TRABAJO PRACTICO Nº4 AÑO 2018 CÁLCULO DE PREDICADOS

Transcripción

1 AC ÓIUT PMOCRÓTIC TRABAJO PRACTICO º4 AÑO 2018 CÁLCULO DE PREDICADOS 1.- Para cada uno de los predicados siguientes, halle un universo de discurso adecuado dentro de la lista siguiente: números reales, enteros, seres humanos y animales. a) pájaro(x) b) está casado(x) c) tiene alas(x) 2.- Confeccione las tablas de verdad de los siguientes predicados siendo el universo de discurso el conjunto U = { 1, 2, 4, 8} a) P ( x ): x es primo b) R( x, y ): x es mayor o igual que y c) T( x, y ): x es el doble de y 3.- Exprese las siguientes frases en cálculo de predicados suponiendo que el Universo de Discurso es: I ) El conjunto de los º aturales; II ) El conjunto de los º Enteros. a) Todos los números naturales son pares b) Por lo menos un número natural es múltiplo de 3. c) Los números naturales son primos. 4.- En el dominio de los números naturales, cómo traduciría las frases siguientes? a) Algunos números primos son pares b) Los números pares son primos solamente si son menores que En el dominio de los animales Cómo traduciría las expresiones siguientes? a) Todos los leones son predadores. b) Sólo rugen los leones. c) Algunos leones solo comen cebras. 6.- Traduzca las siguientes frases al lenguaje de cálculo de predicados. Suponga que el universo está formado por todas las personas. a) Alguien que es amable con todo el mundo. b) Todos queremos a alguien Particularice: a) S 3 x P( x ) b) S ax [P (x ) Q (b )] c) S bx [P (a) Q ( y )] d) S ax [P (x ) Q ( y ) R (x, y)] 8.- Halle las variables libres y ligadas en a) x P ( x) Q ( y ) b) x y (P ( x, y, z ) Q ( y, z)) R( x ) 9.- Examine las posibles interpretaciones de x P ( x), x P ( x), x P(x) en el Universo siguiente {a, b, c}, sabiendo que: 1

2 AC ÓIUT PMOCRÓTIC a) P(x) V V V b) P(x) V F F c) P(x) F F F 10.- Un universo contiene los tres individuos a, b y c. Para estos individuos, se define un predicado Q( x, y ) y sus valores de verdad están dados por la tabla siguiente: Q(x, y) a V F V b F V V c F V V Encuentre el valor de verdad de: a) xq ( x,c) b) y Q (a, y ) c) x yq (x, y ) d) x y Q ( x, y ) e) x yq ( x, y ) f) x y Q ( x, y ) 11.- Los predicados P ( x, y ) y Q ( x, y ) están definidos en el universo U = { A, B,C } y sus valores de verdad están dados por las siguientes tablas: P(x, y) A B C Q(x, y) A B C A V V F A F F V B F V V B V F V C V V V C F V V Encuentra el valor de verdad de: a) x y P ( x, y ) x y Q ( x, y ) b) x y P( x, y ) y xq (x, y) c) ( x y P( x, y ) x y Q ( x, y )) d) y P ( A, y ) yq (B, y ) 12.- Sea un universo de discurso que consta de tres personas solamente, a saber, Juan, Juana y 2

3 AC ÓIUT PMOCRÓTIC María. Los tres son alumnos, y ninguno de ellos es rico. Denote con A(x), M(x), V(x) y R(x) a las propiedades de ser alumno, mujer, varón y rico respectivamente. Confeccione una tabla con los valores de verdad de los predicados A, M, V y R, y encuentre el valor de verdad de: x [( A (x ) M ( x)) (V ( x ) R( x))] 13.- Dada la siguiente frase en lenguaje coloquial: Solamente los vecinos de Juan tienen trabajo a) Formalícela en el lenguaje de cálculo de predicado: b) Evalúela en el dominio : D = { Pedro, Juan, Luis, Carlos }, sabiendo que: 1.- Pedro tiene trabajo pero Juan y Luis no 2.- Pedro y Luis son vecinos de Juan 3.- Carlos no tiene trabajo y no es vecino de Juan 14.- Construya una derivación formal para demostrar que los siguientes argumentos son válidos: a) Todos los profesores de Matemáticas han estudiado Cálculo. Ana es profesora de matemáticas. Por lo tanto Ana ha estudiado Cálculo. b) inguna estudiante de penúltimo o último año está en inscripta en una clase de Educación Física. María está inscripta en una clase de Educación física Por lo tanto, María no es una estudiante de último año. c) x [ P (x ) (Q ( x ) R(x))] x [P ( x) S(x )].: x [R (x ) S (x )] 15.- Considere la siguiente expresión: x P ( x) (Q( x ) P ( x )). Traslade todos los cuantificadores universales al comienzo de esta expresión Considere la siguiente expresión: x P( x ) x (Q ( x) P (x )). Traslade todos los cuantificadores existenciales al comienzo de la expresión iegue las siguientes expresiones: a) n, n<3 b) n /n 3 n=0 c) n,(n+1) 2 =n 2 +2n+1 d) n /n 2 +1=0 e) x/ x>1 x 2 =9 f) x,[ x 0 x 2 >0 ] 18.- Interprete la equivalencias dadas en la siguiente tabla, pues la usará posteriormente 3

4 AC ÓIUT PMOCRÓTIC TABLA 1 EQUIVALECIAS QUE IMPLICA CUATIFICADORES x A A x A A x A y S y x A x A Si y no es libre en A x A y S y x A x A Si y no es libre en A x A S t x A x A S t x A x ( A B) A x B x ( A B ) A x B x ( A B) x A x A x ( A B) x A x B x y A y x A x y A y x A x A x A x A x A Para cualquier término t Para cualquier término t 19.- Encuentre la negación de las siguientes proposiciones: a) x (P( x ) Q ( x )) b) x y [( A ( x, y ) B ( x, y )) C (x, y )] 20.- Las siguientes reglas nos permiten hacer derivaciones en cálculo de predicados: TABLA 2 REGLAS DE IFERECIA PARA CÁLCULO DE PREDICADOS x A > S t x A Particularización Universal A > x A Generalización Universal S t x A > x A Generalización Existencial x A > S b x Particularización Existencial 4

5 AC ÓIUT PMOCRÓTIC Junto a estas reglas es importante tener en cuenta al Teorema de la Deducción en donde, para demostrar una implicación lógica A > B se utiliza el siguiente argumento: a) Se supone A, y se añade A a las premisas b) Se demuestra B, empleando A, si es necesario c) Se prescinde de A, lo que significa que A no es necesariamente verdadero, y se concluye que A > B 21.- Demuestre la validez de los siguientes argumentos: b) Las personas conscientes de los riesgos del colesterol evitan comer embutidos Alguien es consciente de los riesgos del colesterol.: Hay una persona que evita comer embutidos c) Si un número es real y no nulo, entonces su cuadrado es positivo -3 es real y no nulo.: El cuadrado de un número por lo menos es positivo ======================== 5