INTRODUCCION Teoría de la Estimación

Transcripción

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2 INTRODUCCION La Teoría de la Estimació es la parte de la Iferecia Estadística que sirve para coocer o acercarse al valor de los parámetros, características poblacioales, geeralmete descoocidos

3 e puede estimar por varios métodos. Estimació putual. Estimació por itervalo 3. Estimació por máima verosimilitud 4. Estimació por método de mometos 5. Estimació por míimos cuadrados

4 ETIMACIÓN PUNTUAL Y ETIMACIÓN POR INTERVALO No se trata de formas alterativas de estimació, sio complemetarias. La estimació putual represeta el primer paso para obteer la estimació por itervalo. ETIMADOR PUNTUAL e trata de asigar al parámetro u úico valor que será u valor aproimado que depede de la muestra. La media muestral es u estimador putual de la media poblacioal : el valor que toma la media muestral co ua muestra dada costitue ua estimació para la media poblacioal.

5 QUÉ E UN ETIMADOR? U estimador es ua fució de valores observados (muestra) que o depede de igú parámetro descoocido. U estimador es u estadístico, ua estimació es uo de sus posibles valores.

6 ETIMADORE PUNTUALE U estimador putual de u parámetro es simplemete u úico valor del parámetro; rara vez coicide co el parámetro a estimar, geeralmete es suficiete que el estimador esté cerca de la catidad descoocida. La variable aleatoria de el valor que toma (putual) de. ˆ se deomia estimador se llama estimació U estimador es u estadístico ua estimació es cualquiera de sus posibles valoresvalores. ˆ

7 PROPIEDADE DEEABLE DE LO ETIMADORE INEGADO: el estimador se dice que es u estimador isesgado de si su valor esperado es igual a : E( ) = ˆ EFICIENCIA: si su dispersió co respecto al valor cetral (variaza) sea ta pequeña como sea posible. A < variaza del estimador > eficiecia. CONITENCIA: cuado el tamaño de la muestra crece arbitrariamete, el valor estimado se aproima al parámetro descoocido. ˆ

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9 Problema que preseta el uso de estimadores putuales: Los estimadores putuales sólo da ua idea de lo que puede valer el parámetro que queremos coocer (estimar), si coocer cuáto se aproima el estimador al parámetro; es decir, simplemete proporcioa u valor de los muchos posibles que puede propoerse como valor del parámetro.

10 ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Dada ua variable aleatoria co distribució Normal, se trata de ecotrar para el parámetro descoocido, (por ejemplo ), u itervalo co u cierto ivel de cofiaza (- ). i se cumple que: P Diremos etoces que (a, b) es u itervalo de cofiaza para el parámetro θ costruido al (- ) % de probabilidad (cofiaza) a b

11 ˆ ˆ k P O bie: ˆ ˆ ˆ k k P ˆ ˆ ˆ ˆ k k P

12 Error de estimació k ˆ Por ejemplo para el caso de la media: Error de estimació z z Error

13 ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA El sigificado de la palabra "cofiaza" es el siguiete: i se costruera muchos itervalos a partir de muestras aleatorias del mismo tamaño de la misma població, etoces 95% de estos itervalos cotedría la media de la població 5% o la cotedría.

14 ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Gráficamete: Itervalos de cofiaza obteidos para 0 muestras del mismo tamaño Itervalos que o cotiee

15 ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Cuado se halla u itervalo de cofiaza de 95%, auque es frecuete que se iterprete como el 95% de probabilidad de que el itervalo de cofiaza cotega, e realidad el itervalo cotiee la media de la població o o la cotiee:

16 Puede ser que el itervalo obteido perteezca al 95% de los itervalos que cotiee la media de la població. O bie formar parte del 5% de los itervalos que o la cotiee.

17 INTERVALO PARA PARÁMETRO Itervalos para la media poblacioal Població ormal co desvío σ coocido Població ormal desvío σ descoocido: muestra grade muestra chica.

18 Itervalo para la proporció poblacioal Itervalo para la variaza poblacioal

19 Itervalo para la diferecia de medias poblacioales Poblacioes ormales, desvíos poblacioales coocidos Poblacioes ormales desvíos poblacioales descoocidos: muestras grades-muestras chicas: iguales distitos.

20 Itervalo para la diferecia de proporcioes poblacioales

21 Itervalo para la razó de variazas poblacioales

22 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL i se cooce la variaza poblacioal σ Este caso que plateamos es más a ivel teórico que práctico: difícilmete vamos a poder coocer σ El itervalo para la media poblacioal se basa e el estimador media muestral. u distribució muestral es la siguiete: N ; N ; la variable media muestral se obtiee: z N (0;)

23 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA CONOCIDA p z z / pz z /

24 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA CONOCIDA U itervalo de cofiaza al ivel - para la media co variaza coocida es el compredido etre los valores: z z P

25 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DECONOCIDA, MUETRA GRANDE (N 30) La desviació estádar poblacioal descoocida puede estimarse por. Auque o cumple co la codició de ser u estimador o sesgado de : la diferecia (-)/, el sesgo, tiee realmete importacia cuado es pequeño, a que e caso cotrario el sesgo tiede a. ] [ ] [ E E

26 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DECONOCIDA, MUETRA GRANDE (N 30) La distribució del estimador media muestral será: N; La epresió geeral del itervalo: P z z

27 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DECONOCIDA, MUETRA CHICA (N < 30) Al tratarse de muestras de tamaño pequeño o podemos reemplazar por. abemos que z N(0,) Por otra parte, se defie la distribució : i ( i )

28 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DECONOCIDA, MUETRA CHICA (N < 30) Las distribucioes z so idepedietes. A partir de estas relacioes podemos costruir ua t de tudet co - grados de libertad: t '

29 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DECONOCIDA, MUETRA CHICA (N < 30) Distribució t de tudet

30 INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DECONOCIDA, MUETRA CHICA (N < 30) Por simetría de la distribució de tudet, el itervalo de cofiaza se obtiee de la siguiete maera: o bie: /, /, t t ' ',, t t P,, t t P t '. /,

31 INTERVALO PARA LA VARIANZA POBLACIONAL P ; ;

32 INTERVALO PARA LA PROPORCION POBLACIONAL P p z

33 INTERVALO PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA POBLACIONALE Poblacioes Normales co desvíos parámetros coocidos P z

34 POBLACIONE NORMALE CON DEVÍO PARÁMETRO DECONOCIDO (s>30) P z

35 POBLACIONE NORMALE CON DEVÍO PARÁMETRO DECONOCIDO E IGUALE (s<30) ; p p t P

36 POBLACIONE NORMALE CON DEVÍO PARÁMETRO DECONOCIDO Y DITINTO (s<30) ' ' ' ' ' ' ; t P

37 INTERVALO PARA LA RAZÓN DE VARIANZA POBLACIONALE ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; F F P F F F F P

38 INTERVALO PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE POBLACIONALE ˆ ˆ ˆ ˆ z p p P

39 TABLA REUMEN ETIMADORE, U DITRIBUCIÓN E INTERVALO DERIVADO Parámetro upuesto Estimador putual Distribució del estimador Itervalo de cofiaza coocido N, ~ Z 30, descoocido N, ~ Z 30, descoocido ' t ó t t ' ; Població ormal ~ '. ~. ó ; ;.. Població ormal p p Z Z p coocidas, N ~ Z

40 as descoocid, ' ' co ó co t t as descoocid, distitas ' ' ' ' ' ' v v co t v t Poblacioes ormales p p p ; ~ N p I I Z p

41 Poblacioes ormales F ; ; ; ; F II F I II I