3.5 OPERADORES LINEALES.

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1 3. ESPACIO L w 2 (,) 3.5 OPERADORES LIEALES. E este últmo prtdo preseto revemete, y de orm d-hoc pr uestro prolems, decoes y resultdos de certos operdores que ctú sore ls ucoes de (, ). Estos resultdos ecest u ustccó que deré de ldo. Sólo teto dr u vsó orml, reve y rápd de ls exgecs que dee cumplr u operdor hermítco e u espco dmesó t pr resolver el prolem de sus utovlores. Qué o esté especlmete teresdo e este prolem puede r drectmete l seccó qué lo esté es quzás meor que vy ls uetes (ver logrí)... y por tto que pse drectmete l seccó 3.3.5!!! E culquer cso covee, uque se u sol vez, leer el teorem udmetl E l seccó cluyo u otcó que es usul etre los íscos y muy útl e geerl. E l sguete y últm seccó troduzco revemete el cocepto de operdor tegrl y de operdor derecl que usré e el sguete cpítulo. Veremos e este cpítulo, e relcó co el prolem de Sturm-Louvlle y co ls ucoes de Gree, csos prtculres de estos operdores, csos que so los que os teres osotros. E resume l pretesó es resolver el prolem de utovlores (teorem udmetl) y uscr co ls utovectores (e el legue de ucoes utoucoes) de operdores Hermítcos e el espco de dmesó t 2 L w (, ) 2 L w, e prtculr los operdores llmdos derecles COJUTO COPACTO Bsdo e teorem de Bolzo-Weerstrss (e u couto to de úmeros de módulo cotdo exste l meos u secuec de ellos que coverge) se lleg que e u couto to de vectores de módulo cotdo, e u espco de dmesó t, exste l meos u secuec de ellos que coverge. Est covergec se us pr der u couto compcto e espcos de dmesó t: U couto to de vectores, de dmesó t, se llm compcto, s culquer de sus sucoutos tos coverge. Esto o ocurre sempre e el cso de espcos de dmesó t ORA DE U OPERADOR. OPERADOR ACOTADO. ETRICA. El operr de operdores es cs gul que l de úmeros co esos vectores. Cs porque los úmeros comut e l opercó de multplccó pero o l hce e geerl los operdores. L smltud se puede llevr más leos deedo el módulo, orm, de u operdor que tee cs ls msms propeddes que l de u úmero. Prmero recuerdo l decó de dstc de dos vectores [3..7]: que se puede rescrr como: dst (, ) módulo( ) ( < < )( ) dst (, ) dst(, 0 ) cuys terpretcoes so muy mlres: sucesvmete, el módulo del vector derec, l dstc etre dos vectores es l logtud etre sus puts o l dstc etre l put de l derec l orge. Por decó orm de u operdor A es dst( A., 0 ) A mx dst(., 0 ) sedo. culquer vector del espco vectorl. L decó se puede rescrr: G.AVASCUÉS Ultm revsó 24/0/

2 3. ESPACIO L w 2 (,) dst ( A., 0 ) A dst(., 0 ) que os dce que l logtud de los vectores A. tee u cuot superor dd por l logtud del vector A.. Se demuestr que l orm tee ls tres sguetes propeddes: A B B A A C + C B A B AB A. B S l orm es t el operdor es cotdo. osotros os lmtremos estos operdores. Oserve que etre l decó y ls dos prmers propeddes se troduce ormlmete u métrc e los operdores (ver seccó 3..4) dode l dstc etre operdores es l orm de su derec. Ello permte estlecer u secuec de operdores que coverge A s pr cd ε hy u tl que l dstcs etre o que mplc: A y A es: A A A < ε A 0 A A. A OPERADOR COPLETAETE COTIUO Cosdere u se ortoorml del espco vectorl de dmesó t: { e,,2,..., e δ }. U operdor se llm dmesolmete to (d..) s proyect sore u suespco to: m m A + em, m A m ( ) Por costruccó A proyect culquer vector del espco e el suespco geerdo por los vectores { e,, +,..., + }. Los elemetos A m () o so so los de l mtrz e ese suespco. El duto de A es: A + +, m e A * m ( ) Se puede demostrr que los operdores d.. está cotdos de tl mer que: m + m, m A A ( ). S exste u secuec de operdores d.. que coverge u operdor A, este se dce que es completmete cotuo. U operdor A completmete cotuo es cotdo. El couto de todos los vectores A., sedo l logtud de. cotd ( dst (.,0) < cost ), es compcto. G.AVASCUÉS Ultm revsó 24/0/

3 3. ESPACIO L w 2 (,) TEOREA FUDAETAL SOBRE OPERADORES HERITICOS COPLETAETE COTIUOS Utlzdo tod l prerl de 3.5., y teror se demuestr que: S H es u operdor hermítco completmete cotuo: Exste l meos u utovector de H co utovlor dstto de cero Pr u rtrro ε 0 hy u úmero to de utovectores ortoormlzdos de H cuyos ε,ε. Además pr u utovlor dstto de cero hy u utovlores está uer del tervlo [ ] úmero to de utovectores. Los utovectores de H costtuye u se complet de todo el espco vectorl. Como cosecuec se demuestr, etre otrs coss, que H sempre tee u utovlor co utovector gul +H o -H OTACIÓ USUAL El producto esclr e el espco de ls ucoes está ddo por < g * ( g( como geerlzcó de < r * r, ver seccó Como y mecoé e mos csos o hy lusó l se respecto l cul está reerds ls compoetes de los vectores; y e el cso de dmesó t y ( y g( e el cso de ls ucoes, dmesó t. Y hemos vsto que l ucó tee u ídce cotuo, l x, y que este recorre u tervlo rel [,]. E el cso de u espco vectorl de dmesó t, culquer vector del espco se expres como comcó lel de los vectores e,,2,, de u se ortoorml como e [3.5.] dode es l compoete del vector. Cd u de ests compoetes se otee multplcdo esclrmete el vector por cd uo de los vectores de l se: [3.5.2] Ahor trtmos de llevr est otcó l espco de ls ucoes de dmesó t dode el ídce se h trsormdo e u vrle cotu: ( x < x [3.5.3] Es usul, pr escrr meos, utlzr l otcó x e vez de e x, e culquer cso x es u ídce cotuo y el couto to { x, x [, ] } u se del espco vectorl de dmesó t. A qué ucoes correspode estos vectores? Lo vmos ver esegud pero tes os mlrzremos co est otcó presetdo lguos resultdos stte elemetles. Oserve que s e el cso to se dee vercr e 0, [3.5.4] y e el cso to < x 0 x [3.5.5] L comcó lel de los vectores de l se e el cso to, [3.5.] pr determr u vector del espco vectorl, se rescre e el cso del espco de ls ucoes como: G.AVASCUÉS Ultm revsó 24/0/

4 3. ESPACIO L w 2 (,) ( x [3.5.6] E el cso to tedrímos de l ecucó pr cd compoete [3.52]: e δ [3.5.7] lgo que y símos. Procededo de orm smlr e el cso de ls ucoes: < x ' ( < x y por lo dcho tes, ver [3.5.3], esto tee que ser l compoete : ( < x ( ) ( [3.5.8] [3.5.9] por lo que se deduce que (ver seccó 3.4 sore l ucó delt): o lo que es lo msmo: < x δ ( x [3.5.0] < x δ ( x δ ( x δ ( x [3.5.] Ls logís co espco to ls podemos cotur expresdo el operdor detdd e ucó de los vectores de u se. E el espco to está ddo por: I e [3.5.2] como se comprue áclmete. E el espco de ls ucoes [3.5.2] se geerlz : I x < x [3.5.3] que tmé se comprue co cldd. S se multplc [3.5.3] esclrmete por l derech y por l zquerd por y respectvmete se otee: x ' < ' < ' < ' x < x [3.5.4] y teedo e cut [3.5.]: δ ( x '' δ ( δ ( x ' ) [3.5.5] que es u geerlzcó e el cotuo de δ δ kδ k. Ahor u poco de tecó: s de h covedo k que l compoete (, de u ucó que está represetd por el vector, está dd por G.AVASCUÉS Ultm revsó 24/0/

5 3. ESPACIO L w 2 (,) < x, etoces < x es l compoete correspodete de l ucó que represet, por lo tto y semos cules so ls ucoes que represet l se x, x,, l ecucó [ ] os { [ ]} dce que so eseclmete ucoes delt. Esto es u sorpres y que e reldd o so utétcs ucoes, so dstrucoes y por lo tto o perteece l espco de ucoes e el que estmos trdo, perteece l espco mpldo de ls ucoes geerlzds. L exstec de ses de u espco de ts dmesoes que o perteece l propo espco o es lgo usul, de hecho y hemos psdo por es stucó e ls seres de Fourer dode los vectores de l se, expoecles comples, o so de cudrdo sumle e el tervlo (, ). S tuvérmos u se ortoorml, e,,2,, e uestro espco de ucoes de dmesó t, vuelve ser ácl demostrr que el operdor detdd se puede escrr: I e [3.5.6] ultplcdo por l zquerd y por l derech por < x < e x e ( e dode l últm guldd será muy útl más delte. < y x respectvmete se tee: δ ( ( ) * x, [3.5.7] OPERADORES ITEGRALES Y DIFERECIALES Los operdores que os teres osotros so los operdores tegrles y derecles. E el espco vectorl de dmesó, t, u operdor se escre: K e K [3.5.8] Es evdete que ctudo K sore culquer vector del espco lo trsorm e otro vector del msmo. S multplcmos por l zquerd y por l derech por < y respectvmete se otee, e el legue mtrcl, los elemetos el espco de ls ucoes se llm operdor tegrl: K e e de l mtrz correspodete. L geerlzcó de est expresó e d' d ' ') ', < K [3.5.9] L ucó x,x ), llmd kerel, hce el ppel equvlete l de elemeto de mtrz K del operdor [3.5.8], slvo que los ídces so cotuos. Actudo sore u vector del espco de ucoes tedrímos: K d' d ' ') ', ) < d' d ' ') ', ( g que es u vector, que llmo g cuys compoetes < x g g( so: G.AVASCUÉS Ultm revsó 24/0/ d ' d < x ' ') ', ) ( [3.5.20] g( < x K d x, ( [3.5.2]

6 3. ESPACIO L w 2 (,) e dode he usdo ls propeddes de l delt pr llegr l últm guldd. Oserve que el álger que se hce es smlr l cso del espco de dmesó t. osotros estremos teresdos e operdores tegrles hermítcos que se dee: K ( x, K * (, [3.5.22] como e u espco de dmesó t dode se exge que l mtrz correspodete que se hermítc. El prolem udmetl l que vmos eretros es áscmete resolver u ecucó de utovlores K λ [3.5.23] o e el legue de ls ucoes, que se coverte e u ecucó tegrl: d x, ( λ ( [3.5.24] El prolem es smlr l cso de dmesó t pero, como hemos vsto e [3.5.4] pr plcr el teorem udmetl, es ecesro exgr l operdor tegrl K que se completmete cotuo demás de Hermítco. Se demuestr que tl codcó se trduce que exst y se t l dole tegrl sore el kerel: d x, 2 <. [3.5.25] Por otr prte u operdor L se llm derecl s ctudo sore u vector, vector L g cuys compoetes g ( < x g está dds por: se otee otro d ( d ( d ( g( < x g < x L p ( + p ( p ( + p0 ( ( El operdor derecl lo podemos escrr como: L d d d p ( + p (... p( p0 ( osotros os lmtremos e el próxmo cpítulo operdores derecles socdos dervds de segudo orde. Oserve que depededo de l ucó puede ocurrr que el resultdo o se otr ucó como ocurre co l ucó escló cuy prmer dervd es l dstrucó delt. Por otr prte l dervd de u ucó puede dr áclmete otr que o se de sumle y por lo tto estos operdores o suele ser cotdos y, pretemete, o podrímos utlzr los resultdos de est seccó. Por eemplo o se puede plcr el teorem udmetl l ecucó de utovlores: L λ. S emrgo podemos usr el operdor verso l operdor derecl utovlores como: L λ L y rescrr l ecucó de y como verso de u operdor derecl, L es u operdor tegrl y se podrí plcr el teorem udmetl los utovlores / λ. E el próxmo cpítulo trtremos de orm explíct este prolem pr ecucoes leles de segudo orde. G.AVASCUÉS Ultm revsó 24/0/

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