Ejercicios Adicionales de Cálculo de Probabilidades LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS. CURSO

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1 1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Universidad de Sevilla Ejercicios Adicionales de Cálculo de Probabilidades LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS. CURSO NOTACIONES Y NOMENCLATURA: IN es el conjunto de los números naturales. IN = IN {0}. ZZ enteros. IQ racionales. IR reales. P(Ω) es el conjunto de todos los subconjuntos de Ω. Ω = CARD(Ω) es el cardinal del conjunto Ω. Conjunto numerable: conjunto equipotente a IN o a un subconjunto de IN. Según esta definición, un conjunto finito es numerable y es numerable. 1. Probar que si A es un álgebra finito sobre Ω entonces n IN tal que A = 2 n. Obsérvese que si Ω es finito entonces A es finito. 2. Sea Ω = IR. Probar que la clase de subconjuntos de IR definida como, N = {A IR A ó A c es numerable} es un σ-álgebra sobre IR. 3. Demostrar que un σ-álgebra no puede ser infinito numerable, es decir, o bien es finito, o bien su cardinal es al menos el del continuo. Demostrar, con un ejemplo apropiado, que un álgebra sí puede ser infinito numerable. 4. Sea Ω un conjunto no numerable. Hallar el σ-álgebra generado por la clase de los todos los subconjuntos finitos de Ω. 5. Sea Ω = IR. Hallar el σ-álgebra generado por la clase de todos los subconjuntos unitarios de Ω, es decir, la clase {{x} x IR}. 6. Sea Ω numerable y A un σ-álgebra sobre Ω. Se denomina función de peso sobre Ω a una función p : Ω [0, 1] verificando, p(ω) = 1 ω Ω Demostrar que la función P : A IR definida como, P (A) = p(ω) A A ω A es una probabilidad sobre A. Consideremos ahora el conjunto Ω = IN, y el espacio medible (Ω, P(Ω)). Sobre Ω se define la siguiente función real, p(n) = (1 α) n 1 α n Ω, α (0, 1)

2 2 (a) Demostrar que p( ) cumple las propiedades de una función de peso. Por consiguiente podemos definir una probabilidad a partir de ella. (b) Hallar la probabilidad del suceso A = {ω Ω ω es par}. (c) Hallar la probabilidad del suceso B = {ω Ω ω es impar}. (d) Hallar la probabilidad del suceso C = {ω Ω ω es múltiplo de 5}. Consideremos ahora el conjunto Ω = IN, y el espacio medible (Ω, P(Ω)). Sobre Ω se define la siguiente función real, p λ (k) = α λk k! k Ω, λ, α IR + (a) Hallar α para que p( ) cumpla las propiedades de una función de peso. Con dicho α, la función de peso permite definir una probabilidad. (b) Hallar la probabilidad del suceso A = {ω Ω ω es par}. (c) Hallar la probabilidad del suceso B = {ω Ω ω es impar}. (d) Hallar la probabilidad del suceso C = {ω Ω ω es no nulo}. 7. Sea Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el álgebra sobre Ω, A = {, {2}, {4, 6}, {1, 3, 5}, {1, 2, 3, 5}, {2, 4, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}} y una probabilidad sobre dicho álgebra, P ( ), con los valores P ({2}) = 0,1, P ({4, 6}) = 0,6, P ({1, 3, 5}) = 0,3, P ({1, 2, 3, 5}) = 0,4, P({2,4,6})=0.7, P ({1, 3, 4, 5, 6}) = 0,9. Es posible hallar una función de peso sobre Ω que genere dicha probabilidad sobre A?. NOTA: el concepto de función de peso se ha introducido en el problema anterior. 8. Sea Ω un espacio muestral finito, con n 1 resultados. Sea T n el número de álgebras distintas que se pueden construir sobre Ω. Hallar T n. 9. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Probar que si A, B F y P (A B) = 0 entonces P (A) = P (B). 10. Diremos que un espacio de probabilidad, (Ω, F, P ), es completo si dado C F con P (C) = 0, entonces D F D C. Probar que para un espacio de probabilidad, (Ω, F, P ), completo, si A F y B Ω con P (A B) = 0 entonces B F. 11. Se dispone de una moneda equilibrada, que tiene 0 en uno de sus lados y 1 en el otro, y se desea realizar un experimento aleatorio para obtener, al azar, un elemento del conjunto, A n = {0, 1, 2,..., 2 n 1} n 0

3 3 Indíquese cómo podría ser dicho experimento, introduciendo las hipótesis que Vd. considere más apropiadas. Qué modificaciones se podrían introducir para obtener al azar un elemento del conjunto, con N 0 cualquiera?. A = {0, 1, 2,..., N} 12. De una urna que contiene 8 bolas blancas y 7 negras, hacemos una extracción de 2 bolas, sin reemplazamiento. En el supuesto de que hayamos visto que una de estas bolas es negra Cuál es la probabilidad de que la otra también lo sea?. 13. Se tienen dos dados, A y B. A es normal, mientras que B tiene en sus caras 1, 1, 1, 2, 2, 3. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos, (a) La suma de los puntos obtenidos es 3. (b) En ambos dados se obtiene el mismo resultado. (c) Obtener 1 en A, sabiendo que el resultado de B ha sido distinto del obtenido en A. (d) En cada una de n tiradas consecutivas de A se obtiene un resultado distinto al obtenido en la tirada precedente. 14. Calcule, (a) La esperanza y la varianza del número de puntos obtenidos en la tirada de un dado ordinario. (b) La esperanza y la desviación típica de la variable Y definida como el número total de puntos obtenidos en n tiradas de un dado ordinario. 15. Sea X P(λ) tal que P [X = 0] = 1/2. Calcule E[X]. 16. Tres personas, A, B y C, disparan sobre una diana, con probabilidades respectivas de acertar 1/8, 1/4 y 1/2. A dispara 3 veces, B dispara 5 veces y C, 2 veces. Cuál es el número esperado de aciertos? Y su varianza?. 17. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = a 2 e a x a > 0, x IR Determinar, si existe, la función generatriz de momentos. 18. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad f = (1/2)I [ 1,1]. Hallar la función generatriz de momentos.

4 4 19. Dada la variable aleatoria X, con función de distribución, 0 x < 1 (x + 1)/2 1 x < 0 F (x) = 1/2 0 x < 1 x 2 /12 + 2/3 1 x < 2 1 x 2 clasificarla, descomponiendo adecuadamente dicha función. INDICACIÓN: Obsérvese que F tiene en x = 1 un salto de magnitud 1/ Dada la variable aleatoria X con función de distribución, 0 x < 1 F (x) = (x + 2) 2 /32 1 x 2 1 x 2 clasificarla, descomponiendo adecuadamente dicha función. 21. Sea X Exp(1). Se pide, (a) Hallar la función generatriz de momentos. (b) A partir de la misma, probar E[X n ] = n!, n N. 22. Sea X Ge(1/4). Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria Z = sen(x π/4). 23. Sea X una variable aleatoria con función de distribución, siendo λ R +. Se pide, F (x) = e λλn n IN n! I [n,+ ) (x) (a) Dibujar una gráfica aproximada de esta función, para λ = 1. (b) De qué tipo es esta variable aleatoria? (c) Si es discreta, hallar su función de probabilidad. Si es absolutamente continua, hallar su función de densidad. En cualquier caso, hallar, si existen, los tres primeros momentos ordinarios y centrales. 24. Sea X una variable aleatoria con función de distribución, 0 x < 1 F (x) = 3 x3 4 (x ) 1 x 1 1 x > 1 (a) Dibujar una gráfica aproximada de esta función.

5 5 (b) De qué tipo es esta variable aleatoria? (c) Si es discreta, hallar su función de probabilidad. Si es absolutamente continua, hallar su función de densidad. Dibujar una gráfica aproximada de lo que se haya encontrado. (d) En cualquier caso, hallar, si existen, esperanza y varianza. SOLUCIONES 1. Sea A un álgebra de sucesos, finito. Diremos que A A es un suceso compuesto cuando puede representarse como, A = B C, B A, C A Un suceso, A A que no sea compuesto ni el suceso imposible se denomina átomo. Por ejemplo, en el álgebra minimal, Ω es átomo, y no hay sucesos compuestos. El el maximal, los subconjuntos unitarios de Ω son sucesos átomos y todos los demás, excepto el imposible, sucesos compuestos. Supongamos que A 1, A 2,..., A n son los sucesos átomos. Dado un suceso compuesto, A, es fácil probar que se puede expresar, de manera única, como unión de átomos, es decir, A = A i1 A i2 A im por consiguiente, en A hay, ( ) n + 0 ( ) n + 1 ( ) n ( ) n = 2 n n sucesos. Véase el texto de Renyi, Cálculo de probabilidades. 2. En efecto, es obvio que Ω N y que si A N entonces A c N. Además, si {A k k K} es una colección numerable de elementos de N y al menos uno de ellos, por ejemplo, A ν es numerable, entonces al ser, A k A ν k K dicha intersección será numerable. Por contra, si A c k es numerable k K, entonces, A k = c k K A c k k K es el complemento de un conjunto numerable ya que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

6 6 3. Sea A un σ-álgebra infinito, y sea {A n } n IN una colección, infinita numerable, de elementos distintos de A, con A n, n IN. Sea, { } G = B n B n {A n, A c n}, n IN n IN Observemos que G es una colección disjunta de elementos de A, siendo fácil ver que G = IN. Y como toda unión numerable de elementos de G está en A, se tendrá que A 2 IN. Para ver que un álgebra sí puede ser infinito numerable, consideremos las clases de subconjuntos de IN, C n = {A IN A = n}, n IN, con el convenio C 0 = { }, y C n = {A c A C n }, n IN. Obviamente, son clases numerables de subconjuntos de IN. Se tiene entonces que, C = es un álgebra sobre IN, numerable. n IN C n n IN C n 4. Es la clase N del problema 2. Probarlo. 5. Es la clase N del problema 2. Probarlo. 6. La primera parte es casi obvia. Veamos el primer caso particular. Se tiene que p(n) 0. Por otra parte, p(n) = α(1 α) n α = 1 (1 α) = 1 n IN n=1 Se tiene pues que a partir de p( ) podemos definir una probabilidad, P ( ) sobre P(IN) tal y como indica el enunciado del problema. Por otra parte, P (A) = n IN, n par y los otros se hacen de forma similar. α(1 α) n = k=1 α(1 α) 2k = 1 α 2 α Para el segundo caso particular se tiene p(n) 0, y además k IN αλk /k! = αe λ, y basta tomar α = e λ para que dicha suma sea 1. Por otra parte, P (A) = k IN, k par λ λk e k! = λ k e λ k! k IN, k par Para sumar esta serie, consideramos la función f(x) = k IN xk /k!, definida x IR. Observemos que esta serie es absolutamente convergente x IR. Se tiene que, f(λ) + f( λ) = 2 k IN, k par λ k k! por lo que, k IN, k par λ k k! = 1 2 (eλ + e λ )

7 7 y por consiguiente, P (A) = e λ k IN, k par siendo ya muy fáciles los restantes apartados. λ k k! = 1 2 (1 + e 2λ ) 7. Tal función de peso habría de verificar p(2) = 0 1, p(4) + p(6) = 0 6, p(1) + p(3) + p(5) = 0 3, etc, p(1) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 0 9, y además, p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1. Es muy fácil ver que este sistema lineal de ecuaciones es compatible (indeterminado) siendo por ejemplo una solución p(1) = 0, p(2) = p(3) = 0 1, p(4) = p(5) = 0 2 y p(6) = 0 4. Así pues la respuesta es afirmativa. 8. Como hemos visto en el problema número 1., todos los elementos de un álgebra finito se puede construir a partir de una serie de elementos mínimos o átomos. Esta reconstrucción es única, en el sentido de que una base de átomos genera uno y sólo un álgebra. Por otra parte, los átomos son disjuntos, y su unión es Ω, es decir, la familia de átomos es una partición de Ω, así, habrá tantos álgebras como particiones distintas, descartando elementos vacíos, haya de Ω. El cálculo del número de particiones, T n, de un conjunto finito de tamaño n es un problema combinatorio clásico en el que no nos vamos a extender, dejándolo al alumno como tema de estudio e investigación. Diremos que estas cantidades, T n, se denominan números de Bell, y que verifican la bonita relación de recurrencia, ( ) n n T n+1 = 1 + T k n IN k k=1 siendo algunos de ellos, T 1 = 1, T 2 = 2, T 3 = 5, T 4 = 15, T 5 = 52, etc. Bell ha demostrado que, n=0 T n n! tn = e (et 1) y Dobinski la curiosa fórmula, T n+1 = 1 e (1 n + 2n 1! + 3n 2! + 4n 3! + ) n IN Para ampliar el estudio de estos numeros y de otros relacionados, véase por ejemplo el texto de Berge, Principes de combinatoire, Ed. Dunod, De P (A B) = 0 se deduce que P (A B c ) = 0 y P (B A c ) = 0. Así, P (A) = P ((A B c ) (A B)) = P (A B c ) + P (A B) = P (A B) y por otra parte, P (B) = P ((B A c ) (B A)) = P (B A c ) + P (B A) = P (B A) 10. Por la propiedad considerada en la hipótesis, y al ser A B = (A B) (B A)) se tendrá que (A B), (B A) F. Observemos que A (A B) = = A B, por consiguiente A B F. Por otra parte, (B A) (A B) = = B, de donde se deduce B F.

8 8 11. Se lanza la moneda n veces y se construye la ristra de los CEROS y UNOS obtenidos. Dicho número binario se pasa a decimal, obteniéndose un número entero entre 0 y 2 n Sea A el suceso las dos bolas son negras y sea B el suceso una bola es negra, considerando como espacio muestral el formado por todos los subconjuntos posibles de dos bolas, extraíbles de las quince. Nótese que A B. La probabilidad más coherente con las condiciones del problema es, obviamente, la proporcionada por la regla de Laplace. Hemos de calcular, P [A/B] = P [A B] P [B] = P [A] P [B] = ( 7 ) ( 2 / 15 ) 2 1 ( 8 ( 2) / 15 ) Consideremos como espacio muestral las 36 formas de combinar un resultado en cada dado. Es lógico suponer el principio de equilibrio, y aplicar pues la regla de Laplace. Nótese que si se considera un espacio muestral de 18 resultados, el principio de equilibrio no es coherente. Sea T el suceso la suma de los puntos obtenidos es 3. Hay 5 resultados favorables, luego P (T ) = 5/36. De forma similar se calculan las demás probabilidades. 14. Sea X la variable aleatoria puntos obtenidos al tirar un dado ordinario o equilibrado. Se tiene, E[X] = = 7 2 E[X 2 ] = = 91 6 V [X] = = Supongamos que el dado se lanza n veces. Sea X i la V.A. puntos obtenidos en el lanzamiento i-ésimo. Se tiene Y = X X n. Siendo los sumandos independientes. Por consiguiente, E[Y ] = E[X 1 ] + E[X 2 ] + + E[X n ] = 7n Verdaderamente fácil. V [Y ] = V [X 1 ] + V [X 2 ] + + V [X n ] = 35n Considerar, para cada persona, una variable aleatoria que sea el número de aciertos de la misma. El número total de aciertos será la suma de las tres variables aleatorias.

9 9 17. De existir, sería, Se tiene, si t a < 0 M X (t) = + e tx a 2 e a x dx y si t + a > 0, luego, si t ( a, a), se tendrá, e tx a 2 e a x dx = e tx a 2 e a x dx = M X (t) = a e (t a)x a 2 dx = e (t+a)x a 2 dx = ( 1 a t + 1 ) = a2 a + t a 2 + t 2 a 2(a t) a 2(a + t) 18. Existe, y está definida en todo IR. Su cálculo es un ejercicio trivial de integración. 19. Sigamos fielmente los pasos del teorema de descomposición. La función G será G(x) = 0 en caso de ser x < 1, y G(x) = 1/4 si x 1, se tiene pues que α = 1/4 y por lo tanto tendremos F d (x) = G(x)/(1/4) = I [1,+ ) (x). Por consiguiente, H = F G vendrá dada por, H(x) = F (x) G(x) = siendo pues β = 3/4 y, y finalmente, 0 x < 1 (x + 1)/2 1 x < 0 1/2 0 x < 1 x 2 /12 + 2/3 1/4 1 x < 2 1 1/4 x 2 F c (x) = H(X)/(3/4) = F (x) = αf d (x) + βf c (x) = 1 4 I [1,+ )(x) = 0 x < 1 2(x + 1)/3 1 x < 0 2/3 0 x < 1 (x 2 + 5)/9 1 x < 2 1 x 2 0 x < 1 (x + 1)/2 1 x < 0 1/2 0 x < 1 x 2 /12 + 5/12 1 x < 2 3/4 x 2 0 x < 1 2(x + 1)/3 1 x < 0 2/3 0 x < 1 (x 2 + 5)/9 1 x < 2 1 x 2 Notemos pues que la variable aleatoria no es discreta ni continua. Será pues una variable discreta de tipo mixto. 20. Análogo al anterior. 21. Muy fácil.

10 Se tiene P [X = k] = (3/4) (1/4) k, k IN. Así, la variable aleatoria Z tomará los valores 0, 2/2, 1 y 2/2. Se tiene pues, P [Z = 0] = P [{ω Ω Z(ω) = 0}] = = P [X = 0] + P [X = 4] + P [X = 8] + = y análogo para los demás. Véase problema 6. k=0 3 4 (1 4 )4k 23. Obviamente, al ser F una función de salto, la variable aleatoria es discreta. Su función de probabilidad está definida precisamente por los saltos de F, esto es, P [X = k] = e λ λ k k! k N Notemos que es una distribución de Poisson, P(λ). Esta distribución posee todos los momentos, tanto centrales como ordinarios. Su cálculo se deja como fácil ejercicio mecánico. Puede emplearse la función generatriz de momentos, calculada en clase. 24. F es continua, por lo que, X es continua o de tipo continuo. Por otra parte, es fácil ver que F es derivable en IR siendo su derivada la función, f(x) = 3 4 (1 x2 )I [ 1,1] (x) que es una función con las propiedades de función de densidad, se tiene pues que, F (x) = x f(x) dx x IR luego X, además de ser continua, es absolutamente continua, siendo f su función de densidad. Se tendrá pues, E[X] = E[X 2 ] = + + xf(x) dx = x 2 f(x) dx = V [X] = E[X 2 ] E 2 [X] x 3 4 (1 x2 ) dx x (1 x2 ) dx Se deja como ejercicio, realmente muy sencillo, realizar el cálculo de las anteriores integrales. Puede emplearse MAPLE o similar.