Métodos de Integración
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- Marta Márquez Ortiz de Zárate
- hace 5 años
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1 CAPÍTULO Métodos de Integrción. Integrción or sustitución trigonométric A continución veremos un técnic de integrción, l cul se bs en utilizr unciones trigonométrics r licr cmbios de vrible que tendrán como objetivo eliminr rdicles de ls orms, C &, donde es un constnte ositiv. Consideremos quí l notción siguiente: si es un unción con vrible indeendiente y demás contiene l menos un rdicl como los siguientes:, entonces será denotd or.; /. C, entonces será denotd or.; C /., entonces será denotd or.; /... Integrles.; / d Nuestro rimer objetivo es eliminr el rdicl. Si usmos el cmbio de vrible D sen ; obtenemos con esto: D sen D. sen / D cos D cos : El cmbio de vrible D sen ermite eliminr el rdicl convirtiéndolo en D cos. Además, si D sen, entonces d D cos d. cnek.zc.um.m: 0/ / 0/ 64
2 Cálculo integrl Por lo tnto, l licr este cmbio de vrible obtenemos: (; ) d D. sen ; cos / cos d: que es un integrl donde el integrndo est ormdo con ls unciones trigonométrics sen & cos. Al clculr est últim integrl tendremos como resultdo un unción G./ en términos de unciones trigonométrics. Es decir, (; ) d D. sen ; cos / cos d D G./ C C: Debido que en l integrl originl el integrndo es un unción de, el resultdo debe ser eresdo medinte un unción H./; esto es, (; ) d D. sen ; cos / cos d D G./ C C D H./ C C: Ahor bien, cómo sr de G./ H./ Como en G./ se tienen unciones trigonométrics, r sr de G./ H./ debemos considerr: demás, D sen ) sen D & D cos ) cos D I sen D ) D rcsen ( ) : Se uede utilizr un triángulo rectángulo uilir, generdo de l orm siguiente: sen D cteto ouesto D : hiotenus Se lic el teorem de Pitágors r determinr el cteto dycente : D : Observción. Es imortnte notr que r clculr integrles de l orm ser licdo el cmbio de vrible: En este cso: D cos : (; ) d, tmbién uede D cos D. cos / D sen D sen : Además d D sen d. El rocedimiento es nálogo l que se euso r D sen. Aquí el triángulo rectángulo uilir, se gener de l orm siguiente: cos D cteto dycente D : hiotenus
3 . Integrción or sustitución trigonométric Se lic el teorem de Pitágors r determinr el cteto dycente : D : Ejemlo.. Clculr l integrl 4 d. H Debido que 4 D, se roone D sen. Si D sen, entonces d D cos d y demás 4 D sen D. sen / D cos D cos : Por lo tnto, d D sen. cos /d D 4 cos [ ] [ D C C D sen sen d D 4. cos /d D ]. sen cos / C C D Œ sen cos C C: Ahor bien, r eresr este resultdo como unción de debemos considerr que: D sen ) sen D & ( D rcsen I ) demás, Esto es, 4 4 D cos ) cos D : [ d D Œ sen cos C C D rcsen 4 ( ) D rcsen Ejemlo.. Clculr l integrl 4 C C: d. ( ) ] 4 C C D H Tomndo en cuent l observción hech en l teorí euest, odemos otr or el cmbio de vrible D cos D cos : Entonces d D sen d y demás D cos D sen D sen :
4 4 Cálculo integrl Luego, d D.cos /.sen /. sen /d D cos sen d D sen cos d D D sen [ cos ] cos d D sen [ sen ] cos d D y ( y ) dy D Donde y D sen & dy D cos d. D y ( y Y que D sen. ) (y 4 dy D D.sen /.sen / C C D ( y ) dy D y y C C D ) ( ) C C D.. Integrles ( ) [ D. / D ( ( ] ) [ C C D. / ] C C D ( ) (. / C ) C C: ) ( ) C C D (; C ) d Pr logrr el objetivo de eliminr l rdicl C, convenimos en utilizr el cmbio de vrible D tn : Entonces: C D C tn D. C tn / D sec D sec : El cmbio de vrible D tn ermite eliminr l rdicl C convirtiéndolo en: D sec : Además, D tn ) d D sec d: Por lo tnto, l licr este cmbio de vrible, obtenemos: (; ) C d D. tn ; sec / sec d; que es un integrl en que el integrndo est ormdo con ls unciones trigonométrics tn y sec. Al resolver est integrl tendremos como resultdo un unción G./ en términos de unciones trigonométrics. Es decir, ( ) ; C d D. tn ; sec / sec d D G./ C C Pr eresr este resultdo en términos de l vrible originl, debemos considerr que: D tn ) tn D ( & D rctn ; demás, ) C C D sec ) sec D :
5 . Integrción or sustitución trigonométric Se uede utilizr un triángulo rectángulo uilir generdo de l orm siguiente: tn D D cteto ouesto cteto dycente : Donde se lic el teorem de Pitágors r determinr l hiotenus: D C : ( ) Observción. Pr clculr integrles de l orm ; C d, tmbién uede ser licdo el cmbio de vrible D cot. En este cso: C D C cot D ( C cot ) D csc D csc : Además d D csc d. El rocedimiento es nálogo l euesto r D tn. En este cso el triángulo rectángulo uilir se gener de l orm siguiente: cot D D cteto dycente cteto ouesto : Donde se lic el teorem de Pitágors r determinr l hiotenus: D C : Ejemlo.. Clculr l integrl C 9 d. H Debido que C 9 D C, se roone D tn. Si D tn, entonces d D sec d y demás C 9 D tn C D ( tn C ) D sec D sec :
6 6 Cálculo integrl Por lo tnto, C 9d D tn sec sec d D tn sec d D (sec D tn sec sec tn d D ) ( sec ) sec tn d D Hciendo y D sec & dy D sec tn d. Y que y D sec. D (y D [ y y D y [ y ) (y y dy D 4 y ) dy D ] [ ] C C D y y C C D ] C C D ( y y ) C C D 4 ( y y ) C C D Y que C 9 D sec. D 4.sec / [.sec / ] C C D D 4 D 4 D ( ) ( ) C 9 C 9 C C D ( C 9). C 9/ ( 6 [ ( C 9 ) ] C C D ) C C D (. C 9/ [ C 9 6 ). C 9/ C C: ] D Ejemlo..4 Clculr l integrl d C. H Proonemos D tn, entonces d D sec d y demás: C D tn C D ( tn C ) D sec D sec : Por lo tnto, d sec C D d C D sec d D ln jsec C tn j C C D ln sec C D ln C C C D ln C C ln jj C C D ln C En rticulr: d C D ln C C C C: C C C D C C C:
7 . Integrción or sustitución trigonométric 7.. Integrles (; ) d Como en los csos nteriores, nuestro rimer objetivo es eliminr el rdicl r lo cul convenimos en utilizr el cmbio de vrible D sec. Entonces: D sec ) D sec D.sec / D tn D tn : Es decir, el cmbio de vrible D sec ermite eliminr el rdicl convirtiéndolo en: D tn : Además, D sec ) d D sec tn d: Por lo tnto, l licr este cmbio de vrible: (; ) d D. sec ; tn / sec tn d; que es un integrl en l que el integrndo está conormdo con ls unciones trigonométrics sec y tn. Como en los csos nteriores, l resolver est integrl obtenemos como resultdo un unción G./ en términos de unciones trigonométrics. Es decir, (; ) d D. sec ; tn / sec tn d D G./ C C: Pr eresr este resultdo en términos de l vrible originl, debemos considerr que: D sec ) sec D ( ) & D rcsec I demás D tn ) tn D : Se uede utilizr un triángulo rectángulo uilir generdo de l mner siguiente: sec D D hiotenus cteto dycente : Donde se lic el teorem de Pitgórs r determinr D : Observción Pr clculr integrles de l orm vrible (; ) d, tmbién uede ser licdo el cmbio de D csc :
8 8 Cálculo integrl En este cso: Además D csc D.csc / D cot D cot : d D csc cot d: El rocedimiento es nálogo l euesto r D sec. En este cso el triángulo rectángulo uilir se gener de l mner siguiente: csc D D hiotenus cteto ouesto : Donde se lic el teorem de Pitgórs r determinr Ejemlo.. Clculr l integrl 4 d. H Debido que 4 D, se roone y demás Por lo tnto, D : D sec ) d D sec tn d 4 D sec D.sec / D tn D tn : 4 d D sec. sec tn /d D tn sec 4 d D D 8 ( C tn ) sec d D 8 ( C y ) dy D sec sec d D Donde y D tn & dy D sec d. D 8 [y C ] y C C D 8 tn C 8 tn C C: Pero: Entonces: 4 4 D tn ) tn D. [ ] [ ] 4 d D 8 tn C 8 4 tn C C D 8 C 8 4 C C D D 4 4 C. 4/ C C:
9 . Integrción or sustitución trigonométric 9 Ejemlo..6 Clculr l integrl d. H Si se roone: y demás Entonces: Sin embrgo: D sec ) d D sec tn d D sec D.sec / D tn D tn : d sec tn d D tn D sec d D ln j sec C tn j C C : Por lo tnto: d D sec ) sec D & D tn ) tn D : D ln j sec C tn j C C D ln C C C C D ln C C D D ln C ln j j C C D ln C C C: En rticulr: d D ln C C C: Observción Los cmbios de vrible licdos r eliminr los rdicles, C &, ueden ser utilizdos tmbién r clculr integrles en cuyos integrndos no se tengn elícitmente dichos rdicles, sino solmente los binomios de los rdicndos. Ejemlo..7 Clculr l integrl H Luego d. D sen ) d D cos d: d D cos d sen D cos d. sen / D cos cos d D D cos d D sec d D ln j sec C tn j C C: D sen ) sen D cteto ouesto D : hiotenus
10 0 Cálculo integrl Usndo el teorem de Pitgórs, D sec D Por lo tnto, d D ln j sec C tn j C C D ln : Además: & tn D : C C C D ln C D ln. C / C C D C C ln C C D ln D ln C C C D ( ) ln C C C: ( C ) C C D C C D Esto es: Ejemlo..8 Clculr l integrl H Luego, Ahor: d. C / D D D d D ln d. C /. C C C: D tn ) d D sec d: sec d ( tn C ) D sec d [ ( tn C )] D sec 4.sec / d D sec d D cos d D. C cos /d D [ C ] sen C C D [ C ]. sen cos / C C D D Œ C sen cos C C: D tn ) tn D D cteto ouesto cteto dycente : Por el teorem de Pitgórs, D C. Además, sen D tmbién: tn D ) D rctn ( C & cos D ) : C. Así
11 . Integrción or sustitución trigonométric Por lo tnto: d. C / D D Œ C sen cos C C D [ ( ] rctn C C C: ) C [ ( rctn C ) C C ] C C D r Ejemlo..9 Demostrr que r 0 H Y que Además, d D r 4. D r sen ) d D r cos d & r D r cos : D 0 ) r sen D 0 ) sen D 0 ) D 0 & D r ) D r sen D r ) sen D ) D : Por lo tnto: Esto es: r 0 r d D 0 D r D r.r cos /r cos d D r [ C sen ] 0 [ C 0 0 ] D r r 0. C cos /d D 0 0 D r [( C ) (0 sen C )] sen 0 D ( ) D r 4 : r cos d D r d D r 4 : Ejercicios.. Sustitución trigonométric. Soluciones en l ágin Alicr l técnic de sustitución trigonométric r clculr ls siguientes integrles indeinids y derivr r veriicr cd resultdo d ; C d ; d ; 9 d ; 9 d ; 9 C d ; C 4 7. d ; 4 8. d ; d 4 4 ; 4 d ; C. d ;. d ; d ; 4 d ; 4 C d ; d. / d. 4/.9 C / ; ; d.
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