ANalysis Of VAriance ANOVA Análisis de la Varianza. Teresa Villagarcía

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1 ANalyss Of VArace ANOVA Aálss de la Varaza Teresa Vllagarcía

2 El objetvo del dseño de expermetos Estudar s determados factores fluye sobre ua varable de uestro terés. Por ejemplo: Redmeto de u proceso dustral. Ifluye?... Presó de trabajo. Temperatura de trabajo. Catalzador. Lo más mportate es TOMAR DATOS. Es decr EXPERIMENTAR.

3 El dseño de expermetos Es u mecasmo de muestreo Nos muestra cómo tomar observacoes para comprobar s sobre la varable de terés (Redmeto de la reaccó) fluye los factores (Temperatura, Presó, Catalzador) Nuestro objetvo será realzar u aálss que os lleve a coclusoes fables. Co pocas observacoes. Por qué? Las observacoes so caras.

4 Vamos a estudar. Aálss de la varaza Dseños factorales a dos veles. Dseños fraccoales. Extesoes (Taguch( Taguch)

5 Aálss de la varaza. X Y Cómo fluye X sobre Y?

6 Aálss de la varaza. X Y Lo hemos estudado e Regresó. Pero o os mportaba cómo recoger los datos. Ahora sí.

7 Vamos a estudarlo co u ejemplo Se desea saber s el cotedo de algodó de ua fbra semstétca fluye e la fortaleza de la msma: Se toma los sguetes datos: Porcetaje de algodó 5% 0% 5% 30% 35%

8 Ifluye el % de algodó? Porcetaje de algodó 5% 0% 5% 30% 35% Medas

9 Ifluye el % de algodó? Scatterplot by Level Code 5 Fortaleza Porc. Algodo Medas 4 Fortaleza Porc. Algodo

10 Ifluye el % de algodó? Box-ad-Whsker Plot 5 Fortaleza Porc. Algodo

11 ANOVA Grupo o Factor Porcetaje de algodó... I 5% 0% 5% 30% 35% y, y,... y I, y, y,... y I, Medas y, y, y I,I Medas = I y I..... y y I. No tee que haber el msmo úmero de datos para cada grupo

12 El modelo estadístco: y j = µ + e j Observacó j-ésma del grupo Meda del grupo Efecto del factor Error de la observacó j-ésma del grupo

13 Hpótess: y j = µ + e j. Lealdad. Homocedastcdad 3. Idepedeca 4. Normaldad

14 µ Grupo

15 Grupo µ Grupo µ

16 Grupo µ Grupo Grupo 3 µ µ 3 Los datos procede de campaas (So ormales). Co medas dsttas y varaza (Ampltud) costate

17 µ µ se deslaza de u grupo a otro: S el factor fluye µ será dstto para cada grupo S el factor o fluye µ será gual para todos

18 Estmacó: Máxma verosmltud Cómo estmarías µ? Grupo o Factor... I y, y,... y I, Por máxma m verosmltud se obtee: y y,... y, y I,... y, y, y I,I = y y j j= Efecto grupo...

19 Objetvo del aálss Saber s el grupo (Factor) fluye E el modelo equvale a: So guales µ, µ, µ 3...? Algua meda es dferete? Estadístcamete: stcamete: H o : µ = µ = µ 3 =.= µ I? H : Algua es dferete?

20 Supogamos los datos: µ µ La flecha dca la dfereca etre ambas medas. So guales?

21 O estos datos: µ µ La flecha dca la dfereca etre ambas medas. Es la msma que e el caso ateror. So guales?

22 O falmete: Hay que comparar las medas teedo e cueta las dspersoes (varazas) µ µ La flecha dca la dfereca etre ambas medas. Es la msma que e el caso ateror. So guales?

23 So guales? La dstaca etre las dos medas es la msma. Pero la varabldad es muy dferete.

24 El aálss de la varaza: Decde s los grupos so guales comparado la dstaca etre las l medas e fucó de varaza de los grupos. Grupos co la msma dfereca de medas será probablemete dsttos s sus datos tee meos varabldad

25 Bases del aálss y.. Todos los datos y. Datos por grupos y. y 3.

26 Bases del aálss y.. y. y.. Todos los datos y. y.. y. Datos por grupos y 3. y.. y. y 3.

27 Bases del aálss y.. y. y.. Esa observacó y, j y. y.. y. y, j y. y 3. y.. y 3.

28 y.. y. y.. y j, y.. Esa observacó Bases del aálss y, j y. y.. y. y j, y. y, j y 3. y.. y. ( y, j y.. ) = ( y, j y. ) + ( y. y.. ) y 3.

29 ( y, j y.. ) = ( y, j y. ) + ( y. y.. ) Elevado al cuadrado y sumado para todas las observacoes: = j= ( y, j y.. ) = = j= ( y, j y. ) + = j= ( y. y.. ) + = j= ( y, j y. )( y. y.. ) = j= ( y, y.)( y. y.. ) = ( y. y.. ) ( y, y.) j = j= j = 0

30 = j= ( y, j y.. ) = ( y. y.. ) + ( y, j y. = j= = j= El prmer térmo se deoma Varacó Total: = j= El segudo térmo se deoma Varacó Explcada: ( y y ), j.. ) = VT = j= ( y. y.. ) = = ( y. y.. ) = VE El tercero se deoma Varacó No Explcada = j= ( y, j y. ) = VNE

31 Dstrbucoes: Se puede demostrar VNE se dstrbuye SIEMPRE como ua χ σ I S y sólo s se cumple H VE se dstrbuye como ua σ 0 : µ = µ = m χ I = µ I Sabemos que ua F es : Por tato : F χ, m χ m = FI, I = = SOLO s se cumple HO m VE I σ VNE I σ VE I VNE I

32 Por tato : F VE I VNE I I, I = SOLO s se cumple HO F (varace rato) Dstrbuto 0,8 0,6 Numerator d.f,d 0,0 desty 0,4 0, x No rechazamos Ho Rechazamos Ho

33 Tabla ANOVA Fuete de varacó Suma de cuadrados Grados de lbertad Varaza F Explcada o etre grupos = VE ( y y... ) I- VE/I- sˆe s ˆe sˆr No explcada o resdual = j= VNE ( y y, j. ) -I VNE/-I s ˆR Total = j= VT ( y ).. y, j - VT/- sˆy

34 Ejemplo: Porcetaje de algodó Porcetaje de algodó 5% 0% 5% 30% 35% Se desea saber s el cotedo de algodó de ua fbra semstétca fluye e la fortaleza de la msma:

35 Tabla ANOVA Fuete de varacó Suma de cuadrados Grados de lbertad Varaza F Explcada o etre grupos No explcada o resdual Total = = j= = j= ( y y. 6. ( y y, j ( y ).. y, j... ) ) 4 I- 0 -I 4 - VE/I /4= 8.94 VNE/-I 6./0= 8.06 VT/- 8.94/8.06 = 4.76

36 Porcetaje de algodó 5% 0% 5% 30% 35% Medas Aalyss of Varace Source Sum of Squares Df Mea Square F-Rato P-Value Betwee groups 475,76 4 8,94 4,76 0,0000 Wth groups 6, 0 8, Total (Corr.) 636,96 4

37 Aalyss of Varace Source Sum of Squares Df Mea Square F-Rato P-Value Betwee groups 475,76 4 8,94 4,76 0,0000 Wth groups 6, 0 8, Total (Corr.) 636,96 4 F (varace rato) Dstrbuto 0,8 0,6 Numerator d.f,deomator d.f. 4,0 desty 0,4 0, x Ifluye el algodó?. S se cumple Ho el úmero obtedo provee de esa F S o se cumple Ho el úmero o provee de esa F

38 Comparacó de medas Los datos dca que algua meda es dferete Cuátas dfera? So todas dsttas? Cuál es la mayor? Itervalo de cofaza para la dfereca de medas: µ µ j ( y. y j. ) ± tα /, I s R ˆ j S el cero está detro del tervalo las dos medas puede ser guales

39 Comparacó de los grupos t 0.05, 0gl =.09 (µ µ ) ε (6-66) 66) sqrt(/4+/6) (µ µ 3 ) ε (-0., -3.8) (µ µ 4 ) ε (-3.03, 3.03) (µ µ 3 ) ε (-4.8, 0.86) (µ µ 4 ) ε (.3, 7.67) (µ 3 µ 4 ) ε (4,3, 9.7) µ µ j y y sˆ (. j. ) ± α / R t j

40 Esto lo hace el ordeador mejor ya que tee e cueta el problema de cotrastes múltples Multple Rage Tests for Col_ by Col_ Method: 95,0 percet LSD Col_ Cout Mea Homogeeous Groups ,8 X ,8 X 0 5 5, X 5 5 7,6 X 30 5,6 X Cotrast Dfferece +/- Lmts *-5,4 3, *-7,8 3, *-,8 3, ,0 3, ,4 3, *-6,4 3, *4,4 3, *-4,0 3, *6,8 3, *0,8 3, * deotes a statstcally sgfcat dfferece. 5 Meas ad 95,0 Percet LSD Itervals Col_ Col_

41 Dagoss Igual que e regresó: resduos vs. Valores ajustados Comprobaremos que so homocedástcos y que o pasa cosas raras. Resdual Plot for Col_ 6 4 resdual predcted Col_

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