Probabilidades y Procesos Estocásticos

Transcripción

1 Probabilidades y Procesos Estocásticos Resumen Control 3 Profesor Iván Rapaport Auxiliar Abelino Jiménez G. Universidad de Chile

2 Indice General 1 Resumen de la Materia. Variable Aleatorias. Discretas y Continuas

3 Indice General Resumen de la Materia. 1 Resumen de la Materia. Variable Aleatorias. Discretas y Continuas

4 Elementos Preliminares Denición VARIABLE ALEATORIA Sea Ω un conjunto no vacío. Una variable aleatoria es toda función (medible) X que a cada elemento de Ω le asigna un valor en R X : Ω R Con esto, el problema del cálculo de la probabilidad de un evento determinado se reducen al cálculo de la probabilidad de que la variable aleatoria tome determinados valores en R.

5 Elementos Preliminares Denición FUNCION DE DISTRIBUCION Sea F : R [0, 1]. Se dirá que F es una Función de Distribución si: F es creciente, i.e. x < y, F (+ ) = 1 F ( ) = 0 F continua por la derecha, i.e. F (x) F (y) lim (x + h) = F (x) h 0 +F

6 Elementos Preliminares Teorema Toda Función de Distribución induce una medida de Probabilidad, y viceversa, del siguiente modo: F X (α) = P(X α) con esto, podemos decir que toda variable aleatoria tiene asociada una Función de Distribución.

7 Elementos Preliminares

8 Elementos Preliminares

9 Variables Aleatorias Discretas

10 Consideraciones Previas Para el estudio particular de algunas variables aleatorias discretas, hay que tener en cuenta lo siguiente: Las variables aleatorias tienen un rango de variabilidad, que para cada caso se especica. Para cada valor anterior, se tiene una función de probabilidad asociada, que también se especica. Las Funciones de Distribución asociadas a las variables aleatorias discretas, son tipo escalores, en donde los puntos de discontinuidad son los valores que toma dicha v.a.

11 Bernoulli(p) Resumen de la Materia. Parámetro: p [0, 1] Campo de Variabilidad: {0,1} Función de Probabilidad P(X = 0) = 1 p P(X = 1) = p Función de Distribución 0 α < 0 F (α) = 1 p 0 α < α

12 Binomial (n,p) Resumen de la Materia. Parámetros: n N, p [0, 1] Campo de Variabilidad: {0,1...,n-1, n} Función de Probabilidad P(X = i) = ( n i ) p i (1 p) n i

13 Geométrica(p) Parámetro: p (0, 1] Campo de Variabilidad: N {0} Función de Probabilidad P(X = k) = p(1 p) k 1

14 Poisson(λ ) Resumen de la Materia. Parámetro: λ > 0 Campo de Variabilidad: N {0} Función de Probabilidad P(X = k) = λ k k! e λ

15 Variables Aleatorias Continuas

16 Consideraciones Previas Toda variable aleatoria absolutamente continua tiene asociada una función de distribución, la cual no posee puntos de discontinuidad. Toda variable aleatoria continua queda caracterizada por su función de densidad. Se debe tener siempre presente el cambio de variabilidad de la variable aleatoria, para evitar problemas en el cálculo. P(X = α) = 0 α R si X es variable aleatoria absolutamente continua.

17 Distribución Uniforme en [a,b] Si X Uniforme[0, 1] se tiene { 1 si u [0, 1] f X (u) = 0 si no luego, P(X [α,β] [0, 1]) = β α Si X Uniforme[a, b] se tiene f X (u) = { 1 b a 0 si no si u [0, 1]

18 Exponencial(λ ) Resumen de la Materia. Parámetro: λ > 0 Campo de Variabilidad: R + {0} Función de Densidad f X (u) = λ e λ u luego, P(X [α,β]) = λ β α e λ u du, 0 α β

19 Gamma(α) Parámetro: α > 0 Campo de Variabilidad: R + Función de Densidad f X (u) = 1 Γ(α) uα 1 e u donde, Γ(α) = 0 uα 1 e u du

20 Beta(α,β ) Parámetro: α > 0, β > 0 Campo de Variabilidad: (0, 1) Función de Densidad Γ(α + β) f X (u) = Γ(α) Γ(β) uα 1 (1 u) β 1 donde, Γ(α) = 0 uα 1 e u du

21 Normal(µ,σ 2 ) Resumen de la Materia. Parámetro: µ R, σ 2 > 0 (CUIDADO!! EL PARÁMETRO ES σ 2 ) Campo de Variabilidad: R Función de Densidad f X (y) = 1 2π σ e 1 2 ( y µ ) 2 σ

22 Indice General Resumen de la Materia. 1 Resumen de la Materia. Variable Aleatorias. Discretas y Continuas

23 Presentación del Problema Problema TRANSFORMACIÓN DE VARIABLE Sea X : Ω R una variable aleatoria continua. X tiene asociado una función de densidad f X. Sea Ψ : R R. Luego Ψ(X ) es una nueva variable aleatoria. ¾Cuál es la función de densidad de Ψ(X )?

24 Propiedad Sea X : Ω R una variable aleatoria continua. Sea D el campo de variabilidad de X Sea Ψ : D R una función derivable e inyectiva. Entonces Y = Ψ(X ) es una v.a. continua con densidad f Y (y) = 1 Ψ (Ψ 1 (y)) f X (Ψ 1 (y))

25 Aplicación 1 Sea X v.a. continua con densidad f X. Sea Y = α + β X. Se tiene que Y es una v.a. continua con densidad: ( ) f Y (y) = 1 β y α f X β Aplicación 2 Sea X N(0, 1). Sea Y = µ + σ X, con σ > 0. Entonces Y N(µ,σ 2 ). Recíprocamente, si Y N(µ,σ 2 ), entonces σ 1 (Y µ) N(0, 1).

26 Aplicación 1 Sea X v.a. continua con densidad f X. Sea Y = α + β X. Se tiene que Y es una v.a. continua con densidad: ( ) f Y (y) = 1 β y α f X β Aplicación 2 Sea X N(0, 1). Sea Y = µ + σ X, con σ > 0. Entonces Y N(µ,σ 2 ). Recíprocamente, si Y N(µ,σ 2 ), entonces σ 1 (Y µ) N(0, 1).

27 Indice General Resumen de la Materia. 1 Resumen de la Materia. Variable Aleatorias. Discretas y Continuas

28 Ejemplo Resumen de la Materia. 0 hijos 1 hijo 2 hijos 3 o más P(clase=i) clase baja clase media clase alta P(hijos=k)

29 Ejemplo Resumen de la Materia. 0 hijos 1 hijo 2 hijos 3 o más clase baja clase media clase alta

30 Ejemplo Resumen de la Materia. 0 hijos 1 hijo 2 hijos 3 o más clase baja clase media clase alta Tenemos una nueva v.a.

31 Variables Aleatorias Independientes Denición INDEPENDENCIA DE V.A. X 1 y X 2 v.a. independientes si P(X 1 a 1, X 2 a 2 ) = P(X 1 a 1 ) P( X 2 a 2 ) a 1, a 2 R Observación: Si bien la denición es análoga a la independencia clásica, hay que tener en cuenta que en este contexto, estamos hablando de VARIABLES ALEATORIAS independientes.

32 Variables Aleatorias Independientes Denición INDEPENDENCIA DE V.A. X 1 y X 2 v.a. independientes si P(X 1 a 1, X 2 a 2 ) = P(X 1 a 1 ) P( X 2 a 2 ) a 1, a 2 R Observación: Si bien la denición es análoga a la independencia clásica, hay que tener en cuenta que en este contexto, estamos hablando de VARIABLES ALEATORIAS independientes.

33 Suma de Variables Aleatorias Discretas Propiedad SUMA DE V.A. DISCRETAS Sean X y Y v.a. independientes tomando valores en Z con densidades discretas P X y P Y respectivamente, i.e. P X (k) = P(X = k), P Y (k) = P(Y = k) k Z entonces X + Y toma valores en Z y su densidad discreta verica: P X +Y (k) = P X (j) P Y (k j) = P Y (j) P X (k j) j Z j Z

34 Suma de Variables Aleatorias Continuas Propiedad SUMA DE V.A. CONTINUAS Sean X y Y v.a. independientes, continuas, con densidades respectivas f X y f Y. Entonces X + Y es v.a. continua y con densidad: f X +Y = f X f Y f X +Y (z) = f X (u) f Y (z u)du = f Y (u) f X (z u)du

35 Indice General Resumen de la Materia. 1 Resumen de la Materia. Variable Aleatorias. Discretas y Continuas

36 Esperanza Resumen de la Materia. Esperanza v.a. discreta Sea X v.a. discreta tomando valores {a i ; i I }(con I nito o numerable innito) con probabilidades p i = P(X = a i ), se tiene E(X ) = a i p i i I Esperanza v.a. continua Sean X v.a. continua con función de densidad f X, se tiene: E(X ) = u f X (u) du

37 Esperanza Resumen de la Materia. Esperanza v.a. discreta Sea X v.a. discreta tomando valores {a i ; i I }(con I nito o numerable innito) con probabilidades p i = P(X = a i ), se tiene E(X ) = a i p i i I Esperanza v.a. continua Sean X v.a. continua con función de densidad f X, se tiene: E(X ) = u f X (u) du

38 Esperanza Transformada Sea Ψ : R R Esperanza v.a. discreta Sea X v.a. discreta tomando valores {a i ; i I }(con I nito o numerable innito) con probabilidades p i = P(X = a i ), se tiene E(Ψ(X )) = Ψ(a i ) p i i I Esperanza v.a. continua Sean X v.a. continua con función de densidad f X, se tiene: E(Ψ(X )) = Ψ(u) f X (u) du

39 Esperanza Transformada Sea Ψ : R R Esperanza v.a. discreta Sea X v.a. discreta tomando valores {a i ; i I }(con I nito o numerable innito) con probabilidades p i = P(X = a i ), se tiene E(Ψ(X )) = Ψ(a i ) p i i I Esperanza v.a. continua Sean X v.a. continua con función de densidad f X, se tiene: E(Ψ(X )) = Ψ(u) f X (u) du

40 Propiedades de la Esperanza Si X = α (constante), entonces E(X ) = X X, Y vs.as., α, β R, entonces E(αX + β Y ) = αe(x ) + β E(Y ) Si X 0, entonces E(X ) 0 Si Ψ : R R es convexa, entonces E(Ψ(X )) Ψ(E(X )) Si X, Y vs.as. independientes, entonces E(X Y ) = E(X ) E(Y )

41 Varianza Resumen de la Materia. Varianza Sea X v.a. Si µ = E(X ), denimos la varianza de X, como Var(X ) = E((X µ) 2 ) Si X = α (constante), entonces Var(X ) = 0 X v.a., α, β R, entonces Var(α + β X ) = β 2 Var(X ) Si X, Y vs.as. independientes, entonces Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )

42 Varianza Resumen de la Materia. Varianza Sea X v.a. Si µ = E(X ), denimos la varianza de X, como Var(X ) = E((X µ) 2 ) Si X = α (constante), entonces Var(X ) = 0 X v.a., α, β R, entonces Var(α + β X ) = β 2 Var(X ) Si X, Y vs.as. independientes, entonces Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )

43 FIN