtiene: + 8 g La ecuación de la asíntota es y iii) Derivando: ( + )( ) ( + ) 6 g ( ) ( ) Descomponiendo el numerador en factores se obtiene: 6 ( 6) ( + )( 8) ( + )( + )( ) Luego, la derivada se anula en los puntos y El punto no puede considerarse, la función no está definida en él ( ) Podría escribirse que: g simplemente se ha simplificado ( ) Para determinar el crecimiento y decrecimiento también hay que tener en cuenta que en los puntos y la función no está definida Por tanto hay que estudiar el signo de la derivada en los intervalos: (, ); (, ); (, ); (, ); (, + ) Si <, g ( ) > g es creciente Si < <, g ( ) > g es creciente Si < <, g ( ) < g es decreciente Por tanto, en hay un máimo relativo Si < <, g ( ) < g es decreciente Si >, g ( ) > g es creciente En consecuencia, en hay un mínimo relativo iv) Para representar esta función, además de lo ya visto, puede estudiarse la posición de la curva respecto a las asíntotas, concluyendo que: Si, g ; y si +, g Si, g + + va por debajo de la asíntota, + 8 pues el término es negativo Sucede al revés cuando + Pueden darse algunos valores: (, ), máimo; (, 8/); el punto (, ) debe dejarse en blanco: g no está definida; (, ); (, 9); (, 8), mínimo; (6, 9)

15 ANÁLISIS (Selectividad 6) La Rioja, junio 6 <, si ( puntos) Sean a y b números reales y la función f a +, si + b +, si > i) Calcule los valores de a y b tales que la función f es continua en todos los puntos reales ii) Determine, en función de a y b, la derivabilidad de f y calcule f cuando sea posible iii) Utilice el teorema de Bolzano para justificar que si p es un polinomio de grado, con coeficiente principal positivo, tal que p( ) >, entonces la ecuación f p tiene al menos una solución c, con c < i) La continuidad debe estudiarse en los puntos y Será continua si los límites laterales coinciden en cada caso En : lim f lim lim f lim a + a + ; + Será continua si a+ a En : lim f lim lim f lim + b + b + ( + ) ; Será continua si b+ b + <, si ii) la función continua es: f +, si +, si > Su derivada, salvo en los puntos y, que son los que se cuestionan, es:, si < f, si < <, si > En : lim f ( ) lim ; lim f lim No es derivable en En : lim f lim ; Es derivable en + lim f lim + iii) Si p a + b +, con a >, como para <, f, la ecuación f p es p Sea la función F p f p, que es también es un polinomio de grado y, por tanto, cumple el teorema de Bolzano Como su coeficiente principal a >, para valores suficientemente grandes y negativos de lim F lim p toma valores muy negativos, pues: Esto es, para algún valor negativo k <, Fk pk k < Y como F( ) p ( ) p( ) + >, pues p( ) >

16 ANÁLISIS (Selectividad 6) 6 Por tanto (aplicando el teorema de Bolzano), la función F p tomará el valor en algún punto c (, ) Esto es, Fc () pc () c, lo que significa que la ecuación f p tiene al menos una solución c, con c < Madrid, junio 6 ln( ) si < Dada la función f, donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide: e si a) ( punto) Estudiar la continuidad de f y calcular lim f b) (, puntos) Calcular la recta tangente a la curva y f, en c) (, puntos) Calcular f ( ) d a) Será continua cuando coincidan los límites laterales en, que es el único punto dudoso ln ( ) lim f lim ; lim f lim e + + Por tanto, es continua f lim lim ( ) ln (Aplicando L Hôpital) lim b) La ecuación de la tangente a la curva y f en el punto de abscisa es: y f() f () ( ) Como f e y f e e, se tendrá: f() e y f () e e e Luego, la ecuación de la recta tangente es: y ( ) e e y e + e Murcia, junio 6 Calcule los siguientes límites: + sin ( sin ) a) lim b) lim π/ cos + a) lim multiplicando y dividiendo por la epresión conjugada del ( + )( + + ) numerador lim lim ( + + ) ( + + )

17 ANÁLISIS (Selectividad 6) 7 lim ( + + ) ( + ) 8 b) ( ) sin sin lim π/ cos Aplicando L Hôpital cos ( sin ) + sin ( cos ) lim π/ cos sin (operando y simplificando) lim ( ) π cos sin + sin + lim cos sin sin π/ / Murcia, junio 6 + a) [, puntos] Calcule la siguiente integral indefinida d ( + + ) b) [ punto] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales + y, y la gráfica de la función f ( + + ) a) La integral pedida es inmediata; basta con observar que el numerador es la derivada del denominador y recordar que f ( ) d + c ( f ) f Por tanto: + ( + ) d d + c b) Como en el intervalo [, ] la función toma valores positivos, el área pedida viene dada por la integral definida + 6 d + + ( ) Murcia, junio 6 El número de personas, medido en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa viene dado 9 por la función f, donde es el tiempo transcurrido, medido en días, desde que se inició el contagio a) [, puntos] Cuál es el número de personas enfermas el cuarto día? b) [, puntos] Qué día se alcanza el máimo número de personas enfermas? Cuál es ese número máimo? c) [, puntos] Puede afirmarse que la enfermedad se irá erradicando con el paso del tiempo? Razone la respuesta (Indicación: calcule el límite de f () cuando + y observe qué ocurre)

18 ANÁLISIS (Selectividad 6) a) Como f (),99, el número de personas enfermas el cuarto día será de 99 b) Hay que hallar el máimo de la función Derivando e igualando : 9( ) 9( + ) f ( + + 9) ( + + 9) En no tiene sentido Como a la izquierda de la función es creciente ( ) ( f ( ) < ), en se da el máimo 9 7 Ese máimo es f (), personas f ( ) en y en f >, y a la derecha es decreciente c) Con el paso del tiempo la función decrece, lo que indica que el número de enfermos va siendo menor Esto no implica su erradicación, pues podría tender a un número concreto, a estabilizarse Para comprobar su erradicación hay que hacer el límite de f () cuando + y ver que tiende a, como efectivamente sucede: 9 9 lim ( LH ) lim Navarra, junio 6 Calcula los siguientes límites: tan sin( π) lim ( punto) lim ( punto) cos( ) Ambos límites se pueden hacer aplicando L Hôpital tan tan + ( + tan ) a) lim ( LH ) lim LH cos sin + tan + ( + tan ) + ( tan ( + tan ) ) lim cos b) lim sin( π) [ ] Puede hacerse aplicando logaritmos y la regla de L Hôpital ln sin( π) sin( π) ln + lim + LH π cos( π ) π ( ) π sin( π) sin( π) ln lim lim ln lim ln lim Por tanto, lim sin( π) / π e

19 ANÁLISIS (Selectividad 6) 9 7 Navarra, junio 6 π Dadas las funciones f y g sin, encuentra los dos puntos en que se cortan Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas ( puntos), si < La función f, si π sin, si <, si < Si se cortan: f g π, si sin, si π Para <, sin >, cuya solución es ; π y para, sin >, con solución Por tanto, el área pedida viene dada por: sin π d sin π d π π cos + + cos + π π π π cos + cos + cos π + cos + π π π π u π π π 8 Navarra, junio 6 π Dada la función f sin e, demuestra que eiste un valor α (, ) tal que f ( α ) Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso ( puntos) π π π f sin e f cos π e + sin e Si se etrae factor común y se iguala a se tiene: π π f e π cos + sin No es posible resolverla Por tanto hay que buscar otra alternativa Puede probarse cuánto vale f ( ) en los etremos del intervalo dado: f cos π π π e+ sin ( ) ee

20 ANÁLISIS (Selectividad 6) f () cos π π π e+ sin e e Como la función f ( ) es continua y derivable en todo R, en particular en el intervalo dado, verifica el teorema de los valores intermedios, que dice: Si f () es continua en [a, b], entonces la función toma todos los valores comprendidos (intermedios) entre f (a) y f (b) Esto es, para cualquier valor c, f (a) c f (b), eiste un punto α [a, b], tal que f ( α) c Como f ( ) toma los valores f ( ) e y f () e y e < < e, por el teorema, eiste un valor α (, ) tal que f ( α ) Nota: El problema inicial sugiere el uso del teorema del valor medio (incrementos finitos; de Lagrange), que dice: Si f () es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces eiste algún f ( b) f ( a) punto c (a, b) tal que f ( c) b a π π Pero, en este caso, como f( ) sin e e y f() sin e e, lo que puede asegurarse de manera inmediata es que eiste un punto α (, ) tal que f ( α ) (teorema de Rolle) 9 País vasco, junio 6 Dada la función f A + B + C a) Calcula los valores de los parámetros A, B y C de manera que la función satisfaga las siguientes propiedades: Pase por el punto (, ) Tenga un máimo local en el punto (, ) b) Calcula todos los valores de la variable en los que la gráfica de la función tiene tangente horizontal a) Por pasar por el punto (, ) f () C Por tener un máimo local en el punto (, ) f () y f () f() A+ B Como f A + B, se tendrá: A ; B 6 f () A+ B La función es f + 6 b) La tangente es horizontal en los puntos con derivada f + ; País vasco, junio 6 Resolver la siguiente integral: + d ( + ) Como las raíces del denominador son, y, se hace la descomposición en fracciones simples:

21 ANÁLISIS (Selectividad 6) + A + B + C ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) A+ B+ C + A+ BC A ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) A B C Por identificación de coeficientes: A+ B+ C A+ B+ C A / A+ B C E+ E A+ B 7 B A A C / Por tanto: + / / d + d ( + ) ( ) ( + ) ln + ln ln ( + ) + c