Representación Numérica. y Errores. Capítulo 1: Cálculo Numérico MA-33A. Gonzalo Hernández Oliva

Transcripción

1 Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Matemática Capítulo : Representación Numérica y Errores Cálculo Numérico MA-33A Gonzalo Hernández Oliva GHO RN y E MA-33A

2 Representación Numérica y Errores ) Motivación 2) Representación Numérica en el Computador 3) Tipos y Fuentes de Error 4) Representación Numérica y Error 5) Aritmética en Punto Flotante: Propagación de Errores en Operaciones Matemáticas 6) Bibliografía GHO RN y E MA-33A 2

3 ) Motivación : Números Egipcios! GHO RN y E MA-33A 3

4 ) Motivación 2: Utilice el polinomio de Taylor de grado 3 de la función: f ( x) = + x en torno a x = para calcular las siguientes raíces x = 2,2.5,3. cuadradas de con una aritmética de redondeo 4 decimales. Calcule los errores cometidos al realizar esta aproximación GHO RN y E MA-33A 4

5 ) Motivación 2: Aproximacion de Taylor de f(x)=sqrt(x+) p ( x) = + x x + x T f ( x) = + x x GHO RN y E MA-33A 5

6 ) Motivación 3: Utilice el polinomio de Taylor de grado 4 y 8 de la función: 2 f ( x) = cos( x ) en torno a x = para calcular: Calcule los errores cometidos al realizar esta aproximación 2 I cos( x ) dx = GHO RN y E MA-33A 6

7 ) Motivación 3: 2 Aproximacion de Taylor de cos(x 2 ).5 p ( x) = x f x 2 ( ) = cos( x ) p p 4 8 ( x) dx=.9 ( x) dx=.946 f( x) dx= x GHO RN y E MA-33A 7

8 ) Motivación 4: Al resolver la siguiente ecuación cuadrática: x x x+ = Sus raíces exactas son aproximadamente: = , x = Calcular las raíces con aritmética de 2 decimales: x =.2, x = Se puede mejorar la exactitud de estas raíces??? GHO RN y E MA-33A 8

9 2) Representación Numérica en el Computador No es posible representar todos los números en la memoria finita de un computador. Por lo tanto los cálculos computacionales se realizan con representaciones aproximadas de los números verdaderos (representación de punto flotante) Como se usa una pequeña proporción de números del sistema de los reales para representar a todo el sistema se genera error en los cálculos GHO RN y E MA-33A 9

10 2) Codificación de Números Enteros Un número entero p se representa a través de su codificación binaria, decimal u octal k p = αkb donde αk {,..., b-} b= 2,8, k= n En general n = 3 (palabra de 32 bits o 4 bytes para el tipo de dato int), pues se guarda un bit para el signo del entero. Por lo tanto, el intervalo de enteros representables es: [ - (b 3 - ), (b 3 -) ] Underflow Overflow GHO RN y E MA-33A

11 2) Codificación Binaria de Números Enteros Un número entero p se representa a través de su codificación binaria por: k p = αk2 donde αk {,} k= n En general n = 3 (palabras de 32 bits o 4 bytes para el tipo de dato int), pues se guarda un bit para el signo del entero. Por lo tanto, el intervalo de enteros representables binariamente con 32 bits es: [ -(2 3 -),(2 3 -)]=[ , ] Underflow Overflow GHO RN y E MA-33A

12 2) Cod. Binaria de Números Enteros: Ejemplo Bit Resto Potencias de 2 Alfa Resto GHO RN y E MA-33A 2

13 2) Codificación de Números Enteros Ejercicios: a) Determinar un algoritmo para obtener la codificación binaria de un número natural (unsigned) b) Determinar un algoritmo para obtener la codificación en una base distinta a la binaria (b = 3,5,8) de un número entero c) Calcular el número de ops de ambos algoritmos GHO RN y E MA-33A 3

14 2) Codificación de Números Reales en [,] Todo numero real x [,] se representa en base a su codificación diádica ( binaria negativa ) k x = α k2 donde α k {,} k= Para obtener la representación floating point de números reales primero se debe convertir a un número en [,] (normalización) tal que su mantisa sea mayor que. n GHO RN y E MA-33A 4

15 2) Codificación de Números Reales en [,] Bit Mantisa Potencias de Alfa Resto GHO RN y E MA-33A 5

16 2) Codificación de Números Reales (Primer Floating Point) En general, todo número real se puede escribir como: donde x= ± m b ± z b : base es un número natural m : mantisa es un número real en [,] z : exponente es un número entero GHO RN y E MA-33A 6

17 2) Codificación FP de Números Reales En un computador la mantisa debe tener un número finito de dígitos. Esto genera la representación floating point (fp) de números reales: x =±. mmm... m b m b 2 3 En computadores inicialmente se utilizó: b = 2 t = 23 o 52 t (base binaria) (single - double precisión) z = 7 o bits (número entero) GHO RN y E MA-33A 7 ± z k

18 2) Codificación FP de Números Reales: Un ejemplo: Float de 32 bit Considerando los siguientes parámetros: Signo ( + o - ) : dígito binario ( bit ) Exponente: base b = 2 de 7 bit más bit signo exp. Mantisa: 23 bit signo exponente mantisa signo exp. GHO RN y E MA-33A 8

19 2) Codificación FP de Números Reales: Signo Exponente positivo (+) Un ejemplo x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 3 + x2 2 + x 2 + x 2 + = Mantisa Número Representado = x 2 = GHO RN y E MA-33A 9

20 2) Codificación FP de Números Reales Algoritmo para obtener la codificación de un real x: ) Determinar la notación científica de x con mantisa ± normalizada: x=± m z 2) Cambiar base a base 2 dividiendo por potencia de 2 mayor más cercana a la potencia de : x=± m ( ) 3) Recalcular mantisa: 2 z log ( ) log 2 z ± z ± ± ( ) / 2 2 z ± z log 2 ( ) 4) Determinar codificación binaria exponente * y codificación diádica mantisa m m GHO RN y E MA-33A 2 * = m / 2 z log 2( )

21 2) Codificación FP de Números Reales Cuál es el número representable en el computador mayor más cercano al de nuestro ejemplo? Ejemplos ! GHO RN y E MA-33A 2

22 2) Codificación FP de Números Reales Ejercicios Obtener codificación FP de: /3, 2, etc Cuál es el intervalo representado por un real en la codificación floating point? Determinar el número real máximo y mínimo representado por la codificación inicial floating point Calcular el número de ops del algoritmo codificación números reales GHO RN y E MA-33A 22

23 2) Codificación de Números Reales (985) En los computadores actuales se utiliza la siguiente representación floating point (fl) de números reales (IEEE BFLAS ) x = + s ( z c) ( ) 2 ( m) Donde: s: Signo del real ( bit) c: Corrección del exponente (Entero) z: Exponente (Entero Binario) m: Mantisa (Digito real ε [,]) GHO RN y E MA-33A 23

24 2) Codificación de Números Reales (985) La normativa IEEE BFLAS define las siguientes cantidades: s: bit ( = fl positivo, = fl negativo) c: 23 z: bit Intervalo Exponente: a (2 -) = 247 (z c) de -23 a 24 m: 52 bit 6 a 7 dígitos decimales (precisión double) GHO RN y E MA-33A 24

25 2) Codificación de Números Reales: Signo Exponente Un ejemplo de la codificación actual positivo (+) x2 x2 9 x2 8 x2 2 x 2 x = 27 Mantisa x = (-) s 2 (z - c) (+m) = (-) 2 (27-23) ( ) = 2 4 (.72293) = GHO RN y E MA-33A 25

26 2) Codificación de Números Reales: Límites Actuales de FL Determinar un algoritmo para obtener la codificación fl actual de un número real Cuál es el número menor y mayor más cercano al real de nuestro ejemplo, según la codificación fl actual? Cuál es el intervalo representado por el real del ejemplo en la codificación floating point actual? Determinar el número real máximo y mínimo representado por la codificación actual floating point GHO RN y E MA-33A 26

27 3) Tipos y Fuentes de Error Existen los siguientes tipos de error: ) Errores en los datos de input: Debidos a imperfección en las mediciones físicas (por ejemplo) 2) Errores de redondeo: Debidos a la representación finita (y por lo tanto inexacta) de números reales. Ello origina errores de redondeo y truncación. 3) Errores de aproximación: Debidos a la utilización de métodos con error inexactos para la solución de ecuaciones matemáticas. En esta clase encontramos los errores de truncación y discretización GHO RN y E MA-33A 27

28 3) Tipos de Error: Absoluto y Relativo Si un número real x tiene la representación en el computador de floating point fl(x), se definen los siguientes tipos de error: Error Absoluto: E (, ( )) ( ) abs x fl x = x fl x Error Relativo: E rel ( x, fl( x)) = x flx ( ) x GHO RN y E MA-33A 28

29 4) Representación Numérica y Error El conjunto de números reales representables en el computador R C es finito Una pregunta importante es cómo aproximamos un número x R C por un número y R C Este problema se encuentra no sólo al introducir datos de un problema a resolver en un computador sino también al representar el resultado de operaciones aritméticas (por ejemplo). El resultado de operar aritméticamente 2 números reales u,v R C no necesariamente está en R C GHO RN y E MA-33A 29

30 4) Representación Numérica y Error Es natural postular que la aproximación de cualquier número x R C por un número fl(x) R C debe satisfacer: x fl( x) x y y R Se puede obtener fl(x) en un computador de t-dígitos de la siguiente forma: a) Suponiendo que x está representado en forma normalizada decimal: x donde se tiene que: sgn( x) = ( ) m GHO RN y E MA-33A 3 z C

31 4) Representación Numérica y Error a) m =.α α 2 α 3 α 4 α i α i 9 α. b) Entonces se forma por redondeo:.α α 2 α t si α t+ 4 m =.α α 2 α t + -t si α t+ 5 Por ejemplo si t = y: m = m = m = m = GHO RN y E MA-33A 3

32 4) Representación Numérica y Error c) Finalmente: sgn( x) z fl( x) = ( ) m' En esta representación se redondea el número original. Se puede demostrar que: fl( x) = x( + δ ) Donde δ puede ser cero, negativo o positivo. δ es el error relativo cometido al representar x en el computador. Se tiene que: δ 5 -t eps = 5 -t es la precisión de máquina GHO RN y E MA-33A 32

33 4) Representación Numérica y Error El proceso de aproximación anterior para obtener la representación floating point de un número x R C funciona en la mayoria de los casos. Sin embargo hay casos en que este proceso no obtiene un número de máquina, es decir x R C y fl(x) R C Estos casos ocurren con exponentes z cerca del overflow y underflow. En estas situaciones se obtiene el fl(x) aproximando al mayor o menor número de máquina representado según corresponda. GHO RN y E MA-33A 33

34 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Sean x, y números con representación de igual precisión, luego si se operan por una operación : fl( x y) = ( x y)( + ε ) para =+ ', ',*',/' son las operaciones aritméticas en el computador Es decir: x+ ' y = fl( x+ y) = ( x+ y)( + ε ) x ' y = fl( x y) = ( x y)( + ε r ) x*' y = fl( x* y) = ( x* y)( + ε ) x/' y = fl( x/ y) = ( x/ y)( + ε ) ε s, ε r, ε m, ε d Son los errores relativos de cada operación GHO RN y E MA-33A 34 d m s

35 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Debido a los errores incurridos en la representación de los números y las operaciones aritméticas en el computador las leyes usuales de la matemática dejan de ser válidas. Veamos un ejemplo: Asociatividad de la suma para: x = y = Considerando t = 8 dígitos significativos z = El resultado exacto de la suma de estos 3 números es: x + y + z = pero GHO RN y E MA-33A 35

36 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores x + ( y + z ) = ( x + y ) + z =.64-3 En general al operar aritméticamente 2 números reales representados en el computador según la codificación floating point se produce una propagación de errores que se puede aproximar por las relaciones: Si fl(x) = x(+ ε x ), fl(y) = y(+ ε y ) entonces x± ' y = fl( x± y) = ( x± y)( + ε ) x*' y = fl( x* y) = ( x* y)( + ε ) x/' y = fl( x/ y) = ( x/ y)( + ε ) GHO RN y E MA-33A 36 d m sr

37 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Error de la Suma y Resta ε sr verifica: ε x y sr= x y ( x y) ε ± ± ( x± y) ε Error de la Multiplicación ε m verifica: ε m = εx + εy Error de la División ε d verifica: ε = ε ε d x y Estas relaciones (obtenidas por aproximación de primer orden de las operaciones) indican que las operaciones que más generan error es la suma y resta GHO RN y E MA-33A 37

38 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Propagación Grave de Errores: Suma (resta) de números de distinto signo Suma de números distintos en magnitud Resta números similares Overflow y Underflow División por un número pequeño Es posible realizar un análisis de propagación de errores de primer orden para cualquier operación matemática. GHO RN y E MA-33A 38

39 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Si z = φ(x,y) representa una secuencia de operaciones matemáticas entre 2 números reales El error absoluto de la operación φ se puede calcular aproximadamente en función de los errores absolutos de representación de los números x e y Φ Φ ΔΦ( x, y) Δ x + Δy Aproximación de Taylor x y de primer orden Análogamente se puede calcular el error relativo de la operación φ GHO RN y E MA-33A 39

40 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores El error relativo de la operación φ, ε Φ, se puede calcular aproximadamente en función de los errores relativos de la representación fl de los números x e y x Φ y Φ εφ = εx + εy Φ(, x y) x Φ(, x y) y Ejemplos simples: Aproximación de Taylor de er orden φ(x,y) = xy (fórmulas para error relativo de ops. aritm.) φ(x) = x φ(x,y) = x 2 y 2 GHO RN y E MA-33A 4

41 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Ejercicios de propagación de errores: x a) Φ ( xy, ) = x± yxy,, y 2 2 x x x y b) Φ (, ) =,,,, 2 xy xy xy y y x + y Φ xy= x + y x + y xe e y c) (, ) sin( ),log( ),, d) Φ ( xyz,, ) = ± 4 2 y y xz 2x Para todos los ejemplos anteriores determine las condiciones (si existen) bajo las cuales el error de la operación φ crece linealmente GHO RN y E MA-33A 4 x 2

42 5) Aritmética en FP: Propagación de Errores Para una operación φ(x,y) las cantidades μ x definidas según: x μ = Φ x Φ ( x, y) x y Φ μ y = Φ ( x, y) y y μ y Se denominan números de condicionamiento del error relativo e indican en que forma el error relativo en x e y afecta al error relativo de φ(x,y) GHO RN y E MA-33A 42

43 5) Propagación de Errores: Estabilidad Si los números de condicionamiento μ x y μ y se pueden acotar por constantes independientes de x e y, diremos entonces que la secuencia de operaciones matemáticas es estable. En otro caso diremos que es inestable. Ejemplos de algoritmos estables son: φ(x,y) = xy, φ(x,y) = x / y, φ(x) = x Ejemplos de algoritmos inestables son: φ(x,y) = e xy, φ(x,y) = x 2 y 2, φ(x,y) = ln(x 2 + y 2 ) GHO RN y E MA-33A 43

44 5) Propagación de Errores en Algoritmos Si una operación matemática se puede realizar mediante más de un algoritmo (secuencia de instrucciones) es de utilidad determinar la propagación de errores de cada algoritmo. Por ej.: ϕ ( xy, ) = x y 2 2 x x+ y Alg: x y x y x y y + = x y 2 2 x x x Alg 2 : x y 2 y y y ( )( ) GHO RN y E MA-33A 44

45 5) Propagación de Errores en Algoritmos Consideremos una operación matemática que se calcula mediante una sucesión de operaciones ( r) ( r ) () () elementales: ϕ, ϕ, ϕ, ϕ GHO RN y E MA-33A 45 ϕ z = ϕ x = ϕ ϕ ϕ ϕ x ( r) ( r ) () () ( ) ( ) ( k+ ) ( k) ( k) () x = ϕ ( x ) k =,,..., r con x = x El error aportado en cada etapa del algoritmo es: ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) ( k) ( k) Δ = = x x x fl ϕ x ϕ x ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = fl( ϕ k ( x k )) ϕ k ( x k ) + ϕ k ( x k ) ϕ k ( x k )

46 5) Propagación de Errores en Algoritmos Aproximamos el segundo sumando por Taylor: ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( x ) ( x ) = D ( x )( x x ) ϕ ϕ ϕ Para el primer sumando, se tiene que: Luego: ( k) ( k) ( k+ ) ( k) ( k) ( ( )) = ( + ) ( ) fl ϕ x I E ϕ x ( k+ ) ( k+ ) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) Δ x = E ϕ ( x ) + Dϕ ( x ) Δx ( Aproximamos la matriz k ) por una diagonal. E + GHO RN y E MA-33A 46

47 5) Propagación de Errores en Algoritmos Y aproximamos también: Luego: ( k+ ) ( k) ( k) ( k+ ) ( k+ ) E ϕ ( x ) = E x = ( k+ ) ( k) ( ( k) ) ( k) k + Δ = + Δ x α Dϕ x x k+ El error acumulado en todo el algoritmo es finalmente: ( r+ ) ( r) () ( r) () Δ z =Δx Dϕ Dϕ Δ x+ Dϕ Dϕ α + ( r) (2) Dϕ Dϕ α2 + + αk + Veamos un ejemplo GHO RN y E MA-33A 47 α

48 6) Bibliografía ) R. Burden & J. D. Faires, Análisis Numérico, Séptima Edición, Thomson Learning, 22 2) J. Stoer & R. Burlisch, Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Springer, ) G. Hernández O.: Apuntes de Cálculo Numérico GHO RN y E MA-33A 48