Curvatura. t Rdt = Rt s = Rt t = s R. y r (s) =
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- Guillermo Montero Cortés
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1 Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) Curvatura En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto T =. Si la curva no es una linea recta, la derivada T mide la tendencia de la tangente a cambiar su diracción. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por dt/ds donde s representa la longitud de arco. Definición. Sea f : I R R n una camino dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco. Al número κ = f s) se le llama curvatura de f es s. Ejemplo: Calcule la curvatura en todo punto de la recta rt) = x, y, z ) + tu, u u, u 3 ) donde u = tenemos: r t) = u, u, u 3 ) y r t) = u = la curva esta parametrizada por longitud de arco κ = r t) =, por lo tanto k =. Ejemplo: Curvatura de una circunferencia. Para un círculo de radio R dado por la ecuación rt) = R cos t, R sen t) tenemos: La parametrizacion por longitud de arco es: s = de esta manera se tiene r s) = f u) du = R = Rt s = Rt t = s R s ) s ) s )) rt) = r = R cos, R sen R R R s ) s )) sen, cos R R y r s) = s ) R cos, s ) ) R R sen R κ = r s) = R. Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante y el reciproco de la curvatura es el radio de la circunferencia cuando kt), su inverso se denomina radio de curvatura y se designa por ρ.
2 Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) Ejemplo Sea f : [, 3] R dada por ft) = t, t + ), en este caso vamos a reparametrizar por longitud de arco s = ϕt) = = = f u) du, u) + u du vamos a intentar el cambio de variable u = sinhx) donde u = sinhx) de manera que + u du = + sinh x) coshx)dx = cosh x) dx = + coshx)) dx Por lo que = x + sinhx)) = x + coshx) sinhx)) = arcsenhu) + cosharcsenhu)) sinharcsenhu)) = arcsenhu) + u + cosharcsenhu))) cosharcsenhu)) = + sinh arcsenhu)) = + u arcsenhu) + u + cosharcsenhu))) = arcsenhu) + u ) + u = arcsenhu) + u ) + u y = arcsenhu) sinhy) = u ey e y e y = u ± 6u + e y = u ± u + y = ln arcsenhu) + u ) + u = = u e y e y = u ey e y u = u ± ) u + ln u ± )) u + + u ) + u
3 Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) 3 Regresando a nuestra integral por longitud de arco + u du = ln u ± )) u + + u ) + u t = ln t ± )) t + + t ) + t en este caso s = ϕt) = ln t ± )) t + + t ) + t se observa que no es posible hallar t = ϕ s) de manera explicita. Por lo que si se quisiera calcular la curvatura κs), deberemos recurrir a una expresión para la curvatura que dependa del parámetro t. Vector Tangente Definición. Dada una curva ft), el vector unitario tangente T es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por: T t) = f t) f t) siempre que f t). Observese que: T t) = f t) f t) = f t) f t) = por lo tanto T es de magnitud constante, en cuyo caso se tiene T T =. Vector Normal Principal Definición 3. Si T el vector unitario que tiene la misma dirección que T se llama Normal Principal a la curva y se designa por Nt). Asi pues Nt) es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación: Nt) = T t) T t) siempre que T t) La regla de la cadena y la fórmula s t) = f t) permite relacionar el vector curvatura dt/ds con la derivada T respecto al tiempo mediante la ecuación: dt ds = dt y puesto que T t) = T t) Nt), obtenemos: ds = T ds = T f t) dt ds = f t) T Nt)
4 Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) que dice que el vector curvatura tiene la misma dirección que la normal principal Nt). El factor de escala que multiplica a Nt) es un número no negativo llamado curvatura de la curva en t, y se designa por kt). Asi la curvatura de kt) definida como la longitud del vector curvatura esta dado por la fórmula siguiente: kt) = dt ds = f t) T t) Nt) = T t) f t) Vamos ahora a desarrollar una fórmula que nos permita calcular la curvatura. Si T = T t) f t) T f t) = f t) T ds = f t) Haciendo el producto cruz En cosecuencia sustituimos en f f = T ds f f = T ds ds T = f = T d s + ds T T d s + ds ) T ) ds T = T ds T d s + T ds ds T ) ds T sent, T ) = f f ) = T T = f f f ds kt) = T t) f t) kt) = f f f f t) kt) = f f f t) 3 Vector Binormal ) ds T Un tercer vector definido mediante B = T xn recibe el nombre de Vector binormal. Notese que Bs) = T s) Ns) = T s) Ns) sent, N) = Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha llamado Triedo de Frenet. Para el caso especial de una curva plana con ecuación y = fx) podemos escoger x como el parámetro y escribir rx) = xî + fx)ĵ entonces r x) = î + f x)ĵ y r x) = f x)ĵ y al efectuar: î ĵ ˆk r x) x r x) = f x) = f x)ˆk f x)
5 Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) 5 r x) x r x) = f x). Por otro lado f x) = + [f x)]., para una curva plana kx) = f x) + [f x)] ) 3/ Ejemplo: Determine los vectores T y N, la curvatura k y el centro de la curvatura de la parábola y = x en el punto, ) Solución. Si la parábola esta parametrizada por x = t y por y = t, entonces su vector de posición es ft) = t, t ), por lo tanto f t) =, t) f t) = + t, y f t) =, ), por lo tanto: T t) = perpendicular a T,, t) + t T ) = ) 5, 5 Nt) = ), 5 5 k = f t) ) 3 = ) + [f t)] 3 k) = + t 5 5 ρ = 5 5 el centro de la curvatura es ct) = f, ) , ) =, 7 ) 5 Y la ecuación del círculo osculador a la parábola es, por tanto: x + ) + y ) 7 5 ) 5 = = 5 Ejemplo: Calcule la curvatura k de la hélice xt) = a coswt), yt = a sinwt)), zt) = bt Solución. Tenemos que: f t) = wa sinwt), aw coswt), b) f t) = a w + b T = aw sinwt), aw coswt), b) a w + b k = T f = aw coswt), aw sinwt), a w + b =
6 Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) 6 En resumen: = aw ) cos wt) + sin wt)) ˆB = ˆT x ˆN y por tanto ˆB = ˆN x ˆT ˆN = ˆB x ˆT ˆN = ˆT x ˆB ˆT = ˆN x ˆB ˆT = ˆB x ˆN a w + b = aw a w + b Dado que Bs) = T s) x Ns) se tiene que B s) = T s) x Ns) + T s) x N s) }{{} * Este sumando es igual a cero ya que T s) = f s) es un vector en la dirección de Ns) y por tanto son colineales por lo que su producto cruz es cero, por lo tanto B s) = T s) x N s). Ahora como B s) es un vector ortogonal a T s) podemos concluir que B s) es un vector en el plano osculador. Por lo que si B s) es un vector paralelo a Ns), entonces existe un escalar zs) tal que B s) = zs)ns). Por otro lado N s) es ortogonal a Ns). se puede escribir como N s)µs)t s) + zs)bs).
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