264.- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la siguiente: n

Transcripción

1 oja de oblema Etadítica VII 6.- La ditibució de obabilidad de ua vaiable aleatoia diceta e la iguiete: j j Se ide: º Eeaza matemática o valo medio obable de la vaiable. º Límite de la eeaza cuado tiede a ifiito. RESOLUCIÓ.- º Evidetemete i, luego X o e ua vaiable aleatoia. Si lo fuea: E X º lim E X lim lim lim g h, 7 d g h g h Obevado ue el valo obteido e meo ue, e cofima ue la ditibució dada o e ua ditibució de obabilidad ueto ue el valo de la eeaza cae ieme deto del ecoido de la vaiable. 6.- Se dioe de ua ua ue cotiee cico bola oja y cuato bola blaca. Se etae de u iteio cico bola y etamo iteeado e defii la vaiable aleatoia X úmeo de bola blaca etaída. Comleta la adjuta tabla e lo do cao iguiete: a La cico bola e etae de ua e ua, devolviédola cada vez a la ua. b La cico bola e etae de ua ola vez. X /

2 / c Calcula e cada uo de lo cao X y σ RESOLUCIÓ.- a ', iedo '6, iedo '87, iedo '76, iedo 88 ', iedo '7, iedo ' b '7 6, iedo 87 ' 6, iedo '76 6 6, iedo '76 6, iedo

3 '68, 6 iedo, iedo ' c E el cao a etamo ate ditibució biomial de aámeto o coiguiete X σ,, ' ' 8 E el cao b etamo e ua ditibució hiegeomética, luego, iedo el úmeo de bola, el de bola blaca y el úmeo de bola etaída M, e tiee ue: X M ' σ M M 8 ' Dioemo de do ua co bola cada ua, umeada de a e amba. Se etae imultáeamete ua bola de cada ua y i devolvela eetimo eta oeació, hata vacia la ua. a alla la obabilidad de ue e igua de la etaccioe lo úmeo de la bola coicida. b alla el límite de dicha obabilidad cuado tiede a ifiito. RESOLUCIÓ.- ueto ue la odeacioe ue eulta al etae la bola de la imea ua o euiobable, el oblema ueda imlificado e u otació i uoemo fijada la odeació ue eulta de la etaccioe e la imea ua. í ue, ea i i e uceo ue coite e ue haya coicidecia e la etacció i. Evidetemete i /

4 / Sea. Evidetemete e el uceo ue coite e ue al meo haya ua coicidecia. Se tiee: j i j i j i i, j, difeete M i i i difeete ubidice i i i E coecuecia: a El uceo ue coite e ue o haya coicidecia e. í: b ueto ue, e e tiee ue lim e 67.- Do eoa y B, juega ua cometició de ajedez, la cual eá gaada o el imeo de lo do jugadoe ue gae do atida. La obabilidade ue tiee de gaa, hace tabla o ede e ua atida o a, b, c, eectivamete. Cuál e la obabilidad de ue veza e la cometició?. RESOLUCIÓ.- aa ue gae la cometició e ha de celeba atida co,,, La obabilidad de ue gae la cometició e la atida eactamete, e: c b a b a i

5 La obabilidad bucada e: a i a a b a cb a a b a c b a b a c b Teiedo e cueta ue i <, deivado: y o coiguiete a b a c b a b a c b a a c a c a c a a c a c 68.- Dado u egmeto cualuiea, halla la obabilidad de obtee, o tiecció, lo te lado de u tiágulo. RESOLUCIÓ.- Etedeemo o tiecció la elecció de do uto al aza del iteio del egmeto. E evidete ue o uoe eticció algua idetifica al egmeto co el itevalo [, ]. La elecció de do uto e el egmeto e etoce la elecció de do úmeo,, y,, y. La codició eceaia y uficiete aa ue co te egmeto e ueda foma u tiágulo e ue la logitud de cada uo de lo egmeto ea meo ue la uma de lo oto do. Refiiedo eta codicioe a lo úmeo e y obteemo: Si < y, < <, y <, < y < Si y <, < y <, y <, < < Iteetado geométicamete eta codicioe, idetificado, y co u uto del lao, eulta ue lo uto ue veifica la codició eteece a la ate ayada de la figua. La obabilidad e o tato: /

6 E el iteio de u cuadado OBC cuyo lado e igual a L cm. Se elige u uto, y al aza. alla la obabilidad de ue e ueda foma u tiágulo cuyo lado tega logitude,, y. RESOLUCIÓ.- Se odá foma u tiágulo i y olo i < y < y y < Geométicamete la obabilidad euivale a la de elegi e el cuadado OBC u uto ituado e la zoa o ayada. Dicha obabilidad e: ,6 7.- Dada la fució f defiida e,, e ide: a Detemia aa ue f ea ua fució de deidad. b alla la fució de ditibució. c Calcula la obabilidad X. RESOLUCIÓ.- a o e d ua itegal covegete, eulta: d lim d lim acta acta / / í, / / b IR : F t dt acta / acta / 6/

7 c X F F acta acta acta acta / acta / 7.- Dioemo de do ua co bola cada ua, umeada de a e amba. Se etae imultáeamete ua bola de cada ua y i devolvela eetimo eta oeació, hata vacia la ua. a alla la obabilidad de ue e igua de la etaccioe lo úmeo de la bola coicida. b alla el límite de dicha obabilidad cuado tiede a ifiito. RESOLUCIÓ.- ueto ue la odeacioe ue eulta al etae la bola de la imea ua o euiobable, el oblema ueda imlificado e u otació i uoemo fijada la odeació ue eulta de la etaccioe e la imea ua. í ue, ea i i el uceo ue coite e ue haya coicidecia e la etacció i. Evidetemete i. Sea U U U. Evidetemete e el uceo ue coite e ue al meo haya ua coicidecia. Se tiee: i j i j i j i, j, difeete... i i i ubídice difeete E coecuecia: 7/

8 8/ a El uceo ue coite e ue o haya coicidecia e. í: b ueto ue e e tiee ue lim e 7.- Obtee la obabilidad de ue u cateo ue lleva te cata co ditito detiataio etegue al meo ua de ella coectamete al efectua dicha etega al aza i mia diecció algua. RESOLUCIÓ.- Uaemo el método geeal aa eolve ete tio de oblema. Sea i el uceo ue coite e ue el detiataio i ecibe u cata. abá ue calcula: 7.- Se dioe de do ua, blaca y ega, coteiedo cada ua de ella bola blaca y ega e la oocioe iguiete: Ua blaca: - bola blaca y bola ega.

9 / Ua ega: bola blaca y - bola ega. Cuado e ua etacció e aca bola blaca, la etacció iguiete e efectúa e la ua blaca, y e la ua ega e el cao cotaio. Deué de cada tiada e eoe la bola. La imea etacció e ealiza e la ua blaca. Cuál e la obabilidad aa ue la -éima bola acada ea blaca?. Calcula lim. RESOLUCIO.- Sea la obabilidad de ue la -éima bola acada ea blaca. Cuál e la obabilidad aa ue la -éima bola acada ea blaca y la obabilidad de ue ea ega. Se veifica:, aa ue >. Como la imea etacció e ealiza e la ua blaca, ello euivale a uoe ua etacció e la ue e hubiea acado bola blaca; aí:. Luego, : I. Lo valoe oio de la matiz o y --; lo coeodiete vectoe oio fila o [, ], [, -], uoiedo ó. í: o tato:

10 / E uma i, y lim, ya ue de - - ue deduce e,. Como I Reulta ue i, lim y i, o eite lim.