Ecuaciones generales Modelo de Maxwell

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1 Elcticidad y Magntimo 9/ Ecuacion gnal Modlo d Maxwll Intoducción Funt d campo: Caga léctica. Coint léctica. Ecuación d continuidad. Dfinición dl campo lctomagnético. Ecuacion d Maxwll. Foma Intgal. Foma difncial Ecuacion d tado. Influncia ob lo matial. Claificación d mdio. y d Ohm. Contant d lajación. Condicion n la intfa. inalidad d la cuacion d Maxwll. Balanc ngético: Toma d Poynting. J.. Fnándz Jambina EyM b Ecuacion d Etado Incopoan n l modlo d Maxwll l fcto dl mdio. o vcto D y B incluyn l fcto dl mdio y on función dl mdio y, n gnal, d lo vcto E y. D= D mdio, E, B= B mdio, E, En la mayo pat d lo mdio: D= D mdio, E B= B mdio, En l vacío: D= E J.. Fnándz Jambina ( ) ( ) ( ) ( ) B= = 8, π 9 = 4π 7,57 ( F m) ( m) acotumba a xpa la cuacion d tado como: D=E =( mdio, E) = pmitividad dilctica B= = mdio, = pmabilidad 8 ( ) magntica 8 3 ( m ) EyM b Gupo.

2 Elcticidad y Magntimo 9/ Influncia d lo campo ob lo matial Conidando un mdio como una ditibución d caga n l vacío. En poo ta caga (ligada) canclan. En pncia d un campo E, modifica u poición lativa, no canclan: El mdio polaiza. E= E Conidando un mdio como una ditibución d coint n l vacío. En poo la coint (ligada) canclan. En pncia d un campo, modifican y no canclan: El mdio magntiza. B= B J.. Fnándz Jambina EyM b3 Influncia ob lo matial: Polaización En una gión vacía xit un campo. vifica: ( E E E ) = ρ i la gión llna con un matial qu polaiza, ρ ligada, l campo ahoa á E. vifica: ( E) =ρ ρligada Dfinindo l vcto polaización, P, como: E P= ρligada ( E P) = ρ Dfinindo D como: D= E P D= ρ El vcto D pmit olvida la caga ligada. P laciona con l campo a tavé d la ucptibilidad léctica: P=χ E En gnal χ =χ ( mdio, E), aunqu n lo mdio linalχ =χ D= D P=Eχ E= ( χ ) E= E=E 3 J.. Fnándz Jambina» = pmitividad o contant diléctica lativa. ( mdio) EyM b4 Gupo.

3 Elcticidad y Magntimo 9/ Influncia ob lo matial: Magntización En una gión vacía xit un campo B. vifica: B = J D i la gión llna con un matial qu magntiza, J ligada, l campo ahoa á: B B = J Jligada D Dfinindo l vcto magntización, M, como: M = Jligada ( B M) = J D Dfinindo como: = B M = J D El uo dl vcto pmit olvida la coint ligada. m m χ B M tá lacionado con l campo a M =χ = m tavé d la ucptibilidad magnética: χ m m m m En gnal χ =χ ( mdio, ), aunqu paa mdio linal: χ =χ B ( M) ( m ) ( m = = χ = χ ) = = 3 = pmabilidad magnética lativa. EyM b5 J.. Fnándz Jambina B B ( mdio) Influncia ob lo Matial: Rumn Un mdio pud pnta d la iguint foma: Po u ditibucion ligada, y J, ρ ligada ligada : ( ) ( ) ( E ) E =ρρligada B = J Jligada J D, Po u polaización, P, y u magntización, M :, ( ) ( ) ( E P) E P = ρ B M = J ligada ρ, J ρ,, ligada J ligada, ρ, J P, M J.. Fnándz Jambina Po u pmitividad,, y u pmabilidad,, junto con lo campo auxilia D y : D D=ρ = J ta la opción pfida n ta aignatua.,, ρ, J EyM b6 Gupo. 3

4 Elcticidad y Magntimo 9/ Claificación d lo mdio gún u puta al campo lctomagnético lo mdio claifican n: omogéno: todo lo punto tinn la mima popidad.» y no dpndn d la poición: D=E B= No homogéno: u popidad vaían d punto a punto» y on función d la poición: D=( ) E B= ( ) Iótopo: u popidad no dpndn d la dicción dl campo.» y on cala: D=E B= Aniótopo: u popidad dpndn d la dicción dl campo.» y on tno (matic) D=E B= J.. Fnándz Jambina inal: u popidad no dpndn dl valo dl campo. D=E B= No linal: u popidad dpndn dl valo dl campo.» D= E, E, E B=,, ( ) ( ) EyM b7 y d Ohm gnalizada. Exit una lación adicional imila a la cuacion d tado: a y d Ohm gnalizada: σ= Conductividad (mho m) = /ρ mho = Ohm al vé J =σe mho= = imn = = Ω E cohnt con la dfinición cláica d itncia: I = J d J n E n = ˆ =σ ˆ V E n ˆ R= = = V = E dl = E n I σe n σ ˆ ˆ J =σe Equival a dci qu la vlocidad mdia d lo potado d caga popocional al campo léctico; J =ρv σ v = E J =σe ρ EyM b8 J.. Fnándz Jambina Gupo. 4

5 Elcticidad y Magntimo 9/ Contant d lajación a contant d lajación pmit caactiza un mdio como conducto o diléctico (ailant): i n l intio d un mdio xit ρ ( ) n l intant t=: ρ J = ρ ( σe) = ρ J =σe i l mdio homogéno, linal iótopo: ρ σ E = ρ D= E=ρ σ ρ= ρ (, t) =ρ ( ) a caga dapac (miga a la upfici) a una vlocidad contolada po la contant d lajación: ( σ ) t i τ mucho mayo qu l timpo d obvación l mdio diléctico. i mucho mno l mdio conducto. τ= σ =ρ t τ ( ) ρ J.. Fnándz Jambina EyM b9 Ejmplo d mdio Matial σ (/m) τ () Agua dtilada 8,E4 3,5E6 Agua Dulc 8,E3 7,E7 Agua d Ma 7 4,6E Vidio 6,E 53, Poclana 5,7,E3 5,3 Cuazo 3,8 Cuazo Fundido 3,8,E , Mica 6,E5 534, Cob, ,8E7,5E9 Plata, ,7E7,4E9 Oo, ,E7,E9 Aluminio, 3,54E7,5E9 io 4,3E7 8,6E9 Mumtal a contant d lajación dl cuazo quival a 38.9 día y la d la mica a 4,8 hoa Alguno d to dato pntan difncia d hata un odn d magnitud nt la difnt fncia conultada EyM b J.. Fnándz Jambina Gupo. 5

6 Elcticidad y Magntimo 9/ Condicion d contono n la intfa a cuacion difncial no on válida n la intfa nt mdio difnt. E ncaio obtn y aplica condicion d contono qu pmitan l alto d un mdio a oto. El pocdiminto gnal conit n upon qu la tanición nt mdio poduc d foma uav n un intvalo n, aplica la cuación intgal y dpué hac tnd n n,, σ $n,, σ E, D,, B J, ρ,, σ () () Mdio Mdio,, σ E, D,, B J.. Fnándz Jambina Atnción a la dfinición d EyM b Condición d intfa paa D Aplicando la y d Gau a la upfici cada d la figua: C = AT d = q C q= d = C V ρdv d ρ d d d lat i n, ntonc y... AT D d Dd d D d d = ( D D) d C D d ( D D) = ρ lat ρ dv V q= ρ ρ ρ d d d a intgal dapac poqu la lcción d abitaia. EyM b J.. Fnándz Jambina $n AT $n $n n σ () () σ Gupo. 6

7 Elcticidad y Magntimo 9/ Condición d intfa paa $n Aplicando la ly d Ampè n l l contono d la figua: C = at D n dl = I d C at $m dl = dl dl dl C at () σ I = J md ˆ J mdl ˆ $l () σ i n ntonc: at dl dl = lˆ dl = ( ) dl dl lˆ dl dl C lˆ dl dl at J md ˆ I J mdl ˆ J mdl ˆ J mdl ˆ D md ˆ EyM b3 J.. Fnándz Jambina Condición d intfa paa () D la tanpancia antio y como la lcción d abitaia: dl lˆ ( ) dl C I J mdl ˆ lˆ dl J mdl ˆ lˆ = = J D md ˆ Conidando qu: l ˆ = mˆ $n J mˆ = ( mˆ ) ( ) ( ) mˆ = 3 l lˆ $m Y como: la ointación d () σ abitaia: $l () σ J = ( ( ) ˆ n= ( ) ( ) mˆ J.. Fnándz Jambina ( ) = J EyM b4 Gupo. 7

8 Elcticidad y Magntimo 9/ Condicion d intfa paa B, E y J iguindo poco análogo al guido paa D obtin: d = q D D = ρ B d = dq J d = dt ( B B ) = iguindo un poco análogo al guido paa D = dl = I d C J.. Fnándz Jambina E dl = C B d ( ) ( J J ) ( E E ) = dρ = dt ( ) J obtin: EyM b5 Gupo. 8

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