Test de Hipótesis. Error de tipo I: Rechazar H 0 siendo H 0 Verdadera. Error de tipo II: No rechazar H 0 siendo H 0 Falsa
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- Concepción Méndez Carmona
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1 Error tpo I: Rechazar H sedo H Verdara Test Hpótess Error tpo II: No rechazar H sedo H Falsa Nvel Sgfcacó: = P(error tpo I = P(Rechazar H sedo H Verdara Probabldad error tpo II: = P(error tpo II = P(No rechazar H sedo H Falsa Poteca: = P( Rechazar H. Cuado H es falsa, la poteca es = P( Rechazar H sedo H Falsa = 1 -, y cuado H es verdara la poteca es gual a la probabldad error tpo I que como e geeral es fjado por el vestgador o tee setdo calcular la poteca para valores la hpótess ula. Tests Exactos Test Hpótess Tpo dstrbucó I Cocete Verosmltud o Neyma- Pearso: es el test máxma poteca Sea 1,..., v.a. d co fucó sdad o probabldad putual H : = p (x es ua H 1 : = 1 fucó probabldad putual dada por ua tabla Estadístco Zoa Rechazo Procedmeto L ( 1 do L ( L ( es la fucó máxma verosmltud Rechazo H a vel s L ( 1 L ( k Recordar que s hay Do k cumple que ua sola observacó, L ( 1 P( k sedo = o sea s =1, la L ( fucó verosmltud es gual a la fucó sdad o probabldad putual segú sea cotua o dscreta respectvamete. Luego s =1 el estadstco es L ( p ( x 1 1 L ( p ( x Se calcula a partr la tabla p ( x 1 probabldad putual los cocetes p ( x Se ora los cocetes mayor a meor Se costruye ua tabla que cotee e la prmera columa los cocetes orados e forma crecete, a cotuacó los valores x correspotes a cada cocete. E la 3ra columa los valores la probabldad bajo correspote a cada valor. Por ultmo se calcula los valores acumulados la probabldad bajo Para calcular la regó rechazo se busca e la columa las probabldas el valor (o el mayor valor que o supera e caso que o este exactamete. La regó rechazo estará formada por los x que está la fla l haca arrba
2 Test Hpótess Tpo dstrbucó II Cocete H : = esta H 1 : = 1 dada por ua Verosmltud fórmula (ya o Neyma- sea que es Pearso dscreta o Sea 1,..., cotua v.a. d co fucó sdad o probabldad putual Estadístco Zoa Rechazo Procedmeto L ( 1 L ( do L ( es la fucó verosmltud Rechazo H a vel s L ( 1 L ( k Do k cumple que L ( 1 P( k sedo = L ( L ( 1 Se calcula k L ( Y se speja lo que vee la muestra (o sea todo lo que volucra a las. De esta maera queda expresada la zoa rechazo e fucó las, o sea queda g( mayor o meor que C (do C es cte Se calcula la dstrbucó la fucó la muestra que spejé (o sea g( y e base a la hpótess ula se calcula C para que el vel l test sea III Cocete Verosmltud o Neyma- Pearso Sea 1,..., v.a. d co fucó sdad o probabldad putual H : = esta H 1 : > dada por ua fórmula (ya sea que es dscreta o cotua Se realza prmero el test l cocete Verosmltud para las Hpótess H : = H 1 : = 1 co 1 > Ua vez obteda la regó rechazo, se escrbe lo sguete: como para calcular la regó rechazo o use el valor 1 so solo el hecho que 1 >, el msmo test srve para las hpótess H : = H 1 : >, o sea la zoa rechazo para estas hpótess es la msma que la que saque para las hpótess smples (o sea para H : = H 1 : = 1 co 1 >
3 IV Cocete Verosmltud o Neyma- Pearso Sea 1,..., v.a. d co fucó sdad o probabldad putual H : = H 1 : < esta dada por ua fórmula (ya sea que es dscreta o cotua Se realza prmero el test l cocete Verosmltud para las Hpótess H : = H 1 : = 1 co 1< Ua vez obteda la regó rechazo, se escrbe lo sguete: como para calcular la regó rechazo o use el valor 1 so solo el hecho que 1 <, el msmo test srve para las hpótess H : = H 1 : <, o sea la zoa rechazo para estas hpótess es la msma que la que saque para las hpótess smples (o sea para H : = H 1 : = 1 co 1 < V Cocete Verosmltud o Neyma- Pearso para dstrbucó Normal Sea 1,..., v.a. d N(, 1 H : H 1 : > H : H 1 : < 3 H : = H 1 : N(, coocda Z ~ N (,1 Rechazo H a vel s 1 Z > Z Z < - Z 3 Z > Z / o Z < - Z / V Cocete Verosmltud o Neyma- Pearso para dstrbucó Normal Sea 1,..., v.a. d N(, 1 H : H 1 : > H : H 1 : < 3 H : = H 1 : N(, scoocda do S t S 1 ( ~ t 1 1 Rechazo H a vel 1 t > t, -1 t < - t, -1 3 t > t /,-1 o t < - t /,
4 Tests Astótcos Suposcoes Hpótess Estadístco Zoa Rechazo Sea 1,..., v.a. d co 1 H : H 1 : > Rechazo H a vel s E( = H : H 1 : < Z N(,1 1 Z > Z S Var ( = 3 H : = H 1 : Z < - Z ( gra 1 3 Z > Z do S / o Z < - Z / (* Sea 1,..., v.a. d co 1 H : H 1 : > ˆ MV Rechazo H a vel s fucó sdad o Z N(,1 probabldad putual. ( H : H 1 : < 1 3 Z > Z gra I( Sea E( = Var ( = 3 H : = H 1 : 4 Z < - Z També pue usarse ˆ MV Z 1 I( ˆ MV N(,1 3 Z > Z / o Z < - Z / (* Sea ~ B (,p (* gra 1 H : p p H 1 : p > p H : p p H 1 : p < p 3 H : p = p H 1 : p p ˆ Z p p pˆ (1 pˆ N(,1 do pˆ També pue usarse como estadístco Z pˆ p p (1 p N(,1 Rechazo H a vel s 1 Z > Z Z < - Z 3 Z > Z / o Z < - Z / Nota: los tests astótcos (* so equvaletes a los test Wald dados e teórca e el setdo que ambos rechaza o ambos o rechaza para u vel dado. Observar que los estadístcos dados so la raíz cuadrada los estadístcos Wald W 1 y W que tee dstrbucó Ch-cuadrado co u grado lbertad y por lo tato la raz cuadrada estos estadístcos tedrá dstrbucó ormal.
5 Test Neyma Pearso para varables co dstrbucó Normal Sea 1,..., v.a. d co dstrbucó N(, y coocda I. Tests para la meda Caso 1: ~ N(, y es coocda Hpótess Estadístco Regó Rechazo 1 H : H 1 : > Rechazo H a vel s H : H 1 : < Z ~ N (,1 3 H : = H 1 : 1 Z > Z Z < - Z 3 Z > Z / o Z < - Z / Caso : ~ N(, y es scoocda Hpótess Estadístco Regó Rechazo 1 H : H 1 : > Rechazo H a vel s H : H 1 : < 3 H : = H 1 : do S t S 1 ( ~ t Z > Z Z < - Z 3 Z > Z / o Z < - Z /
6 II. Tests para la varaza Caso 1: ~ N(, y es coocda Hpótess Estadístco Regó Rechazo 1 H : H 1 : > Rechazo H a vel s H : 3 H : = H 1 : < H 1 : Caso : ~ N(, y es scoocda C do ˆ ˆ 1 ~ ( 1 C > C <, 1, 3 C > o C <, 1, Hpótess Estadístco Regó Rechazo 1 H : H 1 : > Rechazo H a vel s H : 3 H : = H 1 : < H 1 : do S ˆ C 1 ~ ( C > C <, 1 1, 1 3 C > o C <, 1 1, 1
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