CLAVES DE CORRECCIÓN FINAL 11/07/2017 MATEMÁTICA 1º Cuatrimestre 2017 TEMA 1

Transcripción

1 FINAL 11/7/17 1º Cuatrimestre 17 TEMA 1 Ejercicio 1 ( puntos) Hallar la expresión de un polinomio de grado 5 que verifica las siguientes condiciones: a) Tiene una raíz simple en x = 3 b) Tiene una raíz doble en x = 1 c) Tiene una raíz doble en x = B, siendo B la abscisa del vértice de la parábola con ecuación y = x 8x + 7 Sabemos que el polinomio es de grado 5 y conocemos sus raíces. Entonces, la forma factorizada de un polinomio que cumpla las condiciones dadas es P(x) = k (x ( 3)) (x 1) (x B) = k (x + 3) (x 1) (x B) La abscisa del vértice de la parábola y = x 8x + 7 es: abcisa del vértice = x v = ( 8) = 8 4 = B = Entonces, si fijo k = 1 (se pide un polinomio, con lo cual podemos darle el valor que queramos), tenemos que P(x) = 1 (x + 3) (x 1) (x ) Ejercicio (3 puntos) Hallar los valores de x R para los cuales f(x) = g(x) siendo f(x) = 5 x 3 g(x) = 5 x Buscamos los valores de x R para los cuales f(x) = g(x) Entonces planteamos 1

2 FINAL 11/7/17 1º Cuatrimestre 17 5 x 3 = 5 x 5 x 3 = (5 ) x 5 x 3 = 5 x x 3 = x x x 3 = x 1, = ( ) ± ( ) 4 1 ( 3) 1 x 1 = 1 x = 3 = ± 16 = ± 4 Luego, el conjunto pedido es { 1, 3} Ejercicio 3 ( puntos) Hallar el conjunto de ceros, de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = ln ((4 x) + 1) Conjunto de ceros: Sabemos que ln(t) = t = 1. Luego ln((4 x) + 1) = (4 x) + 1 = 1 (4 x) = x = C = {} Conjunto de crecimiento y decrecimiento: f (x) = 1 4(4 x) (4 x) (4 x) ( ) = + 1 (4 x) + 1 f (x) = 4 x = x = Analizamos el signo de la derivada primera de la función en los intervalos determinados por los ceros de dicha función: ( ; ) y (; + )

3 FINAL 11/7/17 1º Cuatrimestre 17 En el intervalo ( ; ) la función es decreciente ya que si evaluamos en ( ; ): f () = 4(4 ) (4 ) + 1 = 8 17 < En el intervalo (; + ) la función es creciente ya que si evaluamos en 4 (; + ): Entonces, f () = Intervalo de crecimiento: (; + ) Intervalo de decrecimiento: ( ; ) 4(4 4) (4 4) + 1 = > Ejercicio 4 (3 puntos) Hallar el valor de la constante a R para que sabiendo que a sen(x) 3 f(x) dx = 1 f(x) dx = a a sen(x) 3 f(x) dx = a sen(x) dx 3 f(x) dx = a[( cos(x)) ] 3 a a = a[ cos() ( cos())] 3a = a[ ( 1) + 1] 3a = a Por otro lado 3

4 FINAL 11/7/17 1º Cuatrimestre 17 Entonces, a sen(x) 3 f(x) dx = 1 a = 1 a = 1 4

5 FINAL 11/4/17 1º Cuatrimestre 17 TEMA Ejercicio 1 ( puntos) Hallar la expresión de un polinomio de grado 5 que verifica las siguientes condiciones: a) Tiene una raíz doble en x = 3 b) Tiene una raíz simple en x = 1 c) Tiene una raíz doble en x = A siendo A la abscisa del vértice de la parábola con ecuación y = 3x 1x + Sabemos que el polinomio es de grado 5 y conocemos sus raíces. Entonces, la forma factorizada de un polinomio que cumpla las condiciones dadas es P(x) = k (x 3) (x ( 1)) (x A) = k (x 3) (x + 1) (x A) La abscisa del vértice de la parábola y = 3x 1x + es: abcisa del vértice = x v = ( 1) 3 = 1 6 = A = Entonces, si fijo k = 1 (se pide un polinomio, con lo cual podemos darle el valor que queramos), tenemos que P(x) = 1 (x 3) (x + 1) (x ) Ejercicio (3 puntos) Hallar los valores de x R para los cuales h(x) = g(x) siendo h(x) = 3 x +3 g(x) = 9 x Buscamos los valores de x R para los cuales h(x) = g(x) 5

6 Entonces planteamos CLAVES DE CORRECCIÓN FINAL 11/4/17 1º Cuatrimestre 17 3 x +3 = 9 x 3 x +3 = (9 ) x 3 x +3 = 3 4x x + 3 = 4x x 4x + 3 = x 1, = ( 4) ± ( 4) x 1 = 3 x = 1 = 4 ± 4 = 4 ± Luego, el conjunto pedido es {1, 3} Ejercicio 3 ( puntos) Hallar el conjunto de ceros, de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = ln (1 + ( 3x) ) Conjunto de ceros: Sabemos que ln(t) = t = 1. Luego ln(1 + ( 3x) ) = 1 + ( 3x) = 1 ( 3x) = x = 3 C = { 3 } Conjunto de crecimiento y decrecimiento: f (x) = 1 6( 3x) ( 3x) ( 3x) ( 3) = + 1 ( 3x) + 1 6

7 FINAL 11/4/17 1º Cuatrimestre 17 f (x) = 3x = x = 3 Analizamos el signo de la derivada primera de la función en los intervalos determinados por los ceros de dicha función: ( ; 3 ) y ( 3 ; + ) En el intervalo ( ; 3 ) la función es decreciente ya que si evaluamos en ( ; 3 ): f () = 6 ( 3 ) ( 3 ) + 1 = 1 5 < En el intervalo (; + ) la función es creciente ya que si evaluamos en 4 (; + ): Entonces, f () = Intervalo de crecimiento: ( 3 ; + ) Intervalo de decrecimiento: ( ; 3 ) 6 ( 3 4) ( 3 4) + 1 = 6 11 > Ejercicio 4 (3 puntos) Hallar el valor de la constante b R para que sabiendo que b cos(x) + 5 g(x) g(x) dx = b dx = 11 7

8 FINAL 11/4/17 1º Cuatrimestre 17 b cos(x) + 5 g(x) dx = b cos(x) dx + 5 g(x) dx = b [sen(x) ] + 5 (b) = b [sen ( ) sen()] + 1b = 11b Por otro lado Entonces, b cos(x) + 5 g(x) dx = 11 11b = 11 b = 1 8