UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID

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1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO LS ENSEÑNZS UNIVERSITRIS OFICILES DE GRDO Curso -6 MTERI: MTEMÁTICS II INSTRUCCIONES GENERLES Y VLORCIÓN Dspués d lr tntmnt tods ls prgunts, l lumno dbrá scogr un d ls dos opcions propusts rspondr rzondmnt ls custions d l opción lgid. Pr l rlizción d st prub s pud utilizr clculdor cintíic, simpr qu no dispong d cpcidd d rprsntción gráic o d cálculo simbólico. Tods ls rspusts dbrán str dbidmnt justiicds. Cliicción: Ls prgunts ª ª s vlorrán sobr puntos; ls prgunts ª ª sobr puntos. Timpo: minutos. Ejrcicio. Cliicción máxim: puntos. x Dd l unción x 6 x, s pid: OPCIÓN ) ( punto) Dtrminr su dominio, síntots corts con los js. b) ( punto) Clculr su drivd, intrvlos d crciminto dcrciminto xtrmos rltivos. c) ( punto) Dtrminr l ár dl triángulo qu ormn los js coordndos con l tngnt l curv (x) n l punto x. x D x D 6 x D R R. Dominio: [ [ [ R síntots vrticls: Son rcts d l orm x / D[(x) Lím ( x) su Dominio s R x k. No tin porqu síntots horizontls: Son rcts d l orm L / L Lim ( x) Lím x 6 x x ± x ( x) Lím ( 6 x) Lím Lím Lím x Lím x x L H x x x ( x) Lím ( 6 x) x x L unción tin síntot horizontl hci mnos ininito ( ). x síntot oblicu: L unción pud tnr oblicu hci por crcr hci s ininito d horizontl ( mx n). x ( x) ( 6 x) 6 x 6 m Lím Lím Lím ( ) x x x x x x No tin suntot oblicu hci 6 x : x 6 x x Punto d cort con OY x x Corts con OX ( ): ( 6 x) : Punto d cort con OX n ( 6, ) Cort con OY (x ): (, 6) x b. x x ( x) ( 6 x) ( x) Monotoni xtrmos rltivos. Por sr un unción continu n R, s studin los xtrmos rltivos d l unción, prtir d stos, los intrvlos d crciminto dcrciminto.

2 x Extrmos rltivos: ( x) : ( x) x x x x : x : x x,, l unción tin un máximo rltivo. ( 6 ) ( x) ( x) < En ( ) x, Por sr continu tnr un máximo n x : (, ) Crcint Dcrcint Otr orm d rsolvr l prtdo sri studindo los signos cros d l drivd. x ( x) : ( x) x x : x : x c. Ecución d l rct tngnt l unción n x : x 6 x x 6 ( 6 ) 6 6 ( ) Conocid l rct tngnt, l ár dl triángulo dtrmindo por l tngnt los js coordndo s pud clculr d dos orms dirnts. Por cálculo intgrl: Ár ( x 6) ( 6) x dx 6x ( 6) u bs ltur Conocidos los puntos d cort, l ár dl triángulo s Los puntos d cort d l rct tngnt con los js coordndos son: - OX ( ): x 6 x 6. (, 6) - OY (x ): 6 6. (6, ) 6 6 u 6 ( ) Ejrcicio. Cliicción máxim: puntos x z Dds ls rcts r s {( λ, λ, λ) ; λ R} x z ) ( punto) Obtnr l rct qu ps por l punto P(,, ) cort prpndiculrmnt r. b) ( punto) Obtnr l plno qu contin l rct r s prllo s. c) ( punto) Hllr l distnci ntr ls rcts r s.. El problm s pud hcr d dos orms dirnts, por intrscción d plnos o clculndo l procción dl punto sobr l rct. Por intrscción d plnos: L rct qu buscmos t, s pud clculr por intrscción d los plnos π π, sindo π l plno prpndiculr r qu contin P π, l plno qu contin r P

3 x λ x z z λ (,, ) r λ : r x z v(,,) z λ Tnindo n cunt qu l plno π s prpndiculr l rct r, l vctor norml dl plno srá igul l vctor d dircción d l rct, por lo tnto l cución dl gnrl dl plno tndr l siguint orm: x z K K El prámtro K s clcul sustitundo ls coordnds dl punto P n l cución dl plno. K : K 7 π x z 7 El plno π s pud clculr con l hz d plnos d rist r, prticulrizndo pr l punto P. Hz d plnos d rist r: x z K( x z ) K Plno dl hz qu contin P: K( ) π x z ( x z ) ; K ; K π 6x z L rct t, s l intrscción d π π. x µ x z 7 t µ 6x z z µ Por procción ortogonl. L otr orm d rsolvr l problm s clculndo l procción ortogonl d P sobr r (M), sindo n st cso l rct t l qu ps por P M L coordnds dl punto M s clculn mdint l intrscción d l rct r con l π, plno prpndiculr r qu contin P. x λ r λ M : r π ( λ) ( λ) λ 7 : λ M(,,) z λ π x z 7 M,, El vctor d dircción d l rct s pud obtnr mdint l sgmnto PM PM t : (,, ) (,, ) (,, ) M, PM, (,) (, ) x λ λ z λ r σ b. El plno qu s busc σ, db cumplir ls siguint condicions:, d l rct r por str s σ contnid n l plno, s utilizrá l punto l vctor v r, d l rct s, por sr prll solo s utilizr l vctor u r (,, ) r v(,,) r u(,,) x σ σ σ x z σ z z

4 c. L rct s s prll l plno σ, por lo tnto todos los puntos d l rct s stán igul distnci dl plno σ, como l plno σ contin l rct r, l distnci ntr ls rcts r s s pud clculr como distnci d un punto d s l plno σ. z σ B,, d s r d s r d u Ejrcicio : Cliicción máxim: puntos. ) ( punto) Dtrmin, si s posibl, los prámtros d modo qu s vriiqu l iguldd: b) ( punto) Dtrmin los posibls vlors d λ pr qu l rngo d l mtriz s, dond λ. ndo Idntiic b. λ λ λ λ λ Pr qu l rg, l dtrminnt d db sr distinto d cro. : λ λ λ λ dt rg, Ejrcicio : Cliicción máxim: puntos. Cirt undción h dstindo 7 uros pr l dotción d bcs d studios. El import d cd bc s d uros, si l studint curs un grdo univrsitrio; d uros, si curs ormción prosionl d uros, si rliz studios d postgrdo. Sbindo qu l undción h concdido dobl númro d bcs d ormción prosionl qu d postgrdo, cuánts bcs h concdido cd nivl d studios? Dinición d ls vribls: - x Númro d bcs concdids grdo univrsitrio - Númro d bcs concdids ormción prosionl - z Númro d bcs concdids postgrdo El nuncido prmit plntr trs cucions ª. S concdn bcs. z x ª. 7 rprtidos n n grdo univrsitrio, n ormción prosionl n postgrdo. 7 z x Simpliicndo:

5 6 x z ª. S hn concdido dobl númro d bcs d ormción prosionl qu d postgrdo z Ordnndo s obtin un sistm d trs cucions con trs incógnits, qu s pud rsolvr por l método d Guss o l d Crmr. x z 6x z z Método d Guss: M 6 M E M M 6 M 6 E E M 6E E M M M M x M 6 7 M 6 z z 7z 6 6 : z 6 7 x x 6 7 : 6 : { x 6 7 : x Método d Crmr: x z 6x z z Solución: (, 6, ) 6 x 7 x z 6 z 7 7 Solución: (, 6, ) 6 ( ) 7 S.C.D.

6 6 OPCIÓN B Ejrcicio. Cliicción máxim: puntos. Ddo l sistm d cucions siguint: z x z x z x s pid: ) ( puntos) Discutirlo sgún los vlors dl prámtro. b) ( punto) Rsolvrlo cundo s posibl.. l sistm lo crctrizn ls mtrics d coicints () mplid (*). * n rg * rg * Si l, n rg * rg sistm comptibl dtrmindo, por lo tnto, s discut l tipo d solución dl sistm pr los vlors dl prámtro qu nuln l dtrminnt d l mtriz d coicints. dt ; : Discusión: i. Si,., n rg * rg sistm comptibl dtrmindo ii. Si., rg < rg 6,. Pr studir l rngo d l mtriz mplid solo s tinn n cunt los mnors orldos l mnor d ordn dos distinto d cro d l mtriz d coicints. D los dos posibls mnors orldos { } { } C,,C C ;,C,C C, l primro d llos s l dtrminnt d l mtriz d coicints, qu pr s nulo, por lo tnto solo nos qud por studir l sgundo mnor orldo., rg rg * sistm incomptibl. iii. Si., rg < rg,. Pr studir l rngo d l mtriz mplid s opr d orm nálog l cso ntrior por tnto solo qud por studir un mnor orldo l mnor d ordn distinto d cro { } C,,C C. rg, rg * sistm comptibl indtrmindo. b. Si,. Sistm comptibl dtrmindo. Método d Crmr. x x

7 z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si. Sistm comptibl indtrmindo. Rngo dl sistm, por lo tnto, l sistm tin dos cucions linlmnt indpndints. Pr no quivocrnos n l slcción d ls cucions linlmnt indpndints, s tomn ls cucions qu continn l mnor d ordn dos distinto d cro, l ª l ª. x z S : x z Sistm d dos cucions trs incógnits. Pr rsolvr l sistm s trnsorm un d ls vribls n prámtro s rsulvn ls otrs dos vribls n unción dl prámtro. Pr no quivocrnos n l lcción d l vribl, s tom como prámtro l vribl cuos coicints no ormron prt dl mnor d ordn distinto d cro, n st cso l z. x z z λ x λ S : x z x λ Rstndo ls cucions s obtin x: x λ x λ Sustitundo l vlor d x n l sgund cución s obtin. λ λ Solución: ( λ,, λ) λ Ejrcicio. Cliicción máxim: puntos Dd l unción si x x ( x) si x > x s pid: ) ( punto) Estudir l continuidd d dtrminr sus síntots. x dond s posibl. b) ( punto) Estudir l drivbilidd d clculr dx. L continuidd d un unción por intrvlos s studi n los puntos xcluidos dl dominio n los puntos rontr c) ( punto) Clculr ( x) [ ( x) R D El único punto dond s ncsrio studir l continuidd s n x. Pr qu l unción s continu n x, s db cumplir: Lím ( x) Lím ( x) ( x) x x 7

8 Lím x ( x) Lím x x ; Lím ( x) x Lím x Lím x x x x Coincid todo Lím x x síntots vrticls no tin por sr su dominio todo R. ;, l unción s continu n R síntots horizontls: son rct d l orm: L / L Lím ( x) x ± L Lím ( x) Lím x x x ( ) L Lím ( x) Lím x x x síntot horizontl b. l drivbilidd d l unción, como n l cso d l continuidd, s studi únicmnt n l punto rontr (x ). Pr qu l unción s drivbl l n x, s db cumplir: Lím D[ ( x) Lím D[ ( x) Si Si x < x > [ ( x) D [ ( x) D x x x ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) x Lím D x Lím D x [ ( x) [ ( x) Lím x Lím x ( x) ( x) : Lím D x [ ( x) Lím D[ ( x) x L unción no s drivbl n x. Pr x, l drivd d l unción s: ( x) D x D x si si x < x > ( x) ( x) si si x < x > c. plicndo ls propidds d l rgl d Brrow, l intgrl s dscompon n sum d intgrls., b, s vriic: Si c s un punto intrior l intrvlo [ x c x b ( x) dx ( x) dx ( x) c x ( x) dx dx dx dx ( Ln x ( Ln x ( Ln x ( Ln ) b dx Ln Ln Ln Ln Ln6 Ln6 Ln 6 Ln

9 Ejrcicio. Cliicción máxim puntos S π l plno qu contin los puntos (,, ), B(,, ) C(,, ). Clcul l volumn dl ttrdro qu orm l orign d coordnds con los puntos d intrscción d π con cd uno d los js coordndos. Primro s clcul l cución plno π qu contin los puntos, B C. puntos. L cución dl plno s obtin con dos d los vctors qu ormn los trs puntos uno d los (,) (,,) (,, ) (,, ) (,, ), x z π B π C Dsrrollndo por los lmntos d l ª il: π x 6z π x z Conocid l cución dl plno, s clculn los puntos d cort dl plno con los js coordndos. L orm ms sncill s psr l cución gnrl cución cnónic. π x z π x z x z π π x z,, Los puntos d cort son: B(,, ), por tnto, l ttrdro qud C(,, ) r (,, ) r dtrmindo por los vctors: b(,, ) su volumn s: r c(,, ) r V o r r ( b c) u Ejrcicio. Cliicción máxim puntos Ddo l plno π x z, s pid: ) ( punto) Dtrminr l cución dl plno prpndiculr π qu contin l j OX. b) ( punto) Dtrminr l punto dl plno π más crcno l orign d coordnds.. El plno qu s pid σ, s obtin con dos vctors prllos l plno linlmnt indpndints un punto dl plno. Como l plno σ contin l j OX, culquir punto dl j strá contnido n l plno, l ms r sncillo (O(,,)), l vctor rprsntnt dl j ( i(,, ) ), tmbién strá contnido n l plno. El r otro vctor s obtin dl norml l plno π ( n π (,,) ), porqu si r σ π son prpndiculrs, n r π s prllo σ. O(,, ) x z r σ i(,, ) : σ r nπ (,,) Dsrrollndo l dtrminnt simpliicndo s obtin l cución d σ σ z b. S pid lo qu s conoc como l pi d l prpndiculr l plno trzd dsd l orign, s dcir l punto d intrscción dl plno π con l rct prpndiculr l plno qu ps por l orign.

10 L rct r, prpndiculr l plno qu ps por l orign tin por dtrminción linl: x λ Punto O(,, ) r r : r λ λ Vctor nπ (,,) z λ El punto M dl plno más próximo l orign (pi d l prpndiculr) s l intrscción d r con l plno π. x λ r λ M Sustitundo r n π λ λ λ z λ π x z λ 7 x 7 M z 7 7 M,,