IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2001 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A Area Area

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1 IES Fco Ayl de Grnd Sobrntes del (Modelo ) GermánJesús Rubio Lun OPCIÓN A Ejercicio de l Opción A del Modelo de sobrntes de. Se quiere dividir l región encerrd entre l prábol y x y l rect y en dos regiones de igul áre medinte l rect y. Hll el vlor de Como se quiere dividir l región pln encerrd entre l prábol y x (en rojo), y l rect y (en verde) en dos regiones de igul áre medinte l rect y (ver figur).5 Are.5 Are.5 Pr determinr el áre limitd por dos funciones hemos de igulrls pr clculr sus puntos de corte De y x e y, tenemos x de donde x ± De y x e y, tenemos x de donde x ± Tenemos que igulr ls áres pr determinr el vlor de, es decir Áre Áre Áre () dx () dx (x ) dx (x ) dx [ x] [ ] x x x + ( )/ / Áre ( x x ) dx x ( )/ Igulndo ls áres tenemos + ( )/ / ( )/, y operndo nos result ½, de donde , luego hy que dividirlo por l rect y y y Ejercicio de l Opción A del Modelo de sobrntes de. x Se f l función definid pr x por f(x) x () [ punto] Clcul ls síntots de l gráfic de f (b) [ punto] Determin los intervlos de crecimiento y decrecimiento y los extremos reltivos de f. (c) [ 5 puntos] Esboz l gráfic de f x () Como lim + x x () x +, x es un A.V. de f; lim + x x () Tiene un A.O. y mx + n porque es un cociente con el numerdor de grdo un unidd más que el denomindor, con f(x) m lim x x lim x x n lim (f(x) mx) lim x x x(x ) x x x luego l A.O. es y mx + n x +. Se puede hcer rpidmente dividiendo numerdor entre denomindor x x x + x x+ x b) Estudio de f (x) 4x(x)()(x ) x 4x f (x) ( x ) ( x ) f (x) ; x 4x ; x(x 4), de donde x y x 4 que serán los posibles máximos o mínimos

2 IES Fco Ayl de Grnd Sobrntes del (Modelo ) GermánJesús Rubio Lun Hy que tener cuiddo co x, pues hí no está definid l función Gráficmente máximo mínimo f () > f ( 5) < f ( 5) < f () > f(x) crece f(x) decrece f(x) decrece f(x) crece f(x) crece en (, ) (, + ), decrece en (, ) (,). Tendrí un máximo reltivo en x con vlor f(), y un mínimo reltivo en x con vlor f() 8. En x no está definid y tiene un síntot verticl c) Su gráfic es ( en zul l síntot oblicu) 4 Ejercicio de l Opción A del Modelo de sobrntes de. [ 5 puntos] De ls mtrices A, B, C y D determin cuáles tienen invers y en los csos en que exist, clcul el determinnte de dichs mtrices. Pr que un mtriz teng invers h de ser cudrd y su determinnte tiene que ser distinto de cero, por tnto descrtmos l mtriz B puesto que no es cudrd A luego existe A C luego no existe C D luego existe D. En ls mtrices tringulres su determinnte es el producto de los elemntos de l digonl principl. Sbemos que A A I, por definición de mtriz invers. Adems por ls propieddes de los determintes A A A A I, por tqnto A / A, con lo cul A / A /() A / A / Ejercicio 4 de l Opción A del Modelo de sobrntes de. [ 5 puntos] Determin el centro y el rdio de l circunferenci que ps por el origen de coordends, tiene su centro en el semieje positivo de bciss y es tngente l rect de ecución x+y Como su centro está en el eje de bciss es de l form C(,) Como l circunferenci ps por el origen su rdio es r d(c,o) OC + Como l circunferenci es tngente l rect y x + result tmbien que el rdio es l distnci desde el + centro dich rect, es decir r d(c, rect) + Igulndo ls expresiones de los rdios tenemos. Elevndo l cudrdo tenemos () ( + )/, de donde +. Resolviendolo nos qued ±, y como es positivo solo vle como rdio +, y el centro de l circunferenci es ( +, )

3 IES Fco Ayl de Grnd Sobrntes del (Modelo ) GermánJesús Rubio Lun Gráficmente Ejercicio de l Opción B del Modelo de sobrntes de. 5x+ si x Se f : R R l función definid por f(x) x x + si x > () [ punto] Esboz l gráfic de f (b) [ 5 puntos] Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de f, el eje de bciss y l rect x () 5x + es un rect luego dándole vlores podemos dibujrl yx x+ es un prábol por tnto necesitmos su vértice., y x, y, luego l bcis del vértice es x, y l ordend +. Vértice(,), y ls rms hci rrib L gráfic es (b) l rect y 5x+ cort l eje OX en el punto x, por tnto el áre pedid es Áre (5x+) dx + (x 5x x x+) dx + x + x + x (5/ ) ( ) + (9 9 +6) (/ ) 7 / 6 u.. Ejercicio de l Opción B del Modelo de sobrntes de. x [ 5 puntos] Siendo Ln(x) el logritmo neperino de x, clcul lim x Ln(x). x lim x Ln(x) xln(x) x+ lim (x)ln(x) Ln(x)+ x {L Hôpitl} lim x Ln(x) lim Ln(x)+(x) x Ln(x)+(x) x x x Ln(x) lim x Ln(x)+(x) Ln(x)+x {L Hôpitl} lim x + Ln(x)+x /. x

4 IES Fco Ayl de Grnd Sobrntes del (Modelo ) GermánJesús Rubio Lun Ejercicio de l Opción B del Modelo de sobrntes de. x Consider A, B y X y z () [ punto] Determin el rngo de A en función del prámetro. (b) [ 75 puntos] Discute en función de el sistem, ddo en form mtricil AX B. (c) [ 75 puntos] Resuelve AX B en los csos en que se comptible indetermindo. () A + + +(4+) Resolvemos y obtenemos y / Si y / el rngo(a) Si, A. En A como, el rngo(a) Si /, A. En A / como /, el rngo(a) / / / (b) L mtriz de los coeficientes es A, y l mtriz mplid A * Si y / el rngo(a) rngo(a * ) y el sistem es comptible y determindo por el Teorem de Rouche, es decir tiene solución únic. Si A y A *. En A * como, tenemos que rngo(a * ) Como rngo(a) rngo(a * ). el sistem es comptible e indetermindo, es decir tiene infinits soluciones. Este cso tendré que resolverlo en elprtdo (c) y tomré dos ecuciones y dos incógnits principles Si / A / y A * /. En A * como / /( /), tenemos / / / / / que rngo(a * ) Como rngo(a) rngo(a * ), el sistem es incomptible. (c) Tengo que resolver el cso. Tomo dos ecuciones (ls dos primers, pues con ells me he segurdo que el rngo er ) y dos incognits principles x y z. Tomo z λ y + z y z λ; x +y+z 4λ+λ λ. L solución del sistem es (x,y,z) (λ, λ, λ) con λ R. Ejercicio 4 de l Opción B del Modelo de sobrntes de. [ 5 puntos] Consider los puntos A(,,), B(,,), C(,,) y D(,b,). Hll y b sbiendo que l rect que ps por A y B cort perpendiculrmente l rect que ps por C y D Rest r que ps por A y B. Punto A(,,) y vector v AB (,,) Rest s que ps por C y D. Punto C(,,) y vector w CD (,b+,) Como l rect r cort perpendiculrmente l rect s los vecotors direcotres v y w son perpendiculres es decir su producto esclr es cero v w +()(b+) + 9. Operndo nos qued b + 8 4

5 IES Fco Ayl de Grnd Sobrntes del (Modelo ) GermánJesús Rubio Lun Si los vectores directores son prlelos ls rects son prlels y si los vectores diredctores no son prlelos ls rects se cortn o se cruzn, pr lo cul tenemos que estudir el determinnte siguiente det( AC,v,w). Si det( AC,v,w) ls rects se cruzn. Si det( AC,v,w) ls rects se cortn que es el cso quenos hn pedido det( AC 5,v,w) 5 () ()(9++5b+55) b+ b+ b+ 5b 4 b+ 8 Resolviendo el sistem, obtendremos y b 5b 4 4b + ; b / +/+8 ; 7/4 5

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