DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO

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1 DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios coormados por ua acció y u activo libre de riesgo III. Portaolios de activos co riesgo egocio IV. Determiació del puto tagete o retoro de activos V. Formació de la líea de mercado Sergio Bravo Orellaa Proesor ESAN Julio, 004

2 RESUMEN Este documeto desarrolla los coceptos que permite aproximarse a la teoría de portaolio e el marco del modelo CAPM (Capital Assets Pricig Model). Co el propósito de presetar de maera simpliicada las pricipales relacioes de la coormació de portaolios, e esta parte se simulará u modelo de mercado de úicamete dos accioes. Posteriormete, e u documeto adicioal, se presetará las relacioes iacieras y matemáticas que permite coormar portaolios de múltiples accioes, siempre detro del modelo CAPM. I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros Los estadígraos de posició y dispersió La elaboració de portaolios de activos iacieros ecesita de la icorporació de coceptos estadísticos. Todo activo iaciero puede ser descrito a partir de dos estadígraos: () u estadígrao de posició, la media, que proporcioa ua medida del redimieto promedio del activo e u determiado periodo; y () u estadígrao de dispersió, la desviació estádar de los distitos redimietos respecto al redimieto promedio, que proporcioa ua medida del riesgo del activo iaciero. El siguiete ejemplo ayudará a explicar la ormació de portaolios. E el cuadro adjuto se preseta los redimietos de las accioes de dos empresas. Co ies de simpliicació, los redimietos so semestrales y correspode a diez periodos. Para poder establecer relacioes más coiables, sería recomedable obteer redimietos semaales y, por lo meos, de tres periodos auales. Es coocido que el retoro medio es calculado como la suma de los redimietos de capital (cambios e los precios de las accioes) y los pagos de dividedos. Redimieto semestral de las accioes de la empresa y la empresa r 7,5%,% 4,% -4,% -,9% 0,5% 8,% -,3% 9,8% 8,4% r 8,% 5,7% 8,6%,% 0,6% 4,5%,5% 5,% 8,0% 4,5% R = i = r i El retoro medio de cada ua de las accioes puede ser calculado co la relació o órmula de la izquierda: la suma de los redimietos de cada periodo dividida etre el úmero de periodos. Se obtiee así el retoro medio de la acció (R =,%) y el retoro medio de la acció (R =8,98%). R,% R 8,98% = El riesgo asociado a la acció idividual se determia a través de la desviació r estádar, cuya órmula se preseta, igualmete, a la izquierda. i R i = Como se puede observar, es ua medida de la dispersió de los dieretes redimietos de cada periodo co respecto al retoro medio de la acció. Aplicado la relació a las observacioes del cuadro de redimietos semestrales, se obtiee que la desviació estádar de la acció es 0,49% ( ) y la desviació estádar de la acció es 3,59% ( ). 0,49% 3,59% Ahora se puede idetiicar cada activo iaciero segú su retabilidad y riesgo asociado. La acció se idetiicará co ua retabilidad (retoro medio) de R =,% y u riesgo asociado (desviació estádar) de =0,49%. Del mismo modo, la acció se idetiicará co ua retabilidad R =8,98% y u riesgo asociado de =3,59%. Puede advertirse que etre la acció y la acció se establece u itercambio de retabilidad por riesgo: a mayor o meor retabilidad, mayor o meor es el riesgo, lo que diiculta precisar cuál de los dos activos es de mejor calidad.

3 El estadígrao de covariabilidad Adicioalmete a los estadígraos de posició y dispersió, para la coormació de portaolios es ecesario cotar co uo adicioal: la covariaza etre los redimietos de los activos iacieros. Y es que depediedo de la orma como covaríe los redimietos de las accioes, es posible coormar portaolios que sea más eicietes, icluso, que las accioes mismas. E otras palabras, la iversió de u moto de capital e dos accioes puede dar por resultado u redimieto igual al promedio de estos activos iacieros, pero co la posibilidad de u meor riesgo asociado a este portaolio. Para explicar el impacto de la covariaza, a cotiuació se preseta dos situacioes distitas. E la primera, se coorma u portaolio co accioes que covaría e el mismo setido, mietras que e la seguda, el portaolio cotiee activos que covaría e setido iverso. 3 4 r 7,0%,0% 7,0%,0% r 0,0% 4,0% 0,0% 4,0% r p 8,5%,5% 8,5%,5% 5% 0% 5% 0% 3 4 r r rp Para ilustrar el primer caso, supógase dos accioes cuyos redimietos se preseta e el cuadro adjuto. Como puede observarse, los redimietos de los activos covaría e el mismo setido. Es decir, tato los redimietos de la acció como los redimietos de la acció se icremeta del periodo al periodo y del periodo 3 al periodo 4, y ambos desciede del periodo al periodo 3, tal como puede observarse gráicamete e la igura adjuta. Si se supoe que la mitad del capital se ivierte e ua acció y la otra mitad e la otra acció, el redimieto promedio obteido varía e la misma direcció que los redimietos idividuales. Se dice que covaría de la misma maera co las accioes y. Los valores de los estadígraos so los siguietes: la acció preseta ua retabilidad de 9% y u riesgo asociado de,3%, la acció preseta u redimieto de % y el mismo riesgo asociado, mietras la retabilidad promedio del portaolio es de 0,5% y el riesgo asociado del portaolio tambié es de,3%. R 9,00%,3% Co estos resultados, se cocluirá que el portaolio o ha colaborado e lograr u mejor balace etre retabilidad y riesgo e relació co las accioes idividuales. Frete a opcioes de igual riesgo (,3%), habría sido más racioal ivertir el 00% del capital e el activo, cuya retabilidad es mayor. R,00%,3% Rp 0,50% p,3% Luego, se puede cocluir que cuado las accioes covaría e el mismo setido, el portaolio resultate o orece mayor vetaja. Para ilustrar el segudo caso, cuado las accioes covaría e orma iversa, supógase los datos del cuadro adjuto (e realidad, so las mismas ciras del ejemplo aterior, pero ordeadas de distita maera). Como puede observarse, mietras los redimietos de la acció se icremeta, los de la acció desciede, y viceversa. Para ies del ejemplo, se ha establecido u redimieto promedio úico del portaolio: 0,5%. 3 4 r,0% 7,0%,0% 7,0% r 0,0% 4,0% 0,0% 4,0% rp 0,5% 0,5% 0,5% 0,5%

4 5% 0% 5% 0% 3 4 r r rp E la igura correspodiete puede observarse claramete la maera iversa como varía los redimietos y como esto implica que el redimieto promedio resulte ua líea uiorme. E térmios de los estadígraos, la retabilidad promedio de la acció es 9% y su riesgo es de,3%. La acció preseta el mismo riesgo, pero ua retabilidad mayor, igual a %. 5.0% Co estos valores, lo que sí ha variado es el riesgo asociado al portaolio, ya que co ua retabilidad promedio similar al del caso aterior (0,5%), la desviació estádar del portaolio es igual a 0% (si riesgo). Se puede observar, etoces, que el balace etre retabilidad y riesgo del portaolio es claramete mejor respecto a la acció, mietras e el caso de la acció se ha sacriicado algo de retabilidad a cambio de dismiuir sigiicativamete el riesgo. R 9,00%,3% R,00%,3% R p 0,50% p 0,00% Los ejemplos ateriores permite percibir la vetaja de costruir portaolios: a través de ellos se puede admiistrar el riesgo de las iversioes. Y la variable que icide e orma determiate e este proceso es la covariaza. cov( r, r ) = = ρ La órmula aterior expresa el valor umérico de la covariaza etre los redimietos de la acció y la acció. De aquí es iteresate rescatar el ídice de correlació etre los mismos redimietos, que expresa de maera más clara la orma cómo covaría las accioes. Por ejemplo, e el primer caso, las accioes covaría e orma perectamete directa, el coeiciete de correlació será (ρ =); e el segudo caso las accioes covaría e orma perectamete iversa, el coeiciete de correlació será (ρ = ). 0.0% 5.0% 0.0% 5.0% Como quiera que e el mudo real las accioes o ha de variar perectamete, i directa i iversamete, se debe obteer este ídice de correlació o directamete la covariaza. El ídice de correlació se calcula de la siguiete maera: 0.0% % -0.0% 6,0% 4,0% Evolució del Retoro Empresa ρ = r r i ri i R ri r i r i R,0% 0,0% 8,0% 6,0% 4,0%,0% 0,0% Evolució del Retoro Empresa E la igura de la izquierda puede observarse la variació de los redimietos de la acció r r r r -0,73 y de la acció del ejemplo iicial, el de los 0 periodos. Los redimietos tiee ua covariació egativa (iversa), pero o perecta. Aplicado la relació aterior, se puede ecotrar el valor umérico del ídice de correlació etre estos dos activos iacieros. 3

5 El cuadro se preseta como es proporcioado ormalmete por ua hoja de cálculo. Se lee que el ídice de correlació etre ua misma acció es de, mietras el ídice de correlació etre la acció y la acció es de 0,73 (iversamete correlacioadas). I. Portaolios coormados por ua acció y el activo libre de riesgo. Activos co riesgo y activos libres de riesgo El mercado de capitales seleccioa los activos iacieros haciedo u balace etre el ivel de retabilidad que orece y el ivel de riesgo que preseta. Así, se puede ecotrar tato activos co riesgo míimo, como so, por lo geeral, los reeridos a los Boos del Tesoro de Estados Uidos (los Treasury Bills a tres meses), cosiderados libres de riesgo, como activos co riesgo del egocio o riesgo iaciero por el ivel de edeudamieto. E realidad, los T-Bills a tres meses sí preseta variació, tal como lo muestra el cuadro adjuto. Si embargo, e ució de su tiempo de maduració (tres meses), esta variació es míima, ya que los valores de redimieto so predecibles. La igura adjuta preseta la evolució de los redimietos de los T-bills a tres meses durate u periodo de cico años EVOLUCIÓN DE LOS T-BILLS Porcetaje Meses Retoro Los activos co riesgo so aquellos que preseta e el mercado premios por riesgo del egocio o por riesgo iaciero. Los premios por riesgo del egocio se otorga o establece por la variabilidad de los lujos o resultados ecoómicos; y los premios por riesgo iaciero correspo de al Retabilidad y Riesgo ivel de Retoro Ri,% 8,98% apalaca Riesgo i 0,49% 3,59% mieto iaciero de la empresa. Estos riesgos se icluye e el retoro esperado de la empresa y so resultado de las múltiples 9,0% 8,0% iteraccioes producidas e el mercado de 7,0% capitales, dode se caliica cada iversió. E 6,0% el ejemplo, la iteracció reerida está 5,0% precisado que los accioistas de la empresa 3,0%,0%,0% 0,0% 0,0%,0% 4,0% 6,0% 8,0% 0,0%,0% Riesgo 4

6 requiere,% de retoro, mietras que los de la empresa espera 8,98% de retoro; y es que la primera preseta ua variabilidad de 0,49%; y la seguda, de 3,59%. Se observa que las dos accioes preseta u itercambio etre retabilidad y riesgo. Si ambas uera las úicas accioes e el mercado, sería imposible precisar cuál sería preerible, porque mietras ua muestra mayor retabilidad, la otra preseta el beeicio del meor riesgo.. Portaolios de activos co riesgo y activos libres de riesgo El activo libre de riesgo cumple la ució de permitir la costrucció de portaolios co itercambio lieal etre retabilidad y riesgo. Para apreciar como se produce este itercambio, supógase que las iversioes e las accioes y so excluyetes, pero que se puede ivertir e portaolios coormados por ua de estas accioes y por u activo libre de riesgo. La coormació de u portaolio de este tipo supoe la iversió de u porcetaje del moto e el activo co riesgo ( ) y del porcetaje restate e el activo si riesgo ( ). De esta combiació resultará u activo iaciero uevo cuya retabilidad media RP y riesgo asociado puede ser estimados por los estadígraos descritos. RP RP = R + R = R + r La retabilidad media se obtiee segú la relació adjuta, que muestra que la retabilidad del portaolio es igual al promedio poderado de la retabilidad idividual de cada activo segú el porcetaje de iversió hecho e cada activo. P P P Por su parte, el riesgo asociado al portaolio se calcula = co la órmula adjuta. Puede apreciarse que la + + ρ desviació respecto del redimieto medio del = portaolio ( P ) es ució de la desviació idividual de + + ρ cada acció y, algo importate, tambié de la = covariaza etre el activo y el activo (ρ ). Como se supoe que, por deiició, la desviació del activo libre de riesgo es cero (o existe variació de los redimietos co relació al redimieto del activo libre de riesgo) e, igualmete, la correlació del activo libre de riesgo respecto a cualquier activo co riesgo (ρ ) es cero dado que ate cualquier variació del redimieto del activo co riesgo, el redimieto del activo si riesgo permaecerá igual, la desviació co respecto al redimieto del portaolio ( P ) será igual al porcetaje de iversió e la acció ( ) multiplicado por la desviació respecto del redimieto de ésta ( ). Nótese que se trata de u itercambio lieal, mateiedo costate la desviació de la acció. Si se aplica las relacioes ateriores, por ejemplo, a ua iversió tal que el 30% del moto ( =30%) se ivierte e la acció (R =,%, =0,49%) y el saldo se ivierte e u T-Bill a tres meses (r =5,65%, =0%), se obtedrá u portaolio co retoro medio de (R P ) 7,59% y ua desviació respecto al mismo ( P ) de 3,5%. Obsérvese que el retoro medio del portaolio es u promedio del retoro de la acció y del retoro del T-Bill, lo mismo se puede decir del riesgo asociado a ese portaolio. R,% 0,49% r 5,65% 0% 30% R P 7,59% 70% P 3,5% R 8,98% 3,59% r 5,65% 0,00% 70% R P 6,65% 30% P,08% De la misma maera, si se aplica las relacioes ateriores al activo iaciero (R =8,98%, =3,59%), cosiderado ua iversió de 30% del moto a esta acció ( =30%) y el saldo e u T-Bill a tres meses (r =5,65%, =0%), se obtedrá u portaolio co retoro medio de (R P ) 6,65% y ua desviació respecto al mismo ( P ) de,08%. 5

7 Si se asiga porcetajes cosecutivos del moto de iversió a la acció, se obtedrá ua líea de portaolios coormados por la acció y el T-Bill. Si, igualmete, se hace variar el porcetaje del moto de iversió asigado a la acció, se obtedrá ua líea de portaolios coormados por la acció y el T-Bill. Los resultados de ambos grupos de portaolios se ha graicado e la igura de la derecha. Bajo el supuesto que la iversió e la acció y la iversió e la acció so excluyetes y que cada uo de estos activos puede coormar portaolios Diagrama de Retabilidad y Riesgo co el activo libre de riesgo, de los 6,0% resultados se puede cocluir que co 4,0% la acció es posible costruir,0% RP portaolios superiores a los costruidos 0,0% co la acció. Esto, porque e 8,0% RP cualquier puto, a u mismo ivel de 6,0% retabilidad media, los portaolios 4,0% costruidos co la acció orece u riesgo meor al orecido por la,0% 0,0% acció ; e igualmete, a u mismo Desv. Std - Riesgo riesgo (igual desviació), los portaolios costruidos co la acció orece mayor retabilidad. Retoro Medio - Retabilidad 0,0%,0% 4,0% 6,0% 8,0% 0,0%,0% 4,0% 6,0% La costrucció de líeas de portaolios es importate, ya que éstas determiará, posteriormete, el redimieto del mercado. Obsérvese que teiedo como puto de pívot la tasa libre de riesgo, cuato más pediete tega la líea, mayor será el balace etre retabilidad y riesgo que orezca esos portaolios rete a aquellos cuya líea presete meor pediete. III. Portaolios coormados por dos accioes co riesgo egocio Como se explicó e la secció aterior, u portaolio se coorma asigado porcetajes diversos del moto de iversió a determiados activos iacieros. E el ejemplo que sigue, y dado que se cosidera sólo dos activos, se asiga u porcetaje de la iversió a la acció () y el restate porcetaje a la acció (). El portaolio resultate, al igual que las accioes idividuales, será idetiicado por el retoro medio y la desviació respecto al mismo, o riesgo asociado. Para iiciar el aálisis, recuérdese que el retoro medio de u portaolio de dos accioes es igual al promedio poderado de los retoros idividuales de los activos iacieros que lo coorma. Si se ivierte el 30% de u capital e la acció ( =30%), cuyo retoro medio es de,% (R ), y el saldo ( =70%) e la 30% R,% 70% R 8;98% RP 9,9% R P = R+ acció, que preseta u retoro medio de 8,98% (R ), se obtedrá u retoro medio del portaolio de 9,9%. La iversió e el portaolio origia ua ueva desviació respecto al retoro medio de dicho portaolio, la que se calcula co la relació mostrada e el cuadro adjuto. Obsérvese que el riesgo asociado al retoro del portaolio ( p ) depede de la desviació respecto al P = + + retoro de cada acció y de la covariaza etre las dos accioes. Este estadígrao resulta de eorme importacia para la coormació de portaolios, como se explicó ateriormete, ya que segú el valor resultate cov( r, r ) = = ρ se podrá obteer portaolios co u mejor balace etre retabilidad y riesgo. E el caso de úicamete dos accioes, se R ρ 6

8 puede observar que si la covariaza es egativa esto es, si las accioes varía e orma iversa el portaolio resultará co ua meor variaza y desviació respecto a las variazas o desviacioes idividuales. Como se observa e la órmula, la covariaza depede de la correlació etre los redimietos de las dos accioes. E el ejemplo, el ídice de correlació (ρ ) etre el redimieto de la acció y el redimieto de la acció es de 7,3%. Si el ídice de correlació resultara egativo lo que sigiica que las accioes covaría e orma iversa, se estaría cumpliedo co el pricipio de la costrucció de portaolios: admiistrar el riesgo. E meor medida auque tambié es importate, la desviació del portaolio depede de la desviació idividual de las accioes y de la magitud de la iversió e cada ua de ellas. Cosiderado el mismo ejemplo, si se asiga 30% ( ) del moto de iversió a la acció, que tiee ua desviació respecto al retoro medio del 0,49% ( ), y 70% ( ) del moto de iversió a la acció, que tiee ua desviació 30% 70% 0,49% 3,59% respecto al retoro medio del 3,59% ( ), y, además, las accioes covaría egativamete co u ídice de correlació del 7,3% (ρ ), etoces, el resultado de la aplicació es ua desviació respecto al retoro del portaolio equivalete a,9% ( P ). ρ -7,3% P,9% Como se señaló ateriormete, la desviació del redimieto del portaolio resulta ser meor que las desviacioes de los redimietos idividuales de cada acció. Se puede cocluir que, respecto a la acció, el retoro del portaolio ha descedido (de,% a 9,9%); si embargo, el riesgo asociado ha bajado sigiicativamete (de 0,49% a,9%). E el caso de la acció, los resultados so icluso más halagüeños, el retoro del portaolio se ha icremetado (de 8,98% a 9,9%) y el riesgo asociado ha dismiuido (de 3,59% a,9%). Estos resultados muestra que u iversioista podría diversiicar riesgo si costruye portaolios cuya covariaza le permita reducir la desviació respecto al redimieto medio del portaolio. Si se asiga porcetajes cosecutivos de iversió a la acció ( ) y, por lo tato, tambié a la acció ( ), se obtedrá u cojuto de portaolios que puede ser idetiicados por su redimieto medio (R P ) y por su riesgo asociado ( P ). Los resultados puede observarse e el cuadro adjuto, dode los porcetajes de iversió varía desde 0% hasta 0% y co ellos se determia los valores de, el R P y la P A 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0%... 95,0% 00,0% 05,0% 0,0% 5,0% 0,0% B 00,0% 95,0% 90,0% 85,0% 80,0% 75,0%... 5,0% 0,0% -5,0% -0,0% -5,0% -0,0% RP 8,98% 9,4% 9,9% 9,45% 9,6% 9,77%...,96%,%,8%,43%,59%,75% P 3,59% 3,06%,58%,0%,99%,98%... 9,84% 0,49%,5%,8%,46% 3,% Obsérvese que icluso puede tomar valores superiores a 00%, lo que sigiica que se está tomado ua posició short e la acció, es decir, el iversioista se ha prestado títulos de la acció y los ha vedido e el mercado. Después que liquide su posició tedrá que devolverlos al precio que rija al mometo de la liquidació; de ahí los valores egativos e. E el cuadro se observa que el retoro del portaolio se icremeta a partir de 8,98%, que correspode al retoro de la acció (R ) cuado =0% y =00%, llega a,%, que correspode a la acció (R ) cuado =00% y =0%, y luego se icremeta por ecima de este valor detro de la posició short e la acció. 7

9 Por su parte, el riesgo asociado o la desviació respecto al retoro medio ( P ) empieza e u valor de 3,59% cuado el 00% de la iversió se destia al activo, se va reduciedo coorme la iversió se traslada hacia la acció, pero sólo hasta el ivel de,98%, cuado =5%, luego se va icremetado y se observa que e la zoa de posició short e la acció se icremeta e paralelo al redimieto del portaolio. El siguiete gráico muestra los itercambios etre retabilidad y riesgo. La desviació ( P ) ocupa el eje de las X; y el redimieto del portaolio (R P ), el eje de las Y. Cada puto correspode a ua posició de iversió co determiados y. Si se ue los DIAGRAMA DE RENTABILIDAD Y RIESGO DE PORTAFOLIOS 3% Redimieto Medio del Portaolio (Rp) % % 0% 9% 8% 7% 6% "Frotera Eiciete" 5% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % Desviació(p) sobre Rp o Riesgo Asociado valores del cuadro y la represetació gráica, se podrá observar que el puto ierior correspode a u =0% y u =00%, mietras el puto extremo superior correspode a u =0% y a u = 0% (posició short e la acció ). Puede percibirse que los portaolios ubicados e la parte superior del gráico preseta u balace etre retabilidad y riesgo superior al balace de los portaolios ubicados e la parte ierior. A cualquier posició de desviació similar, los portaolios de la parte superior muestra ua retabilidad mayor. Por esta razó, esta parte superior se deomia rotera eiciete. 8

10 IV. Determiació del puto tagete (T) o retoro de mercado E la rotera eiciete se ecuetra distitos portaolios cuyos balaces etre retabilidad y riesgo o so posibles de discrimiar como superiores o ieriores. Se puede decir, e ua primera aproximació, que ello depederá de la aversió al riesgo del iversioista. Si embargo, tal como se explicó e la secció aterior, es posible costruir portaolios co accioes y u activo libre de riesgo y coormar co ellos ua líea de portaolio. Así, se puede elaborar u gráico que cotega la rotera eiciete señalada, los portaolios ormados por cada acció idividual y por u activo libre de riesgo y agregar a ello otros dos portaolios: uo superior a los ateriores, coormado por el portaolio X (ver gráico) y por u activo libre de riesgo, y uo que a su vez es superior al aterior, que resulta ser tagete a la rotera eiciete (puto T). 6.00% Diagrama de Retabilidad y Riesgo 4.00% RML X Retoro Medio - Retabilidad.00% 0.00% 8.00% 6.00% 4.00%.00% T RP RP Frotera Eiciete 0.00% 0.00%.00%.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% 7.00% 8.00% 9.00% 0.00%.00%.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% Desv. Std - Riesgo Como es posible deducir, se ha logrado la líea co mayor pediete y o es posible teer ua líea superior. A esta líea que resulta ser la combiació del portaolio de accioes e el puto T y el activo libre de riesgo se le deomia líea de mercado. Etoces, la preocupació será determiar ese puto T, al que tambié se deomia retoro de mercado, porque represeta la iversió más eiciete que el mercado puede seleccioar realizado u balace etre retabilidad y riesgo. El puto T podrá ser determiado si se halla el porcetaje de capital que deberá ivertirse e la acció ( ) y aquél que deberá ivertirse e la acció ( ). Ua vez determiados estos porcetajes que deie el puto T, se podrá determiar el retoro (R T ) y la desviació o riesgo asociado ( T ) del puto T. El retoro del puto T es el retoro del mercado (R M ). 9

11 El problema es, etoces, matemático. Utilizado las propiedades estadísticas se puede deducir que se puede hallar los porcetajes de iversió e la accioes y ( y ) aplicado las relacioes mostradas e el cuadro adjuto. Allí se expresa dos ecuacioes co dos icógitas, y. Dode: es la covariaza de la acció respecto así misma; e térmios prácticos, la variaza de la acció,. Este tipo de expresió será importate cuado se geeralice las órmulas. Dode : Se puede exp resar : ρ = ρ = ρ = = ρ ρ + = R = R = = r R R r = = r r es la covariaza de la acció respecto a la iversió ó viceversa, que tambié será igual a, y ambas expresioes será iguales a ρ, que resulta ser la órmula de la covariaza. es la covariaza de la acció respecto así misma o la variaza de la acció,. R y R, so los retoros medios de la acció y la acció, respectivamete; y r es el retoro del activo libre de riesgo. Todos los datos, variazas o desviacioes al cuadrado, ídice de correlació y retoros ya se cooce, pues correspode al ejemplo iicialmete utilizado. Por lo tato, se puede resolver la ecuació de dos icógitas. Resueltas las ecuacioes, el valor de es igual a 5,7 y el de es igual a 80,. Para ecotrar las participacioes relativas de la iversió e cada ua de R,% 0,49% R 8,98% 3,59% R 5,65% Corr -7,3% las accioes se eectúa u cambio de escala. Se totaliza los y provisioales y se ecuetra la participació relativa dividiedo cada valor etre el total. Así, resulta que el puto = 80, 75,70% = 5,7 4,30% 05,8 T está determiado por ua iversió e la acció de 4,30% del moto total ( ) y ua iversió e la acció de 75,70% del moto total ( ). RT 9,74% T,97% Reemplazado e la órmula los valores de y, determiados ateriormete, se halla el retoro del portaolio T, que es R T =9,74%, y su riesgo asociado, que es T =,97%. Se puede decir que el retoro de este mercado de dos accioes es de R M =9,74%. Como puede observarse, la desviació del portaolio T resulta meor que las desviacioes idividuales de cada acció. Respecto a la acció, el retoro del portaolio ha descedido (de,% a 9,74%), pero el riesgo asociado ha bajado sigiicativamete (de 0,49% a,97%). E el caso de la acció, los resultados so mejores, el retoro del portaolio se ha icremetado (de 8,98% a 9,74%) y el riesgo asociado ha dismiuido (de 3,59% a,97%). Estos resultados muestra que el iversioista o tedrá mejor alterativa de diversiicació de riesgo, ya que este portaolio es el que orece mejor balace etre retabilidad y riesgo. Respecto a la acció, o hay duda que se geeró u portaolio superior. Si embargo, tambié es posible estar claramete e ua posició superior respecto a la acció. Co el portaolio del puto T es posible, ahora, geerar u uevo grupo de portaolios que combie este portaolio (R T y T ) co el activo libre de riesgo. 0

12 Así, utilizado las relacioes ateriormete aalizadas y deducidas se puede hallar el retoro para el cojuto de combiacioes de iversió e el portaolio T ( ) y e el activo libre de riesgo ( ). De la misma LM = T R LM = RT + maera, se puede calcular el riesgo asociado a estos uevos portaolios co la relació que se preseta a la izquierda. Nótese que la desviació del portaolio es ua ució lieal de la desviació del portaolio T ( T ). El resultado será la líea de mercado. E el gráico se observa esta líea e ua posició tagete a la rotera eiciete e el puto T. r PUNTO DE TANGENCIA Y RETORNO DE MERCADO 7% Redimieto Medio del Portaolio (Rp) 5% 3% % 9% 7% T 5% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % Desviació sobre Rp o Riesgo Asociado E el gráico aterior se puede otar ua relació importate. Los putos que coorma la líea de mercado costituye portaolios superiores a los que orma la rotera eiciete. Y es que a u mismo ivel de riesgo, siempre será posible ecotrar u portaolio costituido por el portaolio del puto T y el activo libre de riesgo que orezca mayor retabilidad que el portaolio correspodiete e la rotera eiciete. Si bie este portaolio de la rotera eiciete es susceptible de ser combiado co el activo libre de riesgo, o será posible lograr mayor pediete que la establecida por el portaolio del puto T. E ese setido, la líea de mercado siempre costituirá el cojuto de portaolios de mejor balace etre retabilidad y riesgo. E cosecuecia, el portaolio del puto T será superior si duda a la acció idividual y a cualquier otra combiació o acció idividual e este mercado de dos accioes.

13 V. Coloó - Este documeto permite itroducir los coceptos de ormació de portaolios sustetados e el modelo CAPM. - Icorpora la importacia de los estadígraos de retabilidad retoros medios o esperados y riesgo desviació sobre el retoro medio, pero revela la importacia del estadígrao de covariabilidad etre los retoros idividuales de las accioes. Es justamete la orma o valor que adquiera la covariaza lo que permite coormar portaolios superiores a las accioes idividuales. - Se ha aalizado la orma como se costruye portaolios de accioes co riesgo egocio y el activo libre de riesgo para advertir la ormació de líeas de portaolios y la importacia de la pediete de estas líeas. Se pudo observar que etre accioes cosideradas idividualmete o se puede determiar cuál es superior, pero sí es posible hacerlo a través de las líeas de portaolio. - Se ha aalizado la coormació de portaolios de accioes o activos co riesgo egocio y se ha logrado establecer distitas combiacioes de portaolios. Se pudo observar que ha sido posible deliear la rotera eiciete, aquella combiació o portaolio de accioes que resulta superior por mejor balace etre retabilidad y riesgo. - Ua vez determiada la rotera eiciete, es diícil precisar cuál de los portaolios es el más eiciete, porque etre u y otro existe premios o castigos de retabilidad y riesgo. Si embargo, si cada uo de esos portaolios se combia co el activo libre de riesgo es posible determiar el portaolio más eiciete, que resulta ser el puto T o el portaolio dode la líea de portaolios etre portaolios de la rotera eiciete y el activo libre de riesgo es tagete a la rotera eiciete. - La combiació de este portaolio del puto T y el activo libre de riesgo costituye la líea de mercado, que es el cojuto de portaolios de mejor combiació de retabilidad y riesgo que es posible coormar e este mudo de dos accioes.