Notas en lógica básica

Transcripción

1 Notas basadas en el prontuarios de MATE 3325 Notas escritas por Dr. M Notas en lógica básica En estas notas trabajaremos con lógica básica. Empezamos con argumentos. Todos hemos utilizados argumentos en nuestra vida cotidiana. Algunas veces los usamos en filosofía, otras veces en las ciencas naturales, también en las humanidades y como también en la vida común con la familia y amigos. Argumentos son las herramientas que usamos para convencer a alguna persona de nuestro punto de vista. La lógica es el estudio de estas herramientas para determinar diferenias entre argumentos válidos y argumentos inválidos, o sea, aquellos para los cuales vale la pena razonar y aquellos para los cuales no vale la pena. Definición 1.1. Un enunciado es una oración declarativa que es cierta o falsa, pero no ambos. Cuando analizamos enunciados, una de las primeras cosas que notamos es que algunos enunciados son simples, mientras otros son compuestos. Definición 1.2. Un enunciado simple es un enunciado que tiene un solo sujeto, un solo predicado y no puede ser una combinación de otros enunciados con el uso de conectivas como no, y, o, si-entonces y si y solo si. Tales enunciados son indivisibles. Ejemplo 1.3. Algunos ejemplos es irracional. 2. El número π es irracional. 3. Batman es un superhéroe es 8. Definición 1.4. Un enunciado compuesto es un enunciado que consiste de una combinación de enunciados simples unidos por uno o más conectivas. Ejemplo 1.5. Algunos ejemplos. 1. Batman es un superhéroe y no puede volar. 2. El cuadrado de un entero es impar si y solo si el entero es impar. 3. Si 2 es irracional, entonces no puede escribirse como un decimal repetitivo. Los siguientes ejemplos no son enunciados. Ejemplo 1.6. Algunos ejemplos. 1

2 1. Esta oración es falsa. 2. x + 7 = 3x. De la misma manera que en Álgebra utilizamos variables para denotar números, símbolos como + para denotar operaciones y paréntesis para eliminar ambigüedades, también en lógica usamos variables para denotar enunciados, varios símbolos para denotar conectivas, sus operaciones y paréntesis para eliminar ambigüedades. Definición 1.7. Símbolos como p, q y r, etc. se llaman variables de enunciados y pueden simbolizar arbitrariamente enunciados simples. Definición 1.8. Las conectivas que son usadas para formar enunciados compuestos están dados en la siguiente tabla. Negación no Conjunción y Disyunción ó Condicional si, entonces Bicondicional si y solo si Definición 1.9. Una expresión es una secuencia finita de variables de enunciados y conectivas. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Batman es un superhéroe y no puede volar. Sea p el enunciado Batman es un superhéroe y q es el enunciado puede volar. Entonces el enunciado Batman es un superhéroe y no puede volar puede escribirse como p ( q). 2. Si 2 es irracional, entonces no puede escribirse como un decimal repetitivo. Sea p el enunciado 2 es irracional y q es el enunciado puede escribirse como un decimal repetitivo. Entonces el enunciado Si 2 es irracional, entonces no puede escribirse como un decimal repetitivo puede escribirse como p ( q). 3. Hoy está caliente, pero no está soleado. Sea p el enunciado hoy está caliente y q es el enunciado no está soleado. Entonces el enunciado Hoy está caliente, pero no está soleado puede escribirse como p q. 4. Tomaré el curso de Física o el curso de Biología. Sea p el enunciado tomar el curso de Física y q es el enunciado tomar el curso de Biología. Entonces el enunciado Tomaré el curso de Física o el curso de Biología puede escribirse como p q. 2

3 Considere ahora el enunciado condicional p q. El enunciado p se llama hipótesis, mientras el enunciado q se llama conclusión. Este enunciado se considera cierto si no es el caso que p es cierto y q es falso. En tal caso, i.e. p cierto y q falso, entonces decimos que el enunciado es falso. Definición Una tabla de veracidad de un enunciado es una tabla con filas y columnas etiquetadas por los componentes del enunciado seguido por el enunciado como tal. En la tabla, cada fila exibe valores ciertos o falsos de los componentes del enunciado, mientras las columnas exiben valores ciertos o falsos del componente en cuestión. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. La tabla de veracidad del enunciado p es p p C F F C 2. La tabla de veracidad del enunciado p q es p q p q C C C C F C F C C F F F 3. La tabla de veracidad del enunciado p q es p q p q C C C C F F F C F F F F 4. La tabla de veracidad del enunciado p q es p q p q C C C C F F F C C F F C 3

4 5. La tabla de veracidad del enunciado p q es p q p q C C C C F F F C F F F C 6. Construya la tabla de veracidad del enunciado ((p q) ( q)) ( p) p q p q p q (p q) ( q) ((p q) ( q)) ( p) C C F F C F C C F F C F F C F C C F C F C F F C C C C C Definición Un enunciado es una tautología si y solo si el valor del enunciado es cierto siempre. Una tautología es representada por 1. Observe que si p es cualquier enunciado, entonces Un ejemplo incluye p ( p). p 1 = p p 1 = 1. p p p ( p) C F C F C C Definición Un enunciado es una contradicción si y solo si el valor del enunciado es falso siempre. Una contradicción es representada por 0. Observe que si p es cualquier enunciado, entonces Un ejemplo incluye p ( p). p 0 = 0 p 0 = p. p p p ( p) C F F F C F 4

5 Definición Un enunciado es una contingencia si y solo si no es una tautología ni tampoco una contracción. La mayoría de los ejemplos discutidos en clase son contingencias. Ejemplo Determine cuales de los siguientes enunciados son tautologías y cuales son contingencias. 1. Si yo te quiero, tú me quieres. 2. Va a llover o no va a llover en San Juan el día 3 de julio de Puede que coma o puede que no. 4. Algunos estudiantes se aburren con la lógica. Hay ocasiones en las cuales queremos reemplazar un enunciado con uno lógicamente equivalente. La siguiente definición nos indica cuando dos enunciados son equivalentes. Definición Dos enunciados p y q son equivalentes si y solo si p q es una tautología. En este caso, escribimos p q. Ejemplo Construya la tabla de veracidad de los siguientes enunciados. 1. ( p) ( q) p q p q ( p) ( q) C C F F F C F F C F F C C F F F F C C C 2. p (q r) p q r q r p (q r) C C C C C C C F F F C F C C C C F F C C F C C C C F C F F C F F C C C F F F C C 5

6 3. (p q) r p q r p q (p q) r C C C C C C C F C F C F C F C C F F F C F C C F C F C F F C F F C F C F F F F C Las tablas de veracidad se pueden utilizar para identificar tautologías. A continuación, algunos ejemplos. Ejemplo Cuáles de los siguientes enunciados son tautologías? 1. (p q) p Solución: Observe que p q p q (p q) p C C C C C F F C F C C F F F C F Concluimos que (p q) p no es una tautología. 2. (q r) (( r) q) Solución: Observe que q r r q r ( r) q (q r) (( r) q) C C F C C C C F C C C C F C F C C C F F C F F C Concluimos que el enunciado (q r) (( r) q) es una tautología. Note que las tablas de veracidad son útiles cuando trabajamos con pocos enunciados. Ahora bien, el número de filas en estas tablas crece exponencialmente con relación a la cantidad de enunciados. Por ejemplo, si un enunciado compuesto depende de un solo enunciado simple, entonces la tabla tendrá solo 2 filas. Si el enunciado compuesto depende de dos enunciados simples, entonces la tabla tendrá 4 filas. Si el 6

7 enunciado compuesto depende de 3 enunciados simples, entonces la tabla tendrá 8 filas. En general, si el enunciado compuesto depende de n enunciados simples, entonces la tabla de veracidad tendrá 2 n filas. Por lo tanto, es imperativo encontrar formas alternas de demostrar la veracidad de argumentos. Las siguientes tautologías toman un rol central a la hora de demostrar que algunos argumentos son válidos utilizando razonamiento deductivo. Eventualmente, ellas van a ser utilizadas como reglas de inferencia. 1. Regla de adición: p p q. 2. Regla de simplificación: p q p p q q. 3. Silogismo disyuntivo: 4. Resolución: 5. Doble negación: (p q) ( p) q. (p q) ( p r) (q r). ( p) p. 6. Reglas de conmutatividad: p q q p p q q p. 7. Reglas de idempotencia: p p p p p p. 8. Regla de contrapositivo: (p q) (( q) ( p)). 9. Leyes de DeMorgan: (p q) (( p) ( q)) (p q) (( p) ( q)). 10. Regla de distribución: (p (q r)) ((p q) (p r)) (p (q r)) ((p q) (p r)). 7

8 11. Regla de la transitividad: ((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r). 12. Modus ponens (MP): 13. Modus tolens (MT): 14. Contradicción: ((p q) p) q ((p q) ( q)) p. (p ( p)) 0. Ejemplo Sin utilizar tabla de veracidad, demuestre que ( p) (p q) es una tautología. Demostración: Note que Argumentos válidos ( p) (p q) p (p q) p (( p) q) 1. (p ( p)) q 1 q Definición Un argumento es una secuencia de enunciados llamados premisas, todas conectadas con y ( ), y al final, un enunciado llamado concluisión, el cual debe ser implicado por las premisas. Representamos un argumento en forma de la siguiente manera: P 1 P 2. P n C Ejemplo Considere el siguiente argumento. Si Batman es un superhéroe, entonces Batman batalla en contra de las fuerzas del mal. Batman es un superhéroe. Por lo tanto, Batman batalla en contra de las fuerzas del mal. Es éste un argumento válido? 8

9 Solución: Muy probablemente su intuición le dice que sí. Ahora bien, nuestra intuición a veces nos falla, así que escribamos este argumento en forma lógica y tratemos de evaluar su validez. Para esto, sea p y q los siguientes enunciados: p : q : Batman es un superhéroe. Batman batalla en contra de las fuerzas del mal. Note ahora que nuestro argumento tiene la forma p q p q Ahora es claro que si p implica q y tenemos que p es cierto, entonces tendremos q, así que el argumento es válido (modus ponens). Si aún no está convencido, entonces mire la tabla de veracidad: p q p q (p q) p ((p q) p) q C C C C C C F F F C F C C F C F F C F C Ejemplo Considere el siguiente argumento. Si Socrates es un mito, entonces Socrates es un dios del olimpo. Socrates es un mito. Por lo tanto, Socrates es un dios del olimpo. Es éste un argumento válido? Solución: Qué dice su intuición? Escribamos este argumento en forma lógica y tratemos de evaluar su validez. Para esto, sea p y q los siguientes enunciados: p : q : Socrates es un mito. Socrates es un dios del olimpo. Note ahora que nuestro argumento tiene la forma p q p q Este es exactamente el argumento del ejemplo anterior, por lo tanto sabemos que es válido. Ejemplo Considere el siguiente argumento. Si Socrates es un filósofo, entonces Socrates estudia la validez de argumentos. Socrates estudia la validez de argumentos. Por lo tanto, Socrates es un filósofo. Es éste un argumento válido? 9

10 Solución: Qué dice su intuición en este caso? Escribamos este argumento en forma lógica para poder evaluar su validez. Para esto, sea p y q los siguientes enunciados: p : q : Socrates es un filosofo. Socrates estudia la validez de argumentos. Note ahora que nuestro argumento tiene la forma p q q p Observe que es díficil demostrar la validez de este argumento usando las reglas de inferencias de arriba. La razón es bien sencilla, el argumento es inválido. Para esto, considere la tabla de veracidad. p q p q (p q) q ((p q) q) p C C C C C C F F F C F C C C F F F C F C Ejemplo Verifique la validez del siguiente argumento: p q ( p) r ( r) s q s Solución: Note que si p q y ( p) r son ambos ciertos, entonces por resolución tenemos q r. Por lo tanto, nuestro argumento se reduce a q r ( r) s q s. Pero si q r y s ( r) son ciertos, entonces, de nuevo por resolución tenemos que q s. Por lo tanto, el argumento es válido. Ejemplo Verifique la validez del siguiente argumento: p q ( r) ( q) r p 10

11 Solución: Tome la segunda hipótesis Por conmutatividad, tenemos que ( r) ( q). ( r) ( q) ( q) ( r). Ahora, sabemos que ( q) ( r) es equivalente a q ( r). Por lo tantos, nuestras dos primeras hipótesis son p q q ( r). Aplique la regla de transitividad para obtener p ( r). hipótesis (premisas) y argumento se resumen en p ( r) r p Por lo tanto, nuestras Finalmente, si p ( r) es cierto y r es cierto, entonces tenemos p (modus tolens). Concluimos que nuestro argumento es válido. Ejemplo Varifique la validez de los siguientes argumentos. 1. Lógica es díficil o no a muchos estudiantes le gusta. Si Matemáticas es fácil, entonces Lógica no es díficil. Por lo tanto, si a muchos estudiantes le gusta la Lógica, entonces Matemáticas no es fácil. Solución: Sea p : q : r : Lógica es díficil. A muchos estudiantes le gusta la Lógica. Matemáticas es fácil. Nuestro argumento tiene la forma p ( q) r ( p) q ( r) Por conmutatividad, tenemos que p ( q) ( q) p. También, recuerde que ( q) p q p. Ahora bien, por contrapositivo, tenemos que r ( p) ( p) ( r) p ( r). Por lo tanto, nuestro argumento es equivalente al siguiente argumento 11

12 q p p ( r) q ( r) Finalmente, note que la Regla de la Transitividad nos dice que este último argumento es válido. 2. Luis es electo presidente de la Junta de Condomines o ambos Pedro y María son electos vicepresidentes de la Junta. Si Luis es electo presidente o Pedro es electo vicepresidente de la Junta, entonces Carlos va a entablar una protesta. Por lo tanto, Luis es electo presidente de la Junta o Carlos entabla una protesta. Solución: Sea p : q : r : s : Luis es electo presidente de la Junta. Pedro es electo vicepresidente de la Junta. María es electa vicepresidente de la Junta. Carlos entabla una protesta. Nuestro argumento tiene la forma p (q r) (p q) s p s Utilice distribución en la primera premisa para obtener Ahora, si tenemos p (q r) (p q) (p r). (p q) (p r), entonces definitivamente tenemos p q. Por lo tanto, ahora tenemos el siguiente argumento p q (p q) s p s Las dos premisas de este argumento nos dicen (p q) ((p q) s), el cual, por modus ponens, nos dice que tenemos s. Finalmente, por adición sabemos que s (p s). Concuimos que el argumento es válido. Definición Un argumento sólido es un argumento válido para el cual todas las premisas (hipótesis) son ciertas. De lo contrario, decimos que el argumento no es sólido. Observe que el Ejemplo 1.11 es un argumento sólido, mientras el Ejemplo 1.12 no lo es. 12