CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1200, 98I

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00, 98I ) x > x +. ) Sea la función y x ) 4 x. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica en el punto 0,). ) Sea la función si x< x + fx) ax +b si x x si x>. Encuentre valores a, b para que la función sea continua en todo punto. Dar un bosquejo de la gráfica con estos valores. 4) Un polinomio pasa por los puntos 5, 0),, ) y 7, ). Cuántas raíces tiene como mínimo? Justifique su respuesta. 5) Dada la función definida por fx) x 5 5x, obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento; puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inflexión y un bosquejo de la gráfica. 6) Sea la función fx) x 0x +. x x 6 Encuentre su dominio, sus raíces. Clasifique sus discontinuidades. Encuentre sus asíntotas horizontales y verticales. Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Encuentre sus intervalos de concavidad. Haga un bosquejo de la gráfica. 7) Se va a fabricar una lata cilíndrica sin tapa para contener 0 cm de líquido. Encuentre las dimensiones que minimizarán el costo del metal requerido para fabricar la lata. canek.azc.uam.mx: / / 006.

2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 Respuestas ) x > x +. Equivale a dos desigualdades: x>x + o bien x< x +). La primera, a su vez, equivale a x + +x<0, transponiendo términos, y ésta a x + x<0. Como x + x xx + ), este producto es negativo si: x>0 y x +< 0 o bien x<0 y x +> 0; x>0 y x< o bien x<0 y x> ; x>0 y x< o bien x<0 y x> ; x Ø o bien x ), 0. Luego, parte del conjunto solución de la desigualdad propuesta es el conjunto: Ø ), 0 ), 0. La otra parte la hallaremos resolviendo la otra desigualdad, análogamente: x< x +) x ++ x<0 x x +6< 0. Sabemos que x x +6 0 para cualquier x R, pues el discriminante b 4ac ) 4)6) < 0. Sabemos también que y x x + 6 es una parábola que dirige su concavidad hacia la parte superior. Con estas condiciones, la parábola tiene que estar forzosamente en la parte superior del eje de las x; ypor lo tanto, y x x +6> 0 para toda x. Y, por último, el conjunto solución resultante es únicamente el intervalo CS ), 0. 0 Por ejemplo, x 0&x no satisfacen a la desigualdad propuesta pues: y también: 0 0) + ) + + ) ) Sea la función y x ) 4 x. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica en el punto 0,). Calculamos la pendiente de la recta tangente usando la derivada: y x )x 4 x x ) 4 x x )[8x4 x) x )] 4 x x )x 8x x +) x ) 9x +x +) 4 x 4 x

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 yenx 0 la pendiente de la recta tangente es entonces: y 0) y la ecuación de la recta tangente en el punto 0,) será: y 4 x 0) y 4 x +. La pendiente de la recta normal es 4 y la ecuación de la recta normal en el punto 0,) es: y 4x 0) y 4x +. ) Sea la función si x< x + fx) ax +b si x x si x>. Encuentre valores a, b para que la función sea continua en todo punto. En los únicos puntos donde podría no ser continua f es en y en. Para que sea continua en ellos se tiene que cumplir lím fx) f) y que lím fx) f ) x x y para ello se tiene que cumplir lím x + fx) lím x fx) a +b; lím fx) x + Como: lím fx) ) 4, x + se tiene que cumplir a +b. Análogamente: lím fx) a +b, lím fx) x + x luego, a +b. { a +b Resolvamos pues el sistema a +b tenemos: 4b b 4 a a 0 a 0 0. lím fx) a +b. x lím fx) a +b, x + ; sumando ambas ecuaciones lineales con dos incógnitas; y, sustituyendo este valor en la segunda ecuación, tenemos: Dar un bosquejo de la gráfica con estos valores La función con estos valores es: si x< x + fx) si x x si x>.

4 4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 La gráfica de la función fx) es: fx) x Es decir, unimos los dos segmentos de la parábola y x y de la hipérbola y con un segmento x + de la recta y. 4) Un polinomio pasa por los puntos 5, 0),, ) y 7, ). Cuántas raíces tiene como mínimo? Justifique su respuesta. Una, pues siendo continua en toda la recta, la función polinomial px) es positiva en puesto que p) ; y es negativa en 7 ya que p7) ; por lo que entre y 7 la función tiene al menos una raíz, por el teorema del Valor Intermedio. 5) Dada la función definida por fx) x 5 5x, obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento; puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inflexión y un bosquejo de la gráfica. Calculemos: x 5 5x x x 5)0 x 0&x 50 x 0&x 5 5 x 0& x x 0&x ± Éstas son las raíces de f que concuerdan con el hecho de que fx) es impar. Para determinar los intervalos de crecimiento se deriva f: f x) 5x 4 5x 5x x )0 x 0&x 0 x 0&x + )x )0 x 0&x ±. Estos tres puntos críticos, 0 & dividen la recta en cuatro intervalos donde la derivada tiene los siguientes signos: Eligiendo arbitrariamente ±, ), + ) se tiene que f ±) > 0 fx) es creciente en, ) y en, + ). Análogamente, eligiendo ±, 0) 0, ) se ve que f ± ) < 0 fx) es decreciente en, 0) y en 0, ).

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 5 En x la función pasa de ser creciente a ser decreciente por lo que [,f )] [, ) 5 5 ) ], +5), ) es un máximo relativo;, ) es un mínimo relativo. Siendo fx) decreciente en, 0) y 0, ), en 0,0) la función no tiene valor extremo. Para la concavidad se deriva nuevamente: f x) 60x 0x 0xx )0 x 0&x ± ± Se determina el signo de la segunda derivada en los cuatro intervalos donde la segunda derivada no es cero: En, ), eligiendo, ), se tiene que f ) < 0; luego, fx) dirige su concavidad hacia abajo en, ). ) Yen, +, la dirige hacia arriba. En, 0 ),, 0 ), f ) ), 0. > 0; luego, fx) dirige su concavidad hacia arriba en Y en cambio, la dirige hacia abajo en 0, ). Los tres puntos: [,f )] [, ) 5 5 ) ] [,f ), ,.7469) [0,f0)] 0, 0) y )] ,.7469) son de inflexión. Con toda la información obtenida, la gráfica de fx) queda de la siguiente manera:

6 6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 fx) 5 5 x 6) Sea la función fx) x 0x + x x 6. Encuentre su dominio, sus raíces. Clasifique sus discontinuidades. Encuentre sus asíntotas horizontales y verticales. Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Encuentre sus intervalos de concavidad. Haga un bosquejo de la gráfica. Para el dominio tenemos: D f { x R x x 6 0 } { x R x + )x ) 0 } { x R } { } x + 0yx 0 x R x yx R {, }. Para hallar las raíces resolvamos: x 0x +0 x 0 ± ± ± 8 6 { 6 {. Luego, la única raíz es x pues x / D f. Calculemos: lím fx) x ± lím fx) lím x x lím x x +) x ± x ) x ) x + )x ) ) + x ) lím y x ± x +) ) ) ) De aquí se desprende que la discontinuidad en x es removible y que en x es esencial, precisamente infinita. También que la recta x es asíntota vertical.

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 7 Para determinar las horizontales calculamos: x ) lím fx) lím x ± x ± x + lím x ± x x x + x ) ) lím x ± ) x + x 0) +0 ; luego, y es asíntota horizontal. Para precisar la monotonía de la función calculamos su derivada, tomando fx) de hecho x D f : f x) x +6 x + x +) 7 x +) > 0; x ) x + para x, luego, fx) es creciente en, ),, ) y en, + ) y no tiene puntos críticos. Y también para x D f : f x) [7x +) ] 7 x +) 4 x +). Si x> x +> 0 f x) < 0 para x ) la función f es convexa en, ) y en, + ). Si x< x +< 0 f x) > 0 la función f es cóncava en, ). f0) 6. El bosquejo de la gráfica de fx) es: fx) 4 x 7) Se va a fabricar una lata cilíndrica sin tapa para contener 0 cm de líquido. Encuentre las dimensiones que minimizarán el costo del metal requerido para fabricar la lata. Usamos la figura

8 8 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E00 h πr r Tenemos que: V πr h 0 cm. Queremos que sea mínima la cantidad de material requerido, es decir, el área: A πr +πrh. Así expresada el área es función de dos variables: r & h, pero como están relacionadas a través de la expresión para el volumen de la lata, podemos despejar a una de ellas en términos de la otra. Es más cómodo despejar h: h 0 πr 0 π r. Sustituyendo este valor en la expresión para el área, la tendremos expresada como función de una única variable r: Ar) πr +πr 0 π r πr +0r. Hallemos sus puntos críticos: A r) πr πr r r r 0 0 π r.4707 cm, π con lo cual: h 0 ) ) 0 0 r. π π π Como: A r) π + 40 > 0, se trata en efecto de un mínimo. r