INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

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1 UNIDAD 9 INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES.- Calclar las sigientes integrales definidas: a) d b) d c) e e ln(ln ) d d) e + d e) sen cos d f ) ( )cos d e Sean a = sen d y b = los valores de a y b. cos d. Calcla a + b y a b y obtén.- Sea = F( ) t e t dt, hallar F (). 4.- Determinar a y b para qe sea contina la fnción + a f ( ) = a + b + si si si < > y calclar I = f ( ) d. 5.- Hallar el área limitada por y = +, el eje OX y las rectas = - y = a, siendo a la abscisa del mínimo de la crva y = Determinar el área encerrada entre las gráficas de las fnciones y = 6 e y =. 7.- Hallar el área limitada por las crvas y = e y 8 =. 8.- Hallar el área de las regiones comprendidas entre la crva y = y las rectas y =, =, =. 9.- Hallar el área determinada por: y =, el eje OX y las rectas = -, =.

2 .- Hallar el área comprendida entre la crva y =, el eje OX y las rectas + verticales qe pasan por los pntos de infleión de dicha crva..- Demostrar qe el círclo de radio r tiene de área A = r..- Hallar el área de la región del plano limitada por: =, y = e y = e..- Hallar el área limitada por la crva y = e, el eje de abscisas y la recta = a, siendo a la abscisa del máimo de la crva. 4.- Determinar el área de la zona del plano limitada por las rectas y =, =, = e y la gráfica de y = (ln). 5.- Demostrar las fórmlas de los volúmenes de los sigientes cerpos geométricos: a) b) c) Cilindro : V = r h Cono : V = r h 4 Esfera : V = r 6.- Determinar el volmen del cerpo qe se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX la crva y =, entre = y = Hallar el volmen del cerpo determinado al girar la crva y = sen alrededor del eje OX en el intervalo [, ]. 8.- Determinar el volmen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por la fnción: si f ( ) =. si < Hallar el área de la región del semiplano y, limitada por la crva y = ln, s tangente en el pnto de abscisa = y la recta =.

3 EJERCICIOS DE REPASO (Propestos en PAEG).- Sea la fnción f ( ) = e y las rectas = e y =. a) Dibja la gráfica de la fnción para y la de las rectas. b) Señala el recinto comprendido entre las tres gráficas anteriores. c) Calcla el área de dicho recinto..- Calcla el área del recinto limitado por las fnciones y = + 4 e y = +.- Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la crva y = + 4 y las tangentes a dicha crva en los pntos en qe ésta corta al eje de abscisas. Dibjar el recinto..- Determinar a (a > ) sabiendo qe la figra plana limitada por la parábola de ecación y = a +, la recta y = y la recta = a tiene área ( ) a. 4.- La crva D(, ) en dos recintos. y = divide al cadrado de vértices A(, ), B(, ), C(, ) y a) Dibja dichos recintos. b) Calcla el área de cada no de ellos. 5.- De la fnción f : R R definida por f ( ) = a + b + c + d se sabe qe tiene 5 n máimo relativo en =, n pnto de infleión en (, ) y qe f ( ) d =. Calcla a, b, c y d. 4 a 6.- a) Halla el valor positivo de a para qe 9 ( + ) d =. b) Calcla el área de la sperficie comprendida entre el eje OX, la recta y = + y las rectas = y =.

4 7.- Dadas las fnciones f ( ) = y g( ) = : a) Esboza el recinto encerrado entre ss gráficas. B) Calcla el área de dicho recinto. 8.-Dibja aproimadamente las gráficas de las fnciones : f ( ) = y g( ) = Calcla el área determinada por ellas. 9.- Dadas las fnciones f ( ) = y g( ) = + 5, se pide: a) Esboza ss gráficas y sombrea el recinto encerrado entre ellas. b) Calcla el área de dicho recinto..- Consideremos la parábola f ( ) = + 4. Se pide: a) Calcla las ecaciones de las rectas tangentes a f() en = y = -, esbozando na gráfica con la parábola y las dos rectas tangentes. b) Determina el área comprendida entre la parábola y dichas rectas tangentes..- Enncia la regla de Barrow. Calcla ( + ) e d.- De la fnción f ( ) = ( + a) sen, con a R, se sabe qe la integral definida f ( ) d es tres veces el valor de la pendiente de la recta tangente a f() en =. Calclar a..- Definición de fnción primitiva de na fnción. Sabiendo qe F ( ) = e es na primitiva de la fnción f(): a) Compreba qe f() es na fnción creciente en R. b) Calcla el área limitada por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas = - y =. 4.- a) Representa gráficamente la región del plano limitada por las crvas g ( ) = y la recta =. b) Calclar el área de dicha región. f ( ) =, 4

5 5.- Sea la fnción f + 4 si ) = ( ) ( < si a) Esboza el recinto encerrado por la gráfica de y=f(), y el eje OX. b) Determina el área de dicho recinto SOLUCIONES.- a ) b) c) ln d) e) f ) 6.- a + b = 8, a b =.- F () = , + 4 a =, 6 4 b = 6 a =, b =, I = ln e e ln.- c) a =. 4.- b) 5.- a = -, b =, c = y d =. 6.- a) a = b) A = 4 y b ) b) 8 ln.- a) y = , y = 4+8. b).- a = 6.- e 5

6 .- b) A = e 4.- a) S es la región indicada en el gráfico adjnto c) S = ln 5.- b) 6