Integración de funciones reales continuas de una variable

Transcripción

1 Integrión de funiones reles ontinus de un vrile Áre del onjunto limitdo por un gráfi Se f W Œ;! R notremos por G.f; ; / el onjunto limitdo por l gráfi de f, el eje OX y ls rets x D, x D. y D f.x/ Figur 1. Conjunto ordendo G.f; ; / de un funión Prtiión de un intervlo. Queremos dr un definiión mtemáti del áre de diho onjunto. Aproximremos el áre por retángulos. Pr ello, doividimos el intervlo Œ; en un número finito de suintervlos Œx k 1 ; x k, 1 6 k 6 n, uys longitudes pueden ser distints y on l úni ondiión de que no se solpen: D x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n D Se die que estos puntos onstituyen un prtiión de Œ;. Sums superior e inferior y sums de Riemnn. Dd un prtiión P D f D x 0 ; x 1 ; x 2 ; : : : ; x n 1 ; x n D g del intervlo Œ;, definmos M k D mkx f Œx k 1 ; x k, m k D mkın f Œx k 1 ; x k. Los números S.f; P/ D nx M k.x k x k 1 /; I.f; P/ D kd1 nx m k.x k x k 1 / se llmn, respetivmente, sum superior y sum inferior de f pr l prtiión P. Ddos n puntos t k 2 Œx k 1 ; x k, 1 6 k 6 n, el número.f; P/ D kd1 nx f.t k /.x k x k 1 / kd1 se llm un sum de Riemnn de f pr l prtiión P. Pr d prtiión del intervlo Œ; hy un úni sum superior y otr inferior pero muhs sums de Riemnn. Puesto que pr todo t k 2 Œx k 1 ; x k es m k 6 f.t k / 6 M k, deduimos que pr tod sum de Riemnn,.f; P/, de f pr l prtiión P se verifi que I.f; P/ 6.f; P/ 6 S.f; P/. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

2 Integrión de funiones ontinus 2 Interpretión de ls sums superior e inferior Cundo f es positiv, y ls longitudes de todos los suintervlos de l prtiión son sufiientemente pequeñs, el número I.f; P/ es un vlor proximdo por defeto y el número S.f; P/ es un vlor proximdo por exeso del áre de l región G.f; ; /. y D f.x/ y D f.x/ Figur 2. Aproximión del áre por sums inferiores y superiores L integrl omo áre. Se f un funión ontinu y positiv en Œ;. Entones se verifi que Kınf fs.f; P/ W P 2P Œ; g D sup fi.f; P/ W P 2P Œ; g Diho vlor omún es, por definiión, el vlor del áre del onjunto G.f; ; / y lo representremos por.g.f; ; //. Por definiión, l integrl de f en Œ; es igul.g.f; ; //. Simólimente esriimos: D.G.f; ; // Prtes positiv y negtiv de un funión. Culquier funión f puede esriirse omo difereni de dos funiones positivs: f C.x/ D f.x/ D jf.x/j C f.x/ 2 jf.x/j f.x/ 2 D mkx ff.x/; 0g D mkx f f.x/; 0g Tenemos que f.x/ D f C.x/ f.x/ y que f C.x/ > 0, f.x/ > 0. L funión f C se llm prte positiv de f, y l funión f se llm prte negtiv de f. Como onseueni de ls definiiones dds jf.x/j D f C.x/ C f Si f es ontinu tmién f C y f son ontinus..x/. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

3 Integrión de funiones ontinus 3 y D f.x/ ydf C.x/ ydf.x/ Figur 3. Prtes positiv y negtiv de un funión L integrl omo áre on signo. En el so generl en que l funión ontinu f tome vlores positivos y negtivos se define l integrl de f en Œ; omo el número: D f C.x/ dx D.G.f C ; ; //.G.f ; ; // Propieddes ásis de l integrl. Linelidd.. f.x/ C ˇg.x// dx D C ˇ g.x/ dx : Conservión del orden. Si f.x/ 6 g.x/ pr todo x 2 Œ; entones 6 g.x/ dx En prtiulr ˇˇˇ ˇ ˇ 6 jf.x/j dx L integrl omo límite de sums de Riemnn. lkım n!1 n nx f kd1 C k n D En prtiulr: 1 lkım n!1 n nx f kd1 k D n 1 0 Ests igulddes sirven, más que pr lulr integrles, pr lulr límites de ierts suesiones que pueden expresrse omo sums de Riemnn de un funión. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

4 Integrión de funiones ontinus 4 Teorem Fundmentl del Cálulo. Se f W Œ;! R un funión ontinu y definmos F W Œ;! R por: F.x/ D x pr todo x 2 Œ;. Entones F es derivle en Œ; y F 0.x/ D f.x/ pr todo x 2Œ;. Primitivs. Dd un funión h W Œ;! R, ulquier funión H W Œ;! R que se ontinu en Œ;, derivle en ; Œ y verifique que H 0.x/ D h.x/ pr todo x 2; Œ, se llm un primitiv de h en el intervlo Œ;. Dos primitivs de un funión en un mismo intervlo se diferenin en un onstnte. Convenio. A vees hy que onsiderr funiones de l form H.x/ D x en donde < < y x 2 Œ; ; por lo que es neesrio preisr lo que se entiende por x undo x <. El onvenio que se he es que: v u D u v ulesquier sen los números u y v. Como onseueni del teorem Fundmentl del Clulo, tenemos que si f W I! R es un funión ontinu en un intervlo I y 2I, l funión F W I! R dd por: es un primitiv de f en I. F.x/ D x Tod funión ontinu en un intervlo tiene primitivs en diho intervlo. El siguiente resultdo es l herrmient prinipl pr lulr integrles. Regl de Brrow. Se f W Œ;! R ontinu y supongmos que h es un primitiv de f en Œ;. Entones: D h./ h./ Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

5 Integrión de funiones ontinus 5 Derivión de funiones definids por integrles. Pr derivr funiones de l form H.x/ D g.x/ donde f es un funión ontinu y g es un funión derivle, se pli el teorem fundmentl del álulo y l regl de l den pr derivr l funión ompuest H.x/ D F.g.x//, donde Tenemos que: Pr derivr funiones de l form F.x/ D x H 0.x/ D F 0.g.x//g 0.x/ D f.g.x//g 0.x/ H.x/ D v.x/ u.x/ donde f es un funión ontinu y u, v son funiones derivles, se esrie H.x/ D y se pli lo diho ntes. v.x/ u.x/ D F.v.x// F.u.x// Integrles impropis de Riemnn Queremos preisr el signifido que deemos dr l integrl de un funión ontinus no otd o l integrl en un intervlo no otdo. Se f W Œ; Œ! R un funión ontinu en el intervlo Œ; Œ, donde suponemos que 2 R y que un número rel myor que o ien D C. Se define l integrl impropi de Riemnn de f en Œ; Œ omo el límite: D lkım t! t Supuesto, lro está, que diho límite exist y se un número rel, en uyo so se die tmién que l integrl de f es onvergente en Œ; Œ. Se f W;! R un funión ontinu en el intervlo ;, donde suponemos que 2R y que un número rel menor que o ien D. Se define l integrl impropi de Riemnn de f en ; omo el límite: D lkım t! t Supuesto, lro está, que diho límite exist y se un número rel, en uyo so se die tmién que l integrl de f es onvergente en ;. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

6 Integrión de funiones ontinus 6 Cundo los límites nteriores existen y son igul C (resp. integrl es positivmente o negtivmente divergente. ) se die que l respetiv Se f W; Œ! R un funión ontinu en el intervlo ; Œ, donde 6 < 6C. Se 2 R on < <. Se die que l integrl de f es onvergente en ; Œ undo ls integrles de f en ; y en Œ; Œ son onvergentes, en uyo so se define: D C Criterios de onvergeni pr integrles impropis. Interes onoer ondiiones que seguren l onvergeni de un integrl sin neesidd de lulr un primitiv elementl. Lógimente, ests ondiiones no nos permitirán lulr el vlor numério de l integrl; tn sólo nos dirán si es o no onvergente. Estos riterios de onvergeni son muy fáiles pr el so de funiones positivs. Criterio ásio de onvergeni. Se f ontinu y positiv en Œ; Œ. Entones, l integrl de f en Œ; Œ es onvergente si, y sólo si, l funión F.x/ D x está myord en Œ; Œ. En otro so l integrl de f en Œ; Œ es positivmente divergente. Criterio de omprión. Sen f y g ontinus y positivs en Œ; Œ. Supongmos que l integrl de g en Œ; Œ es onvergente y que f.x/ 6 g.x/ pr todo x 2Œ; Œ. Entones l integrl de f en Œ; Œ tmién es onvergente. Criterio límite de omprión. Sen f y g ontinus y positivs en Œ; Œ donde suponemos que 2R y que un número rel myor que o ien D C. Supongmos que: Entones: f.x/ lkım x! g.x/ D 2RC o [ fc1g : Si 0 < < C1 ls integrles de f y g en Œ; Œ ms onvergen o ms divergen positivmente. Si D 0 y l integrl de g en Œ; Œ es onvergente tmién lo es l integrl de f. Si D C1 y l integrl de g en Œ; Œ es divergente tmién lo es l integrl de f. Integrles impropis solutmente onvergentes. Se die que l integrl de f es solutmente onvergente en un ierto intervlo undo l integrl de l funión jf j es onvergente en diho intervlo. Se verifi que si l integrl de f es solutmente onvergente, entones l integrl de f tmién es onvergente. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

7 Integrión de funiones ontinus 7 Alguns ténis de álulo de primitivs. El prolem del álulo de primitivs onsiste en trtr de expresr l primitiv trivil de un funión ontinu x F.x/ D f.t/dt por medio de funiones elementles que permitn un evluión efetiv de l integrl. Esto no siempre puede herse: es freuente que un funión elementl no teng primitivs que puedn expresrse por medio de funiones elementles. Esto ourre, por ejemplo, on ls funiones e x2, sen x x, sen.x2 /, p x 3 C 1, y muhs más. Vmos ver lgunos tipos de funiones elementles uys primitivs tmién pueden expresrse por medio de funiones elementles y pueden lulrse on proedimientos más o menos sistemátios. Notión y terminologí usules. Pr representr un primitiv de un funión f, se us l notión L integrl de un funión en un intervlo,, se llm vees integrl definid de f (y es un número). El símolo se llm integrl indefinid o, simplemente, integrl de f (y represent un primitiv ulquier de f ). No te onfunds. Aunque esto puede ser onfuso, no olvides que, undo hlmos de lulr l integrl lo que relmente queremos deir es que queremos lulr un primitiv de f. Vrile de integrión. Como y ses, en los símolos o l letr x puede sustituirse por ulquier otr y el símolo dx (que se lee diferenil x ) sirve pr indir l vrile de integrión. Esto es muy útil si l funión f ontiene prámetros. Por ejemplo, son muy diferentes ls integrles x y dx y x y dy. Notión diferenil pr l derivd. Te reuerdo tmién que, si y D y.x/ es un funión de x, suele usrse l notión dy D y 0 dx que es útil pr menizr lgunos álulos pero que no tiene ningún signifido espeil: es un form de indir que y 0 es l derivd de y respeto x. Finlmente, si ' es un funión, se us l notión '.x/ˇˇxdd xd o '.x/jd pr indir el número '.d/ './, y usremos l notión '.x/ˇˇx! pr indir lkım '.x/ lkım '.x/. Est notión x! x! x! es ómod undo estudimos onvergeni de integrles. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

8 Integrión de funiones ontinus 8 Integrión por prtes. u.x/v 0.x/ dx D u.x/v.x/ v.x/u 0.x/ dx Lo que suele esriirse en l form: u dv D uv v du Pr el so de integrles impropis: u.x/v 0.x/ dx D u.x/v.x/ˇˇxd xd v.x/u 0.x/ dx u.x/v 0.x/ dx D u.x/v.x/ˇˇx! x! v.x/u 0.x/ dx Csos en que se us l integrión por prtes. Pr lulr un integrl en l que l derivd de f.x/ es más senill que l propi funión, omo es el so de log x, r sen x, r tg x. Se elige u.x/ D f.x/. Cundo f.x/ es de l form P.x/ e x, P.x/ sen.x/, P.x/ os.x/, donde P.x/ es un funión polinómi. En todos los sos se elige u.x/ D P.x/ y se otiene un integrl del mismo tipo que l primer pero on el grdo del polinomio rejdo en un unidd. El proeso se repite tnts vees omo se neesrio. Cundo l integrl v.x/u 0.x/ dx es preid l de prtid, de form que l volver plir el proeso l integrl de prtid se repite y es posile despejrl de l iguldd otenid. Integrión por sustituión o mio de vrile. " # x D g.t/; dx D g 0.t/dt d D D D g./; D g.d/ f.g.t//g 0.t/ dt Pr el so de integrles indefinids este proeso de sustituión se represent de form menos preis y se esrie simplemente " # x D g.t/ D dx D g 0 D f.g.t//g 0.t/ dt.t/dt Pueden herse mios de vrile en integrles impropis. Puede ourrir que l her un mio de vrile en un integrl orriente otengmos un integrl impropi. No hy que preouprse porque pr estudir l onvergeni de un integrl pueden herse mios de vrile iyetivos: ello no lter l eventul onvergeni de l integrl ni su vlor. Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

9 Integrión de funiones ontinus 9 Integrión de funiones rionles por el método de los oefiientes indetermindos. P.x/ Dds dos funiones polinómis P.x/ y Q.x/, queremos lulr dx. Pr ello Q.x/ vmos desomponer l frión P.x/ en otrs más senills llmds friones simples. Q.x/ Si el grdo de P es myor o igul que el de Q, se dividen los dos polinomios oteniendo P.x/ G.x/ D H.x/ C Q.x/ Q.x/ donde H.x/ y G.x/ son polinomios y el grdo de G es menor que el grdo de Q. Por tnto, supondremos en lo que sigue que este pso y se h relizdo y que el grdo de P es menor que el grdo de Q. Supondremos tmién que el oefiiente líder del polinomio Q es 1. Lo siguiente es desomponer el denomindor Q.x/ en produto de ftores irreduiles. Cd ríz rel de multipliidd k d lugr un ftor del tipo.x / k. Cd ríz omplej junto on su onjugd de multipliidd p dn lugr un ftor del tipo.x 2 C x C / p on ( 2 4 < 0). Solmente onsiderremos el so de ríes omplejs simples. El pso siguiente es igulr P.x/ un sum de friones simples. Q.x/ Por d ftor del tipo.x / k deemos poner un sum de k friones de l form: kx jd1 Por d ftor del tipo x 2 C x C on ( 2 A j.x / j M x C N x 2 C x C 4 < 0) deemos poner un frión del tipo: Los oefiientes A j, M, N se luln reduiendo omún denomindor e identifindo numerdores. Sólo nos qued lulr ls integrles orrespondientes dihs friones simples. A x dx D A ln jx j; A.x / dx D A 1.k 2N; k > 2/ k k 1.x / k 1 M x C N Cálulo de x 2 C x C dx. Esriimos x2 C x C D.x / 2 C ˇ2 on D =2 y q ˇ D 2 =4. Tenemos que: M x C N x 2 C x C dx D M x C N M.x / C N C M.x / 2 C ˇ2 dx D.x / 2 dx D C ˇ2 M.x / D.x / 2 C ˇ2 dx C N C M.x / 2 C ˇ2 dx D D M.x 2 ln / 2 C ˇ2 dx C.N C M /.x / 2 C ˇ2 D D M 2 ln.x / 2 C ˇ2 C N C M r tg ˇ x ˇ : Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

10 Integrión de funiones ontinus 10 Integrión por rionlizión. Amos de ver que l primitiv de un funión rionl siempre puede expresrse medinte funiones elementles. Nos vmos oupr hor de lgunos tipos de funiones no rionles uys integrles se pueden trnsformr, por medio de un mio de vrile, en integrles de funiones rionles. Se die entones que l integrl de prtid se h rionlizdo y est téni se onoe omo integrión por rionlizión. Integrión de funiones del tipo R.sen x; os x/. Ls integrles del tipo R.sen x; os x/ dx donde RDR.x; y/ un funión rionl de dos vriles, se rionlizn on el mio de vrile t D tg.x=2/. Con lo que Con ello result: sen x D R.sen x; os x/ dx D 2t 1 t2 2 dt ; os x D ; dx D 1 C t2 1 C t2 1 C t 2 t D tg.x=2/ D R! 2t 1 C t 2 ; 1 t2 1 C t 2 2 dt 1 C t 2 Csos prtiulres. Cundo R. sen x; os x/ D R.sen x; os x/ se die que R es pr en seno y oseno. En este so es preferile el mio tg x D t. Con lo que sen x D t p ; os x D 1 dt p ; dx D 1 C t 2 1 C t 2 1 C t 2 En el so prtiulr de trtrse de un integrl del tipo sen n x os m x dx on n y m números enteros pres, es preferile simplifir l integrl usndo ls identiddes os 2 x D 1 C os 2x 2 sen 2 x D 1 os 2x : 2 Cundo R. sen x; os x/ D R.sen x; os x/ se die que R es impr en seno y el mio os x D t suele ser efiz. Cundo R.sen x; os x/d R.sen x; os x/ se die que R es impr en oseno y el mio sen x D t suele ser efiz. Apliiones de l integrl. Cálulo de áres plns. Regiones de tipo I. Prinipio de Cvlieri. El áre de un región pln es igul l integrl de ls longitudes de sus seiones por rets prlels un ret dd. Supongmos que f, g son funiones ontinus y llmemos l región del plno omprendid entre ls urvs y D f.x/ e y D g.x/ pr 6 x 6. Se die que es un región de Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

11 Integrión de funiones ontinus 11 tipo I. Su áre viene dd por./ D jf.x/ g.x/j dx Cálulo de áres plns. Regiones de tipo II. Supongmos que f, g son funiones ontinus y llmemos l región del plno omprendid entre ls urvs x D f.y/ y x D g.y/ pr 6 y 6. Se die que es un región de tipo II. Su áre viene dd por jf.y/ g.y/j dy Oserv que permutndo y por x un región de tipo II se onvierte en otr de tipo I on igul áre. Longitud de un ro de urv. L longitud de un urv dd por.t/d.x.t/; y.t//, 6t 6 viene dd por q `. / D x 0.t/ 2 C y 0.t/ 2 dt Pr el so prtiulr de que l urv se l gráfi de un funión y D f.x/, esto es.x/ D.x; f.x//, entones su longitud viene dd por Cálulo de volúmenes. `. / D q 1 C f 0.x/ 2 dx Cálulo de volúmenes por seiones plns. El volumen de un región en R 3 es igul l integrl del áre de sus seiones por plnos prlelos uno ddo. Volumen de un uerpo de revoluión. Los uerpos de revoluión son regiones de R 3 que se otienen girndo un región pln lrededor de un ret llmd eje de giro. Método de los disos o de ls rndels. Se f W Œ;! R un funión ontinu. Girndo l región del plno omprendid entre l urv y D f.x/, el eje de siss y ls rets x D y x D, lrededor del eje OX otenemos un sólido de revoluión uyo volumen viene ddo por: Vol./ D f.x/ 2 dx El volumen del sólido de revoluión,, otenido girndo lrededor del eje OX un región de tipo I definid por dos funiones ontinus f; g W Œ;! R tles que 0 6 f.x/ 6 g.x/ pr todo x 2 Œ;, se otiene integrndo ls áres de ls orons irulres o rndels,.x/, de rdio interior f.x/ y rdio exterior g.x/, otenids l ortr por un plno perpendiulr l eje OX en el punto.x; 0; 0/. Vol./ D.g.x/ 2 f.x/ 2 / dx Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd

12 Integrión de funiones ontinus 12 Consideremos hor un sólido de revoluión otenido girndo lrededor del eje OY un región R de tipo II, definid por dos funiones ontinus '; W Œ; d! R tles que 0 6 '.y/ 6.y/ pr todo y 2 Œ; d, es deir, R es l región R D f.x; y/ W y 2 Œ; d; '.y/ 6 x 6.y/g El volumen del sólido de revoluión resultnte,, viene ddo por: Vol./ D Método de ls lámins o de los tuos. d..y/ 2 '.y/ 2 / dy Consideremos un funión positiv f W Œ;! R y l región G.f; ; / limitd por l gráfi de dih funión y ls rets vertiles x D, x D. Girndo dih región lrededor del eje OY otenemos un sólido de revoluión,, uyo volumen viene ddo por Vol./ D 2 x : En generl, si notmos por R.x/ l distni del punto.x; 0/ l eje de giro, entones: Vol./ D 2 R.x/ Cálulo de áres de superfiies de revoluión. Se f W Œ;! R un funión on derivd primer ontinu. Girndo l gráfi de dih funión lrededor del eje OX otenemos un superfiie de revoluión, uy áre viene dd por:./ D 2 q f.x/ 1 C f 0.x/ 2 dx Dpto. de Análisis Mtemátio Universidd de Grnd