3. Distribuciones de probabilidad

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1 3. Distribucioes de probabilidad Estudiamos a cotiuació las pricipales distribucioes de probabilidad que se ecuetra e las aplicacioes del cálculo de probabilidades. Clasificaremos las distribucioes atediedo a si correspode a variables aleatorias discretas o cotiuas Pricipales distribucioes de ua v.a. discreta La ley de probabilidad de ua variable aleatoria discreta ξ está defiida si se cooce: Su distribució de probabilidad P (ξ = x i ), i = 1, 2,..., ó Su fució de distribució F (x) = P (ξ x) = x i x P (ξ = x i) 1. Distribució uiforme Ua v.a. discreta ξ que toma valores eteros 1, 2,...,, cada uo de ellos co igual probabilidad: P (ξ = k) = 1, k = 1, 2,..., recibe el ombre de variable uiforme discreta, y su distribució distribució uiforme discreta. Su media, variaza y desviació típica viee dadas por: µ ξ = + 1 ; σξ 2 = ; σ 2 1 ξ =

2 2. Distribució de Berouilli Ua prueba de Berouilli es u experimeto aleatorio que admite sólo dos resultados excluyetes: A(éxito), co P (A) = p A (fracaso), co P (A ) = 1 p = q La variable aleatoria ξ asociada a este experimeto que toma el valor 1 (cuado ocurre A) y 0 (cuado ocurre A ), co P (ξ = 0) = q, P (ξ = 1) = p, es decir: ξ P (ξ = x i ) 0 q 1 p p + q = 1 se llama variable de Berouilli, y se escribe ξ Ber (p) Su media, variaza y desviació típica viee dadas por: µ ξ = p; σ 2 ξ = pq; σ ξ = pq 3. Distribució biomial Supogamos que se realiza pruebas de Berouilli Ber (p) sucesivas e idepedietes. A la variable aleatoria discreta ξ = úmero de veces que ocurre A (éxito) e las pruebas se la deomia variable biomial de parámetros y p: ξ B (, p) 22

3 Se tiee: f(k) = P (ξ = k) = ( ) p k q k, co k = 0, 1, 2,..., k Su media, variaza y desviació típica viee dadas por: µ ξ = p; σ 2 ξ = pq; σ ξ = pq 4. Distribució de Poisso ó de los sucesos raros Ua variable aleatoria ξ se dice que sigue ua distribució de probabilidad de Poisso, ξ P (λ), si puede tomar todos los valores eteros 0, 1, 2,...,,... co probabilidad P (ξ = k) = λk k! e λ λ > 0 k = 0, 1, 2,... e = 2, Esta ley se aplica como aproximació de experimetos biomiales dode el úmero de pruebas es muy alto, pero la probabilidad de éxito es muy baja. Así, es ua buea aproximació de la biomial cuado es grade y p pequeña: E ese caso λ = p. > 30, p 0,1 ó p < Distribució geométrica Cosideramos u experimeto cosistete e la realizació sucesiva de pruebas de Berouilli. A la variable ξ = úmero de fracasos obteidos hasta la aparició del primer éxito 23

4 se la deomia variable geométrica P (ξ = k) = pq k { k = 0, 1, 2, 3,... 0 < p < 1; q = 1 p La media y la variaza de esta v.a. so: µ ξ = q p ; σ2 ξ = q p Pricipales distribucioes de ua v.a. cotiua La ley de probabilidad de ua variable aleatoria cotiua ξ está defiida si se cooce: Su fució de desidad f(x), ó Su fució de distribució F (x), siedo F (x) = P (ξ x) = + f(x)dx. 1. Distribució uiforme Ua variable aleatoria cotiua ξ sigue ua distribució uiforme e el itervalo [a, b] cuado su fució de desidad es: 0, x < a 1 f(x) = b a, a x b 0, x > b 24 0, x < a x a F (x) = b a, a x b 1, x > b

5 Su media, variaza y desviació típica so: µ ξ = a + b 2 ; σ2 ξ = (b a)2 ; σ ξ = b a ; Distribució expoecial Es el equivalete cotiuo de la distribució geométrica discreta. Esta ley de distribució describe procesos e los que os iteresa saber el tiempo hasta que ocurre determiado eveto (p.e. tiempo que tarda ua partícula radiactiva e desitegrarse). Decimos que ua v.a. cotiua ξ sigue ua distribució expoecial de parámetro λ, si su fució de desidad es: ξ Exp(λ) f(x) = λe λx. Su media y su variaza viee dadas por: µ ξ = 1 λ ; σ2 ξ = 1 λ 2 3. Distribució ormal o de Laplace-Gauss Esta distribució recibe el ombre de ormal porque la mayoría de las v.a. cotiuas de la aturaleza sigue esta distribució. Se dice que ua v.a. ξ sigue ua distribució ormal de parámetros: µ σ 2, y se escribe si su fució de desidad es: ξ N(µ, σ 2 ) 25

6 f(x) = 1 σ 2π e 1 (x µ) 2 2 σ 2, x R Su media, variaza y desviació típica viee dadas por: µ ξ = µ; σ 2 ξ = σ 2 ; σ ξ = σ. Observamos que: a) La fució de desidad tiee u máximo e x = µ, dos putos de iflexió e x = µ σ, x = µ + σ y al eje OX como asítota. La forma de la fució de desidad es la llamada campaa de Gauss. Esta gráfica es simétrica respecto de x = µ. Media, mediaa y moda coicide. b) La posició de la campaa viee dada por el parámetro de cetralizació µ. El parámetro de dispersió es σ 2 o equivaletemete σ. Cuado meor sea, mayor masa de probabilidad (área compredida etre la curva y el eje de abscisas) habrá cocetrada alrededor de la media. La gráfica de f estará muy aputada cerca de µ. Cuato mayor sea el parámetro de dispersió, más aplastada será. c) La mayor parte de la masa de probabilidad está cocetrada alrededor de la media. Cuato más alejado esté u valor de la media, meos probable será. 26

7 d) La ormal es buea aproximació de ua variable aleatoria co distribució biomial ξ B (, p) si es suficietemete grade y p o está i muy próximo a 0 i a 1. E particular, si aproximaremos > 30, p > 4, q > 4 ξ N(p, pq) Hemos de otar que esta aproximació o es apropiada a meos que sea muy grade o p q 1 2. e) Si ξ 1 es N(µ 1, σ 1 ) y ξ 2 es N(µ 2, σ 2 ) idepedietes etre sí, etoces ξ 1 ± ξ 2 es N(µ 1 ± µ 2 ; σ σ 2 2) f ) Si ξ es N(µ, σ) y Z = X µ, etoces Z es N(0, 1) σ f(z) = 1 e 1 2 z2, z R 2π A Z se le deomia variable tipificada de ξ y a la curva de su fució de desidad curva ormal tipificada. Observamos: 1) No depede de parámetros. 2) µ = 0, σ 2 Z = 1, σ Z = 1 4. Distribució χ 2 de Pearso Sea ξ 1, ξ 2,..., ξ variables aleatorias N(0, 1) idepedietes etre sí. La variable χ 2 = ξ ξ ξ 2 recibe el ombre de χ 2 (ji-cuadrado) de Pearso co grados de libertad. Sólo puede tomar valores positivos, y depede sólo del parámetro. Su media, variaza y desviació típica viee dadas por: µ χ 2 = ; σ 2 χ 2 = 2; σ χ 2 = 2 27

8 Al aumetar el úmero de grados de libertad, esta distribució se aproxima asitóticamete a la ormal. Para > 30 : 2χ 2 N( 2 1, 1) Se ecuetra tablas de χ 2 para valores Distribució t de Studet Sea +1 variables aleatorias idepedietes etre sí ξ 1, ξ 2,..., ξ, ξ co distribucioes N(0, σ) todas ellas. Etoces la variable aleatoria t = 1 ξ = i=1 (ξ i) 2 1 ξ/σ = i=1 (ξ i/σ) 2 Z 1 χ2 es ua t de Studet de grados de libertad, dode Z es N(0, 1) y χ 2 es ua χ 2 de Pearso co grados de libertad. Esta distribució tiee propiedades parecidas a la N(0, 1): Su media es 0. Es simétrica respecto a la media (es decir respecto OY ). No depede de la desviació típica. Para u úmero alto de grados de libertad la distribució t de Studet se puede aproximar por la ormal: t N(0, 1) Está tabulada para diferetes valores de. 6. Distribució F de Fisher-Sedecor Sea χ 2 1 y χ 2 2 dos variables χ 2 de Pearso, respectivamete co 1 y 2 grados de libertad, idepedietes etre sí. Etoces F 1, 2 = se deomia F de Fisher-Sedecor co 1, 2 grados de libertad. χ χ

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